Функциональный анализ решение задач о норме

PDF-файл из архива «Задачи по функциональному анализу с решениями», который расположен в категории «к экзамену/зачёту». Всё это находится в предмете «функциональный анализ» из шестого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Список задач с решениями по функциональному анализу.1) Пусть – линейное нормированное пространство. Доказать, что для любых элементов , ∈ выполняется неравенство ≤ max⁡( + , − ).Решение:∀, ∈ из аксиом нормы:2 = 2 = + + − ≤ + + − , тогда:+ + − ≤≤ max + , − .22) Можно ли в пространстве 1 , принять за норму элемента :A) ,() ;B) ,′() ;C) − + D) + ,′() ;E)∫ () + ,′() ;Решение:∀ , () ∈ 1 , A) Можно, так как:1.

= , 2.3.′() ;,,() = ,≥ 0, = = ,, = 0 ⇔ = 0 ∀ ∈= + () = , + () ≤ , , + , = + , + =≤B) Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы: = , ′() =0 ⇒ = , — произвольная константа.С) Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы. Возьмем = с ≠ 0, но тогда = − + , ′() = 0.D) Можно, так как:1. + , ′() ≥ 0, + , ′() = 0 ⇒ = 0 и , ′() = 0. Так как , ′() = 0, = , – константа, но = 0, следовательно, = 0 ∀ ∈ , . Обратное утверждение очевидно.2.

= + , ′ = + , ′ = ;3. + () = + () + , + () ≤ () + () + , + ≤ () + , + () + , = + E) Можно, так как:∫1. ∫ () + ,′() ≥ 0, ∫ () + ,′() = 0 →() = 0 ⇒ = 0 ∀ ∈ , из непрерывности . Обратноеутверждение очевидно.2. = ∫ () + , ′ = ∫ () + , ′() = ;′3. + = ∫ + + , + ≤ ∫ ( +()) + ,′+ ′≤≤() + ,′() +() + ,′() = + ;3) Будет ли множество всех многочленов в пространстве , A) открытым;B) замкнутым?Решение:A) Множество всех многочленов в пространстве , не является открытым, так как потеореме Фейера любую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизитьсредними Чезаро, которые не являются алгебраическими многочленами.

Следовательно,окрестность любой точки множества содержит элемент, множеству не принадлежащий.B) Множество всех многочленов в пространстве , не является замкнутым.Рассмотрим пример, функцию sin можно приблизить частичными суммами рядаТейлора, которые являются алгебраическими многочленами. Следовательно, множествовсех многочленов в пространстве , не содержит всех предельных точек, значит ононе является замкнутым.4) Доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейномнормированном пространстве есть подпространство.Решение:По определению линейным подпространством, принадлежащим линейному нормированномупространству, называется линейное многообразие, если оно замкнуто относительно сходимостипо норме, следовательно, достаточно доказать, что в линейном нормированном пространстве конечномерное линейное многообразие ⊂ — замкнуто.

Докажем от противного. Пусть∃ ∈ : → 0, 0 ∉ . Рассмотрим функцию = − 0 , ∈ . Рассмотрим = − 0 , ∈ . Возьмем произвольный 1 ∈ и рассмотрим замкнутый шар ( 1 , 0 ).Обозначим = ∩ ( 1 , 0 ). Тогда ∈ = ∈ . Множество –конечномерное, замкнутое, ограниченное.

Функция ∈ , согласно неравенствутреугольника ∃∗ ∈ ∗ = ∈ = ∈ . Следовательно, ρ 0 , = 0 − ∗ >0.Однако это противоречит предположению, что → 0, 0 ∉ . Следовательно замкнуто иявляется подпространством .5) Пусть – линейное нормированное пространство, ⊂ – линейное многообразие, ≠ .Доказать, что не содержит никакого шара.Решение:Докажем от противного. Пусть ∃0 ∈ , > 0: шар (0 , ) ⊂ . Рассмотрим ∀1 ∈ , 1 ∉ :2 1 − 01 = 1 − 0 + 0 . Возьмем 1 − 0 = 2 ∙ ()∙ 1 − 0 1 − 0, где 2 ∙ 1 − 0 1 − 0∈ так какпринадлежит шару 0 , ⊂ .

Следовательно, 1 − 0 ∈ , а значит и 1 ∈ . Таким образом,пришли к противоречию.6) Образуют ли в пространстве [−1,1] подпространство следующие множества функции:A) монотонные функцииB) четные функции;C) многочлены;D) непрерывные кусочно-линейные функции?Решение:A) Не образуют, так как если рассмотреть = , = , то = − = − — не является монотонной.B) Множество четных функций образует линейное многообразие, так как ∀ , ∈, = − и + = (−) + − .

Докажем, что – замкнуто отпротивного. Пусть ∃ ∈ : → 0, 0 ∉ , тогда ∃0 > 0: (0 ) ≠ (−0 ), но 0 → 0 и −0 → 0 , следовательно, 0 = −0 – противоречие.Следовательно, множество четных функций образуют подпространство.C) Не образуют подпространство, так как множество многочленов в пространстве −1,1не является замкнутым.D) Не образуют, так как множество непрерывных кусочно-линейных функций не0, [−1,0]является замкнутым в −1,1 .

Рассмотрим = 2. Введем обозначения: , 0,1 = 2 , = , = 0, … , 2 . Рассмотрим последовательность функций: = + ( − ) ∙+1 − +1 − , , +1 . Покажем, что → .0, [−1,0]Рассмотрим = − , ∈ 1 , +1 , = 0, … , 2 − 1. ′ =+1 − +1 − max− ′ = 0 ⇔ ′ = , +1 = 1+1 −⇔= +1 − +1 + 1222( +1)= +1 + 2.

Следовательно,. Таким образом, max∈[−1,1] −1 = max=0,…,2 −1 22( +1) = 22( +1) → 0, → ∞. Таким образом, не являетсязамкнутым.7) Образуют ли в пространстве C *-1, 1+ подпространство следующие множества функций:A) многочлены степени ≤k;B) непрерывно дифференцируемые функции;C) непрерывные функции с ограниченной вариацией;D) функции , удовлетворяющие условию 0 = 0?Решение:A) Да. Множество многочленов степени ≤ представляет собой линейное многообразие,поскольку данное множество замкнуто относительно операций сложения и умножения начисло, введенных как и в пространстве непрерывных функций, то есть является линейнымпространством.Также оно является конечномерным, поскольку базис состоит из k + 1 векторов.Следовательно, множество многочленов степени ≤ является конечномерным линейныммногообразием в линейном нормированном пространстве [−1; 1], а значит по задаче 4(доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейномнормированном пространстве есть подпространство) является подпространством.B) Нет.

Докажем, что множество непрерывно дифференцируемых функций незамкнутоотносительно нормы пространства [−1; 1].Рассмотрим1, 211 1 =+, ∈ − , ,22 1, ∈,1 ,−, ∈ −1, −где = 1, 2, … .Покажем, что она непрерывное дифференцируема:1111 − + − (− )−−1′ − − 0 = lim= lim=−1→−0→−01′ − + 01(− + )2111 1 − + − (− )+ 2 − 2= lim= lim→+0→+0211− + 2 − 2= lim 2= −1→+0Поскольку пределы равны, то производная в данной точке существует и равен -1 . + −() + −()Аналогично получаем, что lim⟶−0= lim⟶+0= 1.Итого получаем непрерывную на отрезке −1,1 производную:1−1, ∈ −1, − ,1 1 ′ = , ∈ − , , 11, ∈,1 .Покажем, что ⟶ , ⟶ ∞110, ∈ −1, − ∪ , 1 , − = 211 1+− , ∈ − , ,22 1sup − = 0 =→ 0, → ∞.2∈ −1,1То есть получили, что ⟶ , ⟶ ∞, но не является непрерывнодифференцируемой функцией.

Значит, множество непрерывно дифференцируемыхфункций незамкнуто, следовательно, не является подпространством.C) Нет.Докажем, что множество непрерывных функций с ограниченной вариацией незамкнутоотносительно нормы пространства [−1; 1].Рассмотрим0, ∈ −1, 0 ,+12213 − , ∈ , +1 , =2 22+1431− + , ∈ +1 , −1 .22Покажем, что непрерывна. При ≠ 0 очевидно.При = 0 надо показать, что → 0:31sup = +1 = ,21 1∈,2 2 −1111, ∈ , −1 , ∀ ∈ ℕ2 2Покажем, что вариация на отрезке −1,1 = +∞() ≤При суммировании вариаций по полуинтервалам 11,2 2 −1получаем1 1 1 1=1+1+ + + + +⋯=22 2 3 3∞=11= +∞Рассмотрим теперь последовательность функций c ограниченной вариацией:10, ∈ 0, ,2 =1 , ∈ −1,0 ∪ , 1 ,21 1 1 11 11 = 1 + 1 + + + + + ⋯ + + = 2 0существует такое > 0, что для всех ∈ таких, что , 0 0.Докажем, что для произвольных 1 и 2 таких, что 1 , 2

источник

Качественное выполнение задач по функциональному анализу по скромной стоимости и в высочайшем качестве

Сегодня существует масса различных предметов, которые входят в учебную программу, однако не пользуются популярностью у студентов. Причин для этого несколько:

• подобные предметы практически никогда не применяет на практике;
• такая дисциплина редко используется и по профессии;
• в процессе изучения оказывается чрезвычайно сложной.

К примеру, к таким дисциплинам стоит отнести и функциональный анализ. Один из видов математических дисциплин, занимающийся изучением топологических векторных пространств.

Эта дисциплина, в частности задачи по ней, не пользуется популярностью, так как найти применения полученным знаниям в жизни достаточно сложно, конечно, если студент не учится на математика.

В большинстве случаев, учащиеся ищут возможности, как избежать самостоятельного решения сложнейших задач, которые предполагает функциональный анализ. Одним из наиболее популярных способов решения, является написание подобной работы на заказ, специалистами – за деньги.

Такой способ пусть и требует капиталовложений, но небольших, позволит студенту избежать многих проблем, связанных с решением задач по функциональному анализу, в частности – поможет сберечь время студента и силы, пустить которые можно на другие задания и предметы, которые будут более актуальны в жизни или по специальности.

Конечно же, выполнение подобного рода работы следует доверять не первому попавшемуся – студенту, сокурснику или человеку, занимающегося написанием обычных рефератов. Такие люди вряд ли смогут сделать подобное достаточно качественно. Соответственно, претендовать на высокий балл с таким трудом будет достаточно сложно.

Многие обращаются к лицам, предлагающим выполнение любых учебных задач. Однако один человек не может в совершенстве знать все предметы и одинаково качественно решать задачи по ним. Поэтому, несмотря на то, что предлагается низкая цена на подобное, этих предложений следует избегать – студент рискует тем, что может получить некачественную работу или же вообще, может потерять деньги, отдав их мошенникам, которые тут же исчезнут, не сделав абсолютно ничего.

Лучшим вариантом в ситуации, если выполнение задачи решено поручить постороннему исполнителю, будет обращение в специализированную компанию. Именно там могут предложить высокое качество по доступной стоимости.

Более того, любая задача по функциональному анализу будет написана качественно, ведь выполнять ее будут настоящие специалисты, среди которых есть и те, для кого функциональный анализ является любимым предметом, или же дисциплиной, которую они изучали на протяжении многих лет.

Поэтому, какова бы ни была задача – решение интегралов, дифференциальные исчисления на бесконечных пространствах, или же работы на основе теорий Хана – Банаха, Рисса – Фреше и прочих, станет достаточно простым решением для специалистов – они смогут выполнить их максимально быстро, качественно, а главное – правильно.

С подобной работой можно смело претендовать на высокую оценку.

Обратиться в компанию, предлагающую подобные услуги, может каждый. Более того, если заказ нужно выполнить срочно – это могут сделать специалисты именно нашего штата. Они способны написать любой труд в самые сжатые сроки.

Главный же плюс – это возможность получить готовую работу точно в срок, причем весьма недорого. Причем обратиться можно с любым заданием по функциональному анализу или любому другому предмету, который сегодня преподают в обычных и высших учебных заведениях.

источник

1 Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве принять за норму элемента : A ; B ; C D E A Можно, так как: 3 B Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы : — произвольная константа С Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы Возьмем но тогда D Можно, так как: и Так как, константа, но, следовательно, Обратное утверждение очевидно

2 3 E Можно, так как:, утверждение очевидно непрерывности Обратное 3 3 Будет ли множество всех многочленов в пространстве A открытым; B замкнутым? A М ножество всех многочленов в пространстве не является открытым, так как по теореме Фейера любую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизить средними Чезаро, которые не являются алгебраическими многочленами Следовательно, окрестность любой точки множества содержит элемент, множеству не принадлежащий B М ножество всех многочленов в пространстве не является замкнутым Рассмотрим пример, функцию можно приблизить частичными суммами ряда Тейлора, которые являются алгебраическими многочленами Следовательно, множество всех многочленов в пространстве не содержит всех предельных точек, значит оно не является замкнутым 4 Доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство По определению линейным подпространством, принадлежащим линейному нормированному пространству, называется линейное многообразие, если оно замкнуто относительно сходимости по норме, следовательно, достаточно доказать, что в линейном нормированном пространстве конечномерное линейное многообразие — замкнуто Докажем от противного Пусть Рассмотрим функцию Рассмотрим, Возьмем произвольный и рассмотрим замкнутый шар Обозначим Тогда Множество конечномерное, замкнутое, ограниченное Функция согласно неравенству треугольника Следовательно, Однако

3 это противоречит предположению, что Следовательно замкнуто и является подпространством 5 Пусть линейное нормированное пространство, линейное многообразие, Доказать, что не содержит никакого шара Докажем от противного Пусть : шар Рассмотрим : Возьмем, где так как принадлежит шару Следовательно,, а значит и Таким образом, пришли к противоречию 6 Образуют ли в пространстве подпространство следующие множества функции: A монотонные функции B четные функции; C многочлены; D непрерывные кусочно- линейные функции? A Не образуют, так как если рассмотреть, то — не является монотонной B Множество четных функций образует линейное многообразие, так как Докажем, что замкнуто от противного Пусть, тогда, но, следовательно, противоречие Следовательно, множество четных функций образуют подпространство C Не образуют подпространство, так как множество многочленов в пространстве не является замкнутым D Не образуют, так как множество непрерывных кусочно- линейных функций не является замкнутым в Рассмотрим Введем обозначения : Рассмотрим последовательность функций : Покажем, что Рассмотрим, Таким образом, Следовательно, не является замкнутым Таким образом, 7 Образуют ли в пространстве C [-, ] подпространство следующие множества функций:

4 A многочлены степени k; B непрерывно дифференцируемые функции; C непрерывные функции с ограниченной вариацией; D функции, удовлетворяющие условию? A Да Множество многочленов степени представляет собой линейное многообразие, поскольку данное множество замкнуто относительно операций сложения и умножения на число, введенных как и в пространстве непрерывных функций, то есть является линейным пространством Также оно является конечномерным, поскольку базис состоит из векторов Следовательно, множество многочленов степени является конечномерным линейным многообразием в линейном нормированном пространстве, а значит по задаче 4 доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство является подпространством B Нет Докажем, что множество непрерывно дифференцируемых функций незамкнуто относительно нормы пространства Рассмотрим где Покажем, что она непрерывное дифференцируема: Поскольку пределы равны, то производная в данной точке существует и равен — Аналогично получаем, что Итого получаем непрерывную на отрезке производную: Покажем, что

5 То есть получили, что, но не является непрерывно дифференцируемой функцией Значит, множество непрерывно дифференцируемых функций незамкнуто, следовательно, не является подпространством C Нет Докажем, что множество непрерывных функций с ограниченной вариацией незамкнуто относительно нормы пространства Рассмотрим Покажем, что непрерывна При очевидно При надо показать, что : Покажем, что вариация на отрезке При суммировании вариаций по полуинтервалам получаем Рассмотрим теперь последовательность функций c ограниченной вариацией: Покажем, что по норме: То есть получили, что, но не является функцией с ограниченной вариацией Значит, множество непрерывных функций с ограниченной вариацией незамкнуто, следовательно, не является подпространством D Да Множество функций, удовлетворяющих условию, представляет собой линейное многообразие, поскольку данное множество замкнуто относительно

6 операций сложения и умножения на число, введенных как и в пространстве непрерывных функций, то есть является линейным пространством Докажем замкнутость Рассмотрим 8 Пусть X линейное нормированное пространство, множество фиксировано Доказать, что непрерывное отображение Опр Если отображение f непрерывно во всех точках пространства X, то говорят, что f непрерывно на X Опр Каждому элементу ставится в соответствие некоторый элемент из Y Это отображение называется непрерывным в точке, если для каждого существует такое, что для всех таких, что выполнено неравенство здесь — расстояние в X, а — расстояние в Y Фиксируем Докажем, что для произвольных будет выполнено Пусть — минимизирующая последовательность для, то есть По неравенству треугольника: Аналогично Следовательно, Следовательно, отображение непрерывное по определению 9 Доказать, что всякое конечномерное линейное нормированное пространство является банаховым Обозначим E конечномерное линейное нормированное пространство Возьмем фундаментальную последовательность элементов, где базис пространства E

7 Т к для любого все его его координаты удовлетворяют неравенству, где H постоянная, зависящая только от выбора базиса в E лемма 53 из Вулих Б З «Введение в функциональный анализ», то Следовательно, конечные благодаря полноте множества вещественных чисел существуют Лемма 53 из Вулих Б З «Введение в функциональный анализ»: Сходимость по координатам влечет сходимость по норме Именно, пусть и Если при каждом а, то По этой лемме получаем Таким образом, полнота E доказана, т е оно банахово Доказать, что подпространство банахова пространства является банаховым пространством Рассмотрим фундаментальную последовательность в подпространстве банахова пространства норма в берется такая же, как и в Эта последовательность является фундаментальной и в, т к — подпространство Поскольку банахово, то Так как подпространство, то по определению подпространства оно замкнуто, следовательно, Получили, что произвольная фундаментальная последовательность в подпространстве сходится к Следовательно, — банахово по определению Может ли в банаховом пространстве иметь пустое пересечение последовательность непустых замкнутых вложенных множеств? Да, может Пример: банахово пространство пространство вещественных чисел и последовательность непустых замкнутых вложенных множеств в нем : Доказать, что в пространстве со скалярным произведением для любых элементов имеет место тождество Аполлония : Преобразуем левую часть тождества, пользуясь свойствами скалярного произведения:

8 Преобразуем правую часть тождества, пользуясь свойствами скалярного произведения: Таким образом, в пространстве со скалярным произведением для любых элементов тождество Аполлония имеет место 3 Доказать, что для того чтобы элемент гильбертового пространства был ортогонален подпространству, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента имело место неравенство Решение необходимо сть Решение достаточно сть Воспользуемся теоремой Леви — гильбертово, — подпространоство в нем Разложим указанным в ней способом : По условию Докажем, что Пусть 4 Доказать, что при фиксированном натуральном множество является подпространством пространства Описать такое подпространство, что Решение Покажем, что является линейным многообразием Построим разложение Пространство является гильбертовым, является подпространством в нем по следствию из теоремы Леви Построим Покажем, что Действительно,

9 Покажем, что Действительно, Итак, мы показали, что необходимым условием того, что является представление в виде Очевидно, что это является и достаточным условием, так как Итак, искомое пространство L является линейной оболочкой вектора 5 В пространстве рассмотрим последовательность, Доказать, что линейная оболочка этой последовательности всюду плотна в пространстве Решение Докажем, что лишь нулевой элемент пространства ортогонален всем элементам множества от противного Получаем Полученное противоречие доказывает, что изначальное утверждение было неверно Итак, мы доказали, что Так как является гильбертовым, то из доказанного выше утверждения следует, что — всюду плотное множество 6 Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными и найти их нормы: Решение для В силу свойств производной получаем

10 Получаем, что оператор линеен Докажем ограниченность оператора В силе линейности оператора достаточно доказать, что оператор переводит замкнутый единичный шар с центром в нуле в пространстве в ограниченное множество в пространстве Итак, мы получили, что — линейный и ограниченный Найдем его норму Ранее было полученно, что Покажем, что Рассмотрим последовательность функций Итак, мы получили максимизирующую последовательность элементов из, показывающую, что Решение для Докажем линейность оператора В силу линейности интеграла Лебега получаем Получаем, что оператор линеен Докажем ограниченность оператора В силе линейности оператора достаточно доказать, что оператор переводит замкнутый единичный шар с центром в нуле в пространстве в ограниченное множество в пространстве Итак, мы получили, что — линейный и ограниченный Найдем его норму Ранее было полученно, что Покажем, что Возьмем Тогда получаем Так как мы показали, что и 7 Пусть и — линейные нормированные пространства, — линейный оператор с областью изменения Доказать, что — линейное многообразие в Всегда ли — подпространство в Решение линейное многообра з и е

11 Для доказательства того, что является линенйным многообразием необходимо доказать, что Таким образом, получаем что является линенйным многообразием Решение подпростран ство Докажем, что не всегда является подпространством Для этого построим линейный оператор, такой, что не является замкнутым множеством дифференцируемых Рассмотрим последовательность непрерывно функций Но Таким образом, получаем что не всегда есть подпространство 8 Доказать, что в банаховом пространстве для любого определены операторы Решение По теореме 3 7 пространство линенйных непрерывных операторов в банаховом пространстве само является банаховым, то есть любая фундаментальная последовательность элементов из этого пространства сходится к элементу этого же пространства Рассмотрим операторную последовательность Так как, то является линейным непрерывным оператором Докажем, что так же является линенйным непрерывным оператором является непрерывным как композиция конечного числа непрерывных операторов

12 Итак, — линейный непрерывный оператор для любого Докажем фундаментальность последовательности Последняя сумма представляет собой хвост сходящегося ряда Итак последовательность является фундаментальной Следовательно она сходится к своему пределу, которые принадлежит этому же пространству Следовательно в пространстве определен оператор являющийся пределом операторной последовательности Для второго случае все полностью аналогично 9 Пусть X банахово пространство, A L X X Доказать, что I, где I тождественный оператор A A Найти A A По определению,, A L X X /*в пдф-ке в числителе была норма А*/! A k A k k k! k k! k k! k k! k k! k k! что следует из сходимости ряда в смысле нормы в L X X A k A k A k A k k A, т к k! k, Утверждение доказано Найдем I по определению: k I I I I k! k! k! k! k k k k k k!, X I I Рассмотрим оператор A : C[,] C[,] d A с областью определения d D A линейное многообразие дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям ‘ Найти A и доказать, что он ограничен Обозначим d / d, d / d Тогда задача примет вид :

13 d / d, d / d, ; Или dx d BX Y, где X,, Y,, B По теореме Каратеодори /*нафига тут говорить об этой теореме?*/ задача Коши dx / d BX X X ; Y, [, ], где Y интегрируема по Лебегу, имеет единственное решение в классе абсолютно непрерывных функций и это решение дается формулой X B sb X Y s ds решение задачи выглядит так: sb Y s ds B X X, cos si B cos s si s, sb si cos si s cos s Тогда cos ssi s ds si scos s ds Заметим, что cos cos ssi s ds si s ds si si scos s ds cos s ds 4 т е обратный оператор ограничен s Рассмотрим оператор A : C[,] C[,], A s ds Существует ли оператор A? Решение. неверное. опечтка в условии: По определению A, если! решение задачи A Пусть N A

14 s s s s ds s ds s ds s s ds s s s [,] s s [,] N A Пусть, C[,]: A A Тогда A A, A,, Рассмотрим оператор A : C[,] C[,], A τ dτ Пусть N A ядро оператора A A Доказать, что N A , так что при любом C[,] уравнение A не может иметь более одного решения B Найти оператор A и доказать, что он ограничен А /*решил я сам, так что возможны баги*/ N A τ dτ τ dτ c c c τ dτ τ c dτ c и c c c Следовательно, и N A Б Пусть τ dτ

15 Тогда ‘ u u, где d u τ τ Решаем дифференциальное уравнение при фиксированном : c u, ‘ c d c τ τ τ d d c u A τ τ τ τ τ τ d d A τ τ τ τ τ τ, т е обратный оператор ограничен 3, Доказать что оператор ] [, [,] : C C A, ds s A s имеет, ограниченный обратный и найти A Пусть ds s s, или ds s s Обозначим ] [ ds s D s Тогда ] [ D Нужно выразить функционал ] [ D через Умножим последнее уравнение на и проинтегрируйте по от до Получим ] [ ] [ d D d D Отсюда ] [ d d D Окончательно, ds ds s A s s

16 A s s ds s ds ограничен s s ds s ds, т е обратный оператор /*в случае если в условии верхний предел интегрирования:, а не */ s Пусть s ds Тогда s u u’, где u s ds Решаем дифференциальное уравнение при фиксированном : u c, c’ c s s ds A u c s s ds s s ds A ограничен s s ds *, т е обратный оператор 4 Пусть X комплексное линейное пространство, f определенный на X и не равный тождественно нулю линейный функционал Доказать, что область значений f есть все C Нужно доказать, что c C X : f c Известно, что dim C Если доказать, что R f область изменения линейного функционала f содержит линейно- независимых вектора, то с учетом линейности функционала мы получим все C, так как C a b, a, b R;, базис в > Пусть i X

17 5 Доказать, что следующие функционалы в пространстве являются линейными непрерывными и найти их нормы: A ; B A Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный Если найти функцию, на которой, то равна 4 Рассмотрим, а Значит, B Докажем линейность: Покажем, что функционал ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает, равна Рассмотрим: то Функция будет равна: Значит,

18 6 Доказать, что следующие функционалы в пространстве являются линейными непрерывными и найти их нормы: A ; B где, A Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный Если найти функцию, на которой, то равна Рассмотрим: Заметим, что Значит, B Докажем линейность функционала: Покажем ограниченность функционала: Значит, — ограниченный и непрерывный — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает 3, равна 3 Рассмотрим: то

19 Функция будет равна: Заметим, что Значит, 7 Будут ли ограниченными в пространстве следующие линейные функционалы: A ; B? A B 8 Доказать, что следующие функционалы являются линейными непрерывными и найти их нормы: A, ; B, A Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный

20 — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает, равна Рассмотрим: то Функция будет равна: Заметим, что Значит, B Докажем линейность функционала: Покажем ограниченность функционала: — непрерывный, значит если, то Если найти последовательность, сходящуюся к, на котором достигает, равна Рассмотрим: то Заметим, что Значит, 9 Доказать, что функционал, является линейным непрерывным, и найти его норму Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Линейный оператор непрерывный он ограниченный 7, Теорема Оператор ограниченный, если

21 Норма оператора : Покажем, что оператор ограниченный: Значит, — ограниченный и непрерывный Если найти последовательность, на которой, то равна Рассмотрим Заметим, что Значит, 3 Для положим Доказать, что ограниченный линейный функционал Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы: Оператор ограниченный, если Докажем ограниченность функционала: 3 Найти сопряженный к оператору, если A B Решение A Положим, тогда пространство — гильбертово В гильбертовом пространстве оператор является сопряженным к оператору, если Рассмотрим скалярное произведение : Таким образом,

22 B Рассмотрим скалярное произведение : Тогда сопряженный оператор имеет вид : 3 Найти сопряженный к оператору, если A B при Решение A В гильбертовом пространстве оператор является сопряженным к оператору, если Комплексное пространство является гильбертовым, если положить Рассмотрим скалярное произведение : Таким образом, B Рассмотрим скалярное произведение : Тогда 33 Найти сопряженный к оператору, если: Решение A ; B, при A В гильбертовом пространстве H теорема Рисса- Фреше, Теорема дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора равенство определяет сопряженный оператор Комплексное пространство становится гильбертовым, если выбрать скалярное произведение как: Сходимость этого ряда следует из неравенства Коши- Буняковского: Рассмотрим:

23 Таким образом, сопряженный оператор имеет вид: B Рассмотрим: Таким образом, сопряженный оператор имеет вид: 34 Какие из следующих операторов являются вполне непрерывными: Решение A ; B ; C ; D ; E? A Ответ: Нет Оператор является вполне непрерывным, если он любое ограниченное множество переводит в компактное Воспользуемся критерием компактности в, Теорема Для того, чтобы множество непрерывных функций из было компактным необходимо и достаточно: ; Рассмотрим функцию: При этом функция:, т к и не является равномерно непрерывной, т к

24 не является ограниченной на Значит, оператор не является вполне непрерывным B Ответ: Да Воспользуемся доказательством критерия компактности в Если функция, то является вполне непрерывным В данном случае Значит, оператор является вполне непрерывным C Ответ: Да — непрерывно дифференцируема на Значит, равностепенная непрерывность равносильна равномерной ограниченности ее производной Заметим, что — ограничена на в силу непрерывности Значит, оператор является вполне непрерывным D Ответ: Да Воспользуемся доказательством критерия компактности в Если функция, то является вполне непрерывным В данном случае Значит, оператор является вполне непрерывным E Ответ: Нет Рассмотрим функцию

25 , но не является равностепенно непрерывной, т к не является ограниченной на Значит, оператор не является вполне непрерывным 35 Будет ли вполне непрерывным оператор A : C[,] C[,], A [ ]? Нет, не будет Пусть C[, ] четная функция Тогда A Возьмем si Тогда, как рассмотрено в задаче 34 пункт Е, A имеет неограниченную производную на множестве [,,] оператор не является вполне непрерывным 36 При каком условии на функцию ϕ C[,] оператор A : C[,] C[,], A ϕ будет вполне непрерывным? Докажем, что искомым условием на функцию ϕ является условие ϕ, [,] Пусть это не так, т е,]: ϕ [ Тогда в силу свойств непрерывных функций δ > : ϕ, [ δ, ] δ Не ограничивая общности, будем полагать, что ϕ всюду в окрестности точки случай ϕ 26 Имеем Aδ δ Aδ δ ϕ δ C >, где C cos, δ [, δ, т к ϕ C Итак, δ, δ δ C[,]: A δ A δ C > образ замкнутого единичного шара из пространства C [,] при отображении А не есть равностепенно непрерывное множество функций А не является вполне непрерывным оператором Мы пришли к противоречию ϕ, [,] d 37 Будет ли вполне непрерывным оператор A, если он рассматривается как d действующий: А A : C [,] C[,] ; B A : C [,] C [,] ; C A : C [,] C[,]? А Рассмотрим последовательность S [,] C, si cos d si Тогда A и A Т е A — d d неограниченная последовательность при Следовательно, образ замкнутого единичного шара из пространства C [,] при отображении А не является равностепенно непрерывным множеством функций оператор А не вполне непрерывный B Ответ: нет Рассмотрим последовательность S [,] cos, [,] 3 d cos A d 3 Тогда d C, si A 3 и Очевидно, что последовательность сильно сходится к, а значит и слабо при Тогда докажем, что из нельзя выделить фундаментальную последовательность в C [,] Пусть это не так и фундаментальная последовательность k Тогда ma [,] k ma [,] k k k A По признаку Коши имеем: ma ma [,] [,] k, p Из k p k k p k сходимости первого слагаемого к вытекает необходимость сходимости второго, т е

27 cos k p cos k k p k k p k ma si si [,] k, p k, p 3 3 А это не так Значит, получили противоречие оператор А не вполне непрерывный С Ответ: да Рассмотрим образ F множества C [,] пространстве S F равномерно ограниченно и равностепенно непрерывно в силу ограниченности множества производных Согласно теореме Арцела, F компактно А значит, оператор А вполне непрерывный 38 Сформулировать критерий компактности в l p Какие из следующих операторов A : l l вполне непрерывны при,, : А A. ; A ; 3 3 A. 3 3 B. C Критерий компактности в необходимо и достаточно, l p : Для компактности замкнутого множества K lp чтобы множество K было ограниченным и чтобы ε > p ε N : ξ i 28 B Ответ: оператор является вполне непрерывным Для доказательства этого покажем, что образ F замкнутого единичного шара из является компактным множеством, для чего воспользуемся критерием компактности в l p Ограниченность очевидна, поскольку A F имеем: Ограниченность F доказана Чтобы доказать его замкнутость, докажем, что A непрерывный оператор, тогда, в силу замкнутости шара, получим замкнутость F Пусть Тогда k k k k A A k k k Следовательно, оператор А непрерывный Условие критерия компактности множества в l p проверяется так: k Ak k k k k k и любом ε С Ответ: оператор является вполне непрерывным Доказательство совершенно аналогично доказательству предыдущего пункта со смещением индексов последовательности на 39 Доказать, что оператор,, A : l l, A λ, λ, l, где λ R, k N, sup 29 d d A,, A * Отсюда вытекает, что A A Далее: d A, d Следовательно, оператор А неотрицательный 4 Доказать, что оператор : L [,] L[,] самосопряжённым и неотрицательным Рассмотрим скалярное произведение: s A, A s ds s s s s ds d d s ds s ds d является A,, A Следовательно, * A A Далее: s s s ds d s ds * d A, d Следовательно, оператор А неотрицательный 4 Пусть R h, A : L, L,, h фиксировано Доказать, что разностный оператор h h A h * удовлетворяет соотношению A A Рассмотрим скалярное произведение: h h h A, d d h h h h s s ds s s ds h Отсюда вытекает, что A A * h h h d h d, A 43 Пусть самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве, причем Доказать, что если существует ограниченный оператор, то обратный оператор тоже самосопряжен Поскольку ограниченный, то Тогда

30 44 Пусть — ограниченный самосопряженный оператор, Доказать, что оператор существует Предположим, что Тогда Рассмотрим скалярное произведение и воспользуемся самосопряженностью оператора : Следовательно, предположение верно только при Отсюда очевидно следует обратимость оператора 45 Рассмотрим оператор, для Доказать, что самосопряжен в и Найти оператор В гильбертовом пространстве оператор является самосопряженным, если выполнено Пространство становится гильбертовым, если для любых двух его элементов и положить Сходимость этого ряда для любых и из вытекает из неравенства Буняковского для рядов Рассмотрим скалярное произведение Таким образом, оператор является самосопряженным Далее : Теперь рассмотрим оператор Очевидно, Значит, 46 В вещественном линейном пространстве найти собственные значения и собственные векторы оператора: А ; В Решение значениями оператора являются: следовательно, если, то собственными Собственные вектора — четные функции Собственные вектора — нечетные функции Решение Исходя из этого будет искать собственные вектора в виде Таким образом получаем, что — собственный вектор, отвечающих собственному значению 47 В пространстве рассмотрим оператор Найти

31 Видно, что при резольвента не существует, поэтому Пусть теперь, тогда Таким образом, при резольвента не существует, поэтому Спектр оператора —, при остальных значениях : 48 Рассмотрим оператор для, где Найти Домрина, Леонтьева, задача 6 Очевидно, Пусть Тогда для любого определен, причем, что доказывает регулярность значения Значит, 49 Доказать, что оператор для, вполне непрерывен и найти его спектр Непрерывность: А непрерывен проверяется по определению действует в конечномерное пространство > он вполне непрерывен образ ограниченного множества компактен по т Больцано Вейерштрасса См Теорема Треногин, параграф, т3 и следствие из неё Спектр : Решая систему, получим, что при любом её решение вектор — точка остаточного спектра, т к только нулевой 5 Доказать, что оператор вполне непрерывен и найти его спектр Оператор вполне непрерывный, т к он интегральный по доказанному на лекциях Так как, где, собственные векторы надо искать в виде Но тогда, и собственных векторов у оператора нет, и весь спектр состоит из точки

32 5 Доказать, что оператор вполне непрерывен и найти его спектр Оператор вполне непрерывный, т к он интегральный по доказанному на лекциях Поэтому собственный элементы A нужно искать в виде Откуда Так как оператор вполне непрерывный, то в спектр также входит точка, и других точек спектра нет

источник

Функциональный анализ включает в себя следующие комплексные процедуры:

1. Определение и классификацию функций.

2. Построение функциональной и функционально-структурной моделей.

3. Стоимостную оценку функций.

4. Выбор функций для дальнейшей оптимизации.

Функция – сущностная, качественная характеристика потребительского свойства.

Некоторые потребительские свойства для своего полного описания требуют ещё и количественной характеристики, которая называется параметр использования.

Определить функцию – значит сформулировать её словесно и установить параметры использования.

Формула формулировки функции:

Функции классифицируются:

а) В зависимости от области проявления функции:

— внешние (функции, определяющие связь анализируемого объекта с внешним миром. Определяются, когда объект рассматривается как элемент более крупной системы).

— внутренние (определяются конструкцией, принципом действия объекта. Для их определения исследуемый объект рассматривается как система).

б) В зависимости от назначения изделия:

— г лавные(функции назначения);

— второстепенные (все другие).

— основные (предназначены для реализации главных внешних функций);

— вспомогательные (непосредственно реализующие второстепенные или внутренние функции, как бы помогающие основным реализовать назначение объекта).

Кроме данной классификации внешние функции классифицируются с позиций своей полезности, то есть в соответствии с поставленными требованиями к объекту (рис. 7.1).

Рисунок 7. 1 – Анализ функций с позиции полезности

На основе классификации функций строится функциональная модель, которая показывает графически субординацию внешних и внутренних функций объекта.

Рисунок 7. 2 — Пример функциональной модели

После построения функциональной модели в реальном объекте определяются материальные носители, которые материально реализуют самый нижний уровень функций функциональной модели.

В качестве материальных носителей могут быть:

— отдельные материальные элементы (детали, блоки, материалы);

— определённые способы их обработки (шлифование, заливка компаундом…);

— интеллектуальные продукты (вычислительная программа).

Материальные носители, изображённые вместе с функциональной моделью, называются функционально-структурной моделью (ФСМ). Она показывает взаимосвязь функций и материальных носителей, их реализующих. ФСМ может быть представлена в виде схемы или таблицы. Если изображение ФСМ будет в виде схемы, то каждая функция на функциональной модели может изображаться следующим образом (рис. 7. 3):

Рисунок 7. 3 – Фрагмент ФСМ

Пример другого способа схемного изображения ФСМ приведен на рис. 7. 4.

Рассмотрим далее стоимостную оценкуфункций

По каждому материальному носителю определяется его стоимость, которая на основе ФСМ позволит определить стоимость каждой функции.

Так как наиболее часто в ФСА оптимизируются затраты на изготовление объекта, то в качестве стоимости функции (материальных носителей) могут быть:

— прямые затраты по рассматриваемому материальному носителю;

— технологическая себестоимость материального носителя;

— производственная себестоимость материального носителя.

К прямым затратам относят:

— материалы, сырьё, комплектующие изделия с учётом транспортных расходов;

— зарплата основных производственных рабочих;

— отчисления на социальные нужды;

— топливо, электроэнергия технологические.

Если один материальный носитель реализует несколько функций, то затраты могут быть распределены между функциями следующим образом:

,

где — стоимость Fi-й функции, ден. ед;

— стоимость материального носителя, реализующего несколько функций,

— число реализуемых функций.

2-й способ – экспертный метод: путём анализа материального носителя.

3-й способ – пропорционально значимости (или важности) каждой функции. Значимость функции показывает в условных единицах роль или вклад данной функции в реализацию функции более высокого уровня. Важность – роль в реализации объекта в целом.

Пример: функция 01 реализуется тремя функциями низшего ранга 011, 012, 013 (рис. 7. 4), а материальный носитель МН₁ реализует две функции 011 и 012.

Рисунок 7. 4 – Фрагмент ФСМ (пример)

Определение значимости отдельных функций осуществляется экспертным методом с использованием численных методов обработки экспертных данных. Например,

— метода расстановки приоритетов;

— метода попарного сравнения.

Рассмотрим методику выбора функций, подлежащих оптимизации.

Прежде всего в качестве функций, намеченных к оптимизации, следует принять функции бесполезные, вредные с завышенными или заниженными параметрами использования (см. рис. 7. 1).

После выявления данных функций в качестве функций для оптимизации принимается часто функции, выбранные по стоимостному критерию.

Существующие способы выбора:

1) если изделие очень простое (5-6 внутренних функций), то теория ФСА предлагает все функции оптимизировать;

2) если в изделии резко выделяется по стоимости одна функция или возможности выполнения ФСА ограничены, то оптимизируется одна, самая дорогая функция;

3) метод «АВС» или диаграмма Парето.

4) если функций очень много, наряду с диаграммой Парето используется метод построения функционально-стоимостной диаграммы.

Метод «АВС»: рассматриваются функции одного уровня и располагаются графически в порядке убывания затрат (см. пример на рис. 7. 5).

Рисунок 7. 5 – Пример диаграммы Парето

По оси ординат откладываются затраты нарастающим итогом. Практика ФСА показала, что прежде всего нужно анализировать функции зоны А (75% всех суммарных затрат). Если среди этих функций будут найдены резервы для снижения затрат, то другие функции оптимизации не подвергаются. Если резервы для снижения затрат не найдены, то нужно анализировать функции зоны В (75 — 95% всех суммарных затрат). Далее — зона С.

В рассмотренном примере (рис. 7.5) нужно в первую очередь оптимизировать функции ОС1, ВС1, ОС2.

Обычно она используется в сочетании с диаграммой Парето или самостоятельно для ограничения количества оптимизируемых функций.

Построение требует информации о стоимости и о значимости (или важности) функций. При построении функционально-стоимостной диаграммы должны быть выполнены условия:

,

где — суммарная стоимость всего объекта анализа, грн.

Рисунок 7. 6 – Пример функционально-стоимостной диаграммы,

где — удельный вес каждой функции в общей стоимости изделия.

По оси абсцисс – функции в произвольной последовательности.

По оси ординат – значимость функций (или важность, то есть роль относительно изделия в целом).

ФСА предполагает, что значительные затраты по отдельным функциям правомерны, если велика их значимость. Поэтому в первую очередь нужно подвергать анализу те функции, значимость которых меньше, чем удельный вес затрат. В приведенном примере (рис. 7. 6) это функция F2.

7. 4 Этап творчества и выбор оптимального решения

На этапе творчества разрабатываются различные технические способы реализации выбранных для оптимизации функций. При этом применяются научные методы коллективного творческого труда и активизации творчества.

Например: мозговой штурм; метод общего блокнота; морфологический анализ; метод активизации изобретательского поиска и др.

Анализ и выбор оптимального решения по каждой оптимизируемой функции.

Выбор варианта технического решения осуществления в последовательности:

1) отбор технически осуществимых вариантов;

2) проверка вариантов по удовлетворению технических требований:

2.1 на основе параметров использования;

2.2 на основе балльной оценки, если у оптимизируемой функции отсутствуют параметры использования.

3) выбор лучшего решения осуществляется по критерию оптимизации, который был определён на информационно-подготовительном этапе, когда формировались цели ФСА. Но наиболее часто таким критерием являются минимальные затраты на реализуемую функцию.

Рассмотрим на примере балльную оценку вариантов технического решения по отдельной потимизируемой функции.

Степень удовлетворения функции в баллах может быть оценена экспертом по табл.7.1.

Таблица 7. 1 – Шкала балльной оценки технического решения

По каждой из функций F при предлагаемом техническом решении рассчитывается средний балл:

,

где — средний балл по рассматриваемой функции при конкретном техническом решении;

— значимость функции более низкого ранга, реализующей F;

— степень удовлетворения функции в баллах по конкретному решению;

— количество функций более низкого ранга, реализующих рассматриваемую функцию F.

Оценка варианта технического решения осуществляется по среднему баллу на основе таблицы 7. 2.

Таблица 7. 2 – Критерий оценки