Функциональный анализ что такое норма

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ

Учреждение образования

«Высший государственный колледж связи»

Предмет: «Теория электросвязи».

Целью дисциплины является изучение основных закономерностей и методов передачи информации по каналам связи. Рассматриваются математические модели сообщений, сигналов и помех, методы формирования сигналов и их преобразования в каналах связи, принципы построения систем связи, их характеристики и вопросы оптимизации.

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа, 2000-448с.

2. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В. Финк Л.М. Теория передачи сигналов. – М.: Радио и связь, 1986-304с.

3. Теория электрической связи. Под редакцией Кловского Д.Д. – М.: Радио и связь, 1999-432с.

4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы – М.: Советское радио, 1986.

5. Клюев Л.Л. Теория электрической связи – Мн.: Дизайн ПРО, 1998-336с.

6. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач – М. Высшая школа, 1987-206с.

7. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория передачи сигналов в задачах – М.: Радио и связь, 1990-280с.

8. Заездный А.М. Основы расчётов по статистической радиотехнике. М.: Связь, 1969.

9. Горяинов В.Т., Журавлёв А.Г. Тихонов В.И. Примеры и задачи по статистической радиотехнике – М.: Советское радио, 1980

10. Прокис Дж. Цифровая связь. Пер. с англ. / Под редакцией Д.Д. Кловского – М. Радио и связь, 2000 – 1000с.

11. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции расширенных спектров. – М.: Радио и связь. 2000 – 520с.

12. Борисов В.И., Зинчук В.М. и др. Помехозащищённость систем радиосвязи / Под ред. Борисова В.И. – М.: Радио и связь, 2003-640с.

13. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение, 2-е изд.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003-1104с.

14. Каганов В.И. Радиотехника + компьютер + Math CAD. М.: Горячая линия, 2001.

15. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи. Под редакцией И.С. Гоноровского – М. «Радио и связь», 1989.

16. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. Москва, «Радио и связь», 1985.

Раздел 1. Основы анализа сигналов.

В основе функционального анализа сигналов лежит представление сигнала как вектора, в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Пусть — множество сигналов. Причина объединения этих объектов – наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества .

Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, можно осуществлять, если выражать одни элементы множества через другие элементы. При этом считается, что множество сигналов наделено определённой структурой. Электрические колебания могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это даёт возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства.

Множество сигналов образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал при любых принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых и существует их сумма , причём также содержится в . Операция суммирования коммутативна: и ассоциативна .

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа определён сигнал .

4. Множество содержит особый нулевой элемент , такой, что для всех .

Линейное пространство, элементами которого являются функции, называется функциональным.

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, можем ввести понятие комплексного линейного пространства.

Как и в обычном трёхмерном пространстве в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей. В качестве таких осей используются линейно независимые векторы.

Совокупность векторов , принадлежащих , является линейно независимой, если равенство:

возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов .

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве.

Норма и метрика. Введём новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только определить, что один сигнал больше другого, но и указать, насколько он больше.

Длину вектора называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору однозначно сопоставлено число — норма этого вектора.

Аксиомы нормированного пространства

1. Норма неотрицательна, т.е. . Норма =0 тогда и только тогда, если

2. Для любого числа справедливо равенство .

3. Если и — два вектора из L, то выполняется неравенство:

Существуют разные способы определения нормы сигналов. Чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму:

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма:

где *-символ комплексно-сопряжённой величины.

Квадрат нормы называется энергией сигнала

Такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1Ом, если на его зажимах существует напряжение .

Необходимо ввести фундаментальное понятие, которое обобщало бы наше обычное представление о расстоянии между точками в пространстве.

Говорят, что линейное пространство L становится метрическим пространством, если каждой паре элементов сопоставлено неотрицательное число , называемое метрикой, или расстоянием между этими элементами. Метрика, независимо от способа её определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства:

3. Каков бы ни был элемент , всегда .

Установим взаимосвязь между нормой и метрикой. Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:

Норму в свою очередь, можно понимать как расстояние между выбранным элементом пространства и нулевым элементом: .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9005 — | 7249 — или читать все.

193.124.117.139 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

источник

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши.

Числовые функции на пространствах функций называют функционалами. Возможно, с этим обстоятельством связано возникновение термина «функциональный анализ». Так, в классической механике для нахождения траектории движения частицы требуется исследовать на минимум функционал действия, для чего его приходится дифференцировать; а поскольку под термином «анализ» в математике понимается интегральное и дифференциальное исчисление, то естественно предположить, что нахождение экстремали функционала действия — одна из первейших задач, давших функциональному анализу его имя. [источник не указан 569 дней]

• Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха — Штейнгауза) применимый к набору операторов с точной границей.
• Принцип oткрытости отображения. Как её следствия — теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору, теорема о замкнутом графике.
• Теорема Хана — Банаха о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых пространствах.
• Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна), дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики.
• Теорема Гельфанда — Наймарка
• Теорема Рисса — Фреше

Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие тенденции:

• Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
• Геометрия Банаховых пространств.
• Некоммутативная геометрия. Разработанная Аленом Конном, частично построенная на более ранних представлениях, таких как аппроксимация Джоржа Макки (George Mackey) в эргодической теории.
• Связь с квантовой механикой. Также более узко определённая как в математической физике, или истолкованное более обще, например Гельфандом, включается в более типичную теорию изображений.
• Квантовый функциональный анализ Исследование пространств операторов, вместо пространств функций.
• Нелинейный функциональный анализ. Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей, и др. в рамках функционального анализа.

1. ↑ На самом деле, любое линейное пространство, в том числе и конечномерное, может быть реализовано как пространство функций. Сделать это можно несколькими способами. Например, линейное пространство линейно изоморфно множеству функций на базисе Гамеля этого пространства (или любого равномощного ему множества), отличных от нуля лишь на конечном числе точек. Другой вариант: вложим линейное пространство V в его второе алгебраически сопряженное, то есть в пространство всех линейных функционалов над пространством всех линейных функционалов над V.
2. ↑Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1.Общая теория. — С. 5-6.

• Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5.
• Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
• Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.
• Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. – М.: ИЛ,1962.
• Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. – М.: Мир,1966.
• Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. – М.: Мир,1974.
• Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 624 с.
• Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М .: Наука, 1976. — 544 с.
• Люстерник Л. А., В. И. Соболев. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965. 520 c.
• Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. — 232с.
• О возникновении и развитии функционального анализа. Сб. статей. // Историко-математические исследования. — М .: Наука, 1973. — № 18. — С. 13-103.
• Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. — 744с.
• Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
• Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М .: Наука, 1980. — 496 с.
• Функциональный анализ / редактор Крейн С. Г.. — 2-е, переработанное и дополненное. — М .: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
• Хелемский A. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2009. — 304с.
• Хелемский A. Я. Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении. М.: МЦНМО, 2004. — 552с.
• Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — один из основных разделов современной математики. Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов многих разделов классического математического анализа, алгебры, геометрии. Характеризуется использованием понятий,… … Большой Энциклопедический словарь

функциональный анализ — сущ., кол во синонимов: 1 • функан (2) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

функциональный анализ — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN function analysis … Справочник технического переводчика

Функциональный анализ — I Функциональный анализ часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… … Большая советская энциклопедия

Функциональный анализ — разновидность анализа, характеризующегося как метод выявления функций рассматриваемого объекта и изучение их влияний на другие объекты. Функциональный анализ применим лишь к тем явлениям, которым приписываются функции, например, общественные… … Основы духовной культуры (энциклопедический словарь педагога)

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — 1. Вообще – анализ сложной системы, при котором основное значение уделяется функциям различных аспектов системы и способу интеграционного оперирования. Такой анализ обычно преуменьшает значение фактической формы или структуры. Анализируемой… … Толковый словарь по психологии

функциональный анализ — один из основных разделов современной математики. Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов многих разделов классического математического анализа, алгебры, геометрии. Характеризуется использованием понятий,… … Энциклопедический словарь

Функциональный анализ — – способ выяснения цели конкретного вида поведения, развивающийся в рамках МОДИФИКАЦИИ ПОВЕДЕНИЯ. Большинство видов так называемого аномального поведения в действительности отвечают каким то целям человека, но не всегда удается определить смысл… … Словарь-справочник по социальной работе

функциональный анализ — funkcinė analizė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Analizuojamosios medžiagos būdingų funkcinių grupių nustatymas. atitikmenys: angl. functional analysis vok. Funktionsanalysis, f rus. функциональный анализ, m pranc.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

функциональный анализ — funkcinė analizė statusas T sritis chemija apibrėžtis Organinės medžiagos funkcinių grupių radimas ir nustatymas. atitikmenys: angl. functional analysis; group analysis rus. функциональный анализ … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

источник

Вряд ли найдется кто-то, кто еще ни разу не сдавал кровь из пальца на анализы. Общий анализ крови берут практически при любом заболевании. Так в чем же его диагностическая ценность и какие диагнозы он может подсказать? Разбираем по-порядку.

Основные показатели, на которые врач обращает внимание при расшифровке общего анализа крови — это гемоглобин и эритроциты, СОЭ, лейкоциты и лейкоцитарная формула. Остальные скорее являются вспомогательными.

Чаще всего общий анализ крови назначают, чтобы понять, есть ли в организме воспаление и признаки инфекции, и если да, то какого происхождения — вирусного, бактериального или другого.

Также общий анализ крови может помочь установить анемию — малокровие. И если в крови есть ее признаки — назначают дополнительные анализы, чтобы установить причины.

Еще общий анализ крови назначают, если есть подозрение на онкологический процесс, когда есть ряд настораживающих симптомов и нужны зацепки. В этом случае кровь может косвенно подсказать, в каком направлении двигаться дальше.

Другие показания обычно еще реже.

Сейчас на бланках с результатом анализов в основном используют англ. аббревиатуры. Давайте пройдемся по основным показателям и разберем, что они значат.

Это более детальная информация о тех самых WBC из предыдущего блока.

Лейкоциты в крови очень разные. Все они в целом отвечают за иммунитет, но каждый отдельный вид за разные направления в иммунной системе: за борьбу с бактериями, вирусами, паразитами, неспецифическими чужеродными частицами. Поэтому врач всегда смотрит сначала на общий показатель лейкоцитов из перечня выше, а затем на лейкоцитарную формулу, чтобы понять, а какое звено иммунитета нарушено.

Обратите внимание, что эти показатели обычно идут в двух измерениях: абсолютных (абс.) и относительных (%).

Абсолютные показывают, сколько штук клеток попало в поле зрения, а относительные — сколько эти клетки составляют от общего числа лейкоцитов. Это может оказаться важной деталью — например, в абсолютных цифрах лимфоциты вроде как в пределах нормы, но на фоне общего снижения всех лейкоцитов — их относительное количество сильно выше нормы. Итак, лейкоцитарная формула.

А теперь пройдемся по каждому из этих показателей и разберем, что они значат.

Гемоглобин — это белок, который переносит по организму кислород и доставляет его в нужные ткани. Если его не хватает — клетки начинают голодать и развивается целая цепочка симптомов: слабость, утомляемость, головокружение, выпадение волос и ломкость ногтей, заеды в уголках губ и другие. Это симптомы анемии.

В молекулу гемоглобина входит железо, а еще в его формировании большую роль играют витамин В12 и фолиевая кислота. Если их не хватает — в организме нарушается синтез гемоглобина и развивается анемия.

Есть еще наследственные формы анемии, но они случаются гораздо реже и заслуживают отдельного разбора.

В норме гемоглобин составляет 120−160 г/л для женщин и 130-170 г/л для мужчин. Нужно понимать, что в каждом конкретном случае нормы зависят от лаборатирии. Поэтому смотреть нужно на референсные значения той лаборатории, в которой вы сдавали анализ.

Повышенные цифры гемоглобина чаще всего случаются из-за сгущения крови, если человек излишне потеет во время жары, или принимает мочегонные. Еще повышенным гемоглобин может быть у скалолазов и людей, которые часто бывают в горах — это компенсаторная реакция на недостаток кислорода. Еще гемоглобин может повышаться из-за заболеваний дыхательной системы — когда легкие плохо работают и организму все время не хватает кислорода. В каждом конкретном случае нужно разбираться отдельно.

Снижение гемоглобина — признак анемии. Следующим шагом нужно разбираться какой.

Эритроциты — это красные клетки крови, которые транспортируют гемоглобин и отвечают за обменные процессы тканей и органов. Именно гемоглобин, а точнее — его железо, красит эти клетки в красный.

Нормы для мужчин — 4,2-5,6*10*9/литр. Для женщин — 4-5*10*9/литр. Которые опять-таки зависят от лаборатории.

Повышаться эритроциты могут из-за потери жидкости с потом, рвотой, поносом, когда сгущается кровь. Еще есть заболевание под названием эритремия — редкое заболевание костного мозга, когда вырабатывается слишком много эритроцитов.

Снижении показателей обычно является признаком анемии, чаще железодефицитной, реже — другой.

Норма — 80-95 для мужчин и 80-100 для женщин.

Объем эритроцитов уменьшается при железодефицитной анемии. А повышается — при В12 дефицитной, при гепатитах, снижении функции щитовидной железы.

Повышается этот показатель редко, а вот снижение — признак анемии или снижения функции щитовидной железы.

Повышение значений почти всегда свидетельствует об аппаратной ошибке, а снижение – о железодефицитной анемии.

Это процентное соотношение форменных элементов крови к ее общему объему. Показатель помогает врачу дифференцировать, с чем связана анемия: потерей эритроцитов, что говорит о заболевании, или с избыточным разжижением крови.

Это элементы крови, ответственные за формирование тромботического сгустка при кровотечениях. Превышение нормальных значений может свидетельствовать о физическом перенапряжении, анемии, воспалительных процессах, а может говорить о более серьезных проблемах в организме, среди которых онкологические заболевания и болезни крови.

Снижение уровня тромбоцитов в последние годы часто свидетельствует о постоянном приеме антиагрегантов (например, ацетилсалициловой кислоты) с целью профилактики инфаркта миокарда и ишемического инсульта головного мозга.

А значительное их снижение может быть признаком гематологических заболеваний крови, вплоть до лейкозов. У молодых людей — признаками тромбоцитопенической пурпуры и других заболеваний крови. Так же может появляться на фоне приема противоопухолевых и цитостатических препаратов, гипофункции щитовидной железы.

Это основные защитники нашего организма, представители клеточного звена иммунитета. Повышение общего количества лейкоцитов чаще всего свидетельствует о наличии воспалительного процесса, преимущественно бактериальной природы. Также может оказаться признаком так называемого физиологического лейкоцитоза (под воздействием боли, холода, физической нагрузки, стресса, во время менструации, загара).

Нормы у мужчин и женщин обычно колеблются от 4,5 до 11,0*10*9/литр.

Снижение лейкоцитов – признак подавления иммунитета. Причиной чаще всего являются перенесенные вирусные инфекции, прием некоторых лекарств (в том числе нестероидных противовоспалительных и сульфаниламидов), похудение. Гораздо реже — иммунодефициты и лейкозы.

Самый большой пул лейкоцитов, составляющий от 50 до 75% всей лейкоцитарной популяции. Это основное звено клеточного иммунитета. Сами нейтрофилы делятся на палочкоядерные (юные формы) и сегментоядерные (зрелые). Повышение уровня нейтрофилов за счёт юных форм называют сдвигом лейкоцитарной формулы влево и характерно для острой бактериальной инфекции. Снижение — может быть признаком вирусной инфекции, а значительное снижение — признаком заболеваний крови.

Второй после нейтрофилов пул лейкоцитов. Принято считать, что во время острой бактериальной инфекции число лимфоцитов снижается, а при вирусной инфекции и после неё – повышается.

Значительное снижение лимфоцитов может наблюдаться при ВИЧ-инфекции, при лейкозах, иммунодефицитах. Но это случается крайне редко и как правило сопровождается выраженными симптомами.

Редкие представители лейкоцитов. Повышение их количества встречается при аллергических реакциях, в том числе лекарственной аллергии, также является характерным признаком глистной инвазии.

Самая малочисленная популяция лейкоцитов. Их повышение может говорить об аллергии, паразитарном заболевании, хронических инфекциях, воспалительных и онкологических заболеваниях. Иногда временное повышение базофилов не удается объяснить.

Самые крупные представители лейкоцитов. Это макрофаги, пожирающие бактерии. Повышение значений чаще всего говорит о наличии инфекции — бактериальной, вирусной, грибковой, протозойной. А также о периоде восстановления после них и о специфических инфекциях — сифилисе, туберкулезе. Кроме того может быть признаком системных заболеваниях — ревматоидный артрит и другие.

Если набрать кровь в пробирку и оставить на какое-то время — клетки крови начнут падать в осадок. Если через час взять линейку и замерить, сколько миллиметров эритроцитов выпало в осадок — получим скорость оседания эритроцитов.

В норме она составляет от 0 до 15 мм в час у мужчин, и от 0 до 20 мм у женщин.

Может повышаться, если эритроциты чем-то отягощены — например белками, которые активно участвуют в иммунном ответе: в случае воспаления, аллергической реакции, аутоимунных заболеваний — ревматоидный артрит, системная красная волчанка и другие. Может повышаться при онкологических заболеваниях. Бывает и физиологическое повышение, объясняемое беременностью, менструацией или пожилым возрастом.

В любом случае — высокий СОЭ всегда требует дополнительного обследования. Хоть и является неспецифическим показателем и может одновременно говорить о многом, но мало о чем конкретно.

В любом случае по общему анализу крови практически невозможно поставить точный диагноз, поэтому этот анализ является лишь первым шагом в диагностике и некоторым маячком, чтобы понимать, куда идти дальше. Не пытайтесь найти в своем анализе признаки рака или ВИЧ — скорее всего их там нет. Но если вы заметили любые изменения в анализе крови — не откладывайте визит к врачу. Он оценит ваши симптомы, соберет анамнез и расскажет, что делать с этим анализом дальше.

Мы заметили, что в комментариях очень много вопросов по расшифровке анализов, на которые мы не успеваем отвечать. Кроме того, чтобы дать хорошие рекомендации — важно задать уточняющие вопросы, чтобы узнать ваши симптомы. У нас в сервисе очень хорошие терапевты, которые могут помочь с расшифровкой анализов и ответить на любые ваши вопросы. Для консультации переходите по ссылке.

источник

Нужна помощь в решении контрольной. Важно само решение, можно даже пример решения идентичного задания. Если кому не сложно. 🙂

1) Является ли функция $%p(x,y)=\max(3|x_1|,4|x_2|)$% нормой на $%R^2$%?
Должно быть таки имелось ввиду x1,x2, вместо х, у.

2) Доказать, что функционал $%f:C[-1,1]→R, f(x)=x(-1)-2x(1)$% является линейным и непрерывным, найти его норму.

3) Доказать, что оператор $%A:l_1→l_1, Ax = (\fracx_1,\fracx_2. \fracx_n. )$%, где $%x=(x_1,x_2. ) \in l_1$%, есть линейным, непрерывным и найти его норму.

@DocentI Пункты 4 и 5 перенесла в другой вопрос, а то слишком длинный ответ. Если хотите, пересоздайте его под своим именем, тогда я свой удалю.

4) Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последовательность операторов $%A_n:C[0,\pi]→C[0,\pi], A_nx(t)=\frac>x(t)$%

5) Проверить существует ли непрерывный обратный оператор к оператору $%A:l_2→l_2, Ax=(2x_1-x_2,x_2,x_3,x_4. )$%, где $%x=(x_1,x_2. ) \in l_2$%

задан 17 Апр ’12 4:01

Уважаемый участник, пишите, пожалуйста, вопросы текстом на русском языке с формулами в тексте, иначе вопросы будут удаляться.

Условие неясное. Написана функция или ее норма? Что такое x,y,x1,y1, и как они связаны между собой?

Раньше было фото вопросов (6 штук) на украинском языке. По-моему, это неправильный перевод! Сейчас дам свою редакцию. Вот это фото

Уважаемый @ХэшКод. Это Вы переводили вопрос с украинского? Совершенно неверно! На украинском было все понятно. Даже приятно заодно расширить свои лингвистические познания. Разрешите автору задать вопрос самому.

Перевел на русский и обновил вопрос, спасибо за решения! Вопрос открыт.

Первое задание задано неаккуратно. Что является аргументами p — (x, y) или $%(x_1, x_2)$%? Или $%(x_1, x_2)$% — компоненты вектора x? Это противоречит утверждению, что норма задана в $%R^2$%. Будем писать $%(x_1, x_2)$%.

Норма удовлетворяет двум свойствам а) однородность б) неравенство треугольника. Проверим первое. Если y = kx, то $%p(y_1,y_2)=\max(3|kx_1|,4|kx_2|=|k|\max(3|x_1|,4|x_2|)=|k|p(x_1,x_2)$%, свойство выполняется.

Неравенство треугольника: $%p(x_1+y_1,x_2+y_2)=\max(3|x_1+y_1|,4|x_2+y_2|)$% должно не превосходить суммы $%\max(3|x_1|,4|x_2|)+\max(3|y_1|,4|y_2|)$%.

Пусть, например, в первом максимуме большим является $%3|x_1+y_1|$%. Это выражение не превосходит $%3|x_1|+3|y_1|$% (неравенство треугольника для модуля). Здесь первое слагаемое не больше $%\max(3|x_1|,4|x_2|)$%, второе — $%\max(3|y_1|,4|y_2|)$%. Значит, неравенство треугольника в этом случае выполняется. Аналогично рассматривается второй случай.

2) Линейность, думаю, Вы и сами проверите. Надо подставить в f сумму функций x(t) + y(t). А также kx(t), где k — константа. Что касается нормы, тут сложнее. Не очень хорошо помню, как именно вводится норма для функционала (наверное, есть разные способы). Пусть, например, так: $%\|f\| = \sup \frac $%. Правда, тогда надо выбрать и норму x(t), котороя может быть разной. Например, с заданной интегралом, или sup. Уточните, какая норма функции здесь имеется в виду?

Скорее всего в $%C[-1;1]$% нормой будет супремум функции. Достаточно рассмотреть функции, норма которых равна 1, т.е. $%\max|x(t)|=1$%. Для таких функций $%f(x)\le 3$%, причем значение 3 достигается, например, для функции $%x(t)=t$%. Значит, норма f равна 3.

3) В $%l_1$% видимо, нормой будет сумма ряда $%\sum|x_i|$%? Как и в предыдущем случае, рассмотрим все x, для которых эта сумма равна 1. Посмотрим, во сколько раз может увеличить ее преобразование A. Ясно, что не более, чем в 3/2 раза. Это значение достигается для $%x=(1,0,0. 0. )$%. Непрерывность следует из других свойств. Имеем $%|Ax-Ay|=|A(x-y)|\le 3/2|x-y| ссылка

источник

Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).

Абсолютно непрерывной называется такая функция ¦, заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (a_k ,b_k ) с суммой длин меньшей d, сумма модулей разностей значений функции ¦ в концах интервалов меньше чем e.

Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.

Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве.

Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.

Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.

Кольцо — множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.

Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).

Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.

Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа q из [0, 1] элемент qх+(1-q)у принадлежит Е.

Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа q, по модулю не превосходящего единицы элемент qх принадлежит Е.

Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел ab : 1³|a|+|b| элемент aх+bу принадлежит Е.

Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х существует число a большее нуля, что для все чисел b по модулю не меньших a найдется элемент у из Е, что х равен bу.

Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: «aÎК р(aх)= a×р(х).

Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).

Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: «aÎК ||aх||= |a|×||х||.

Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).

Сл-е. В конечномерном нормированном пр-ве предкомпактность равносильна ограниченности.

Непрерывные функции на метрических компактах. Эквивалентность норм в R n .

Теорема. Пусть Х – компактное метрическое пр-во и ¦ — непрерывная на нем числовая ф-я. Тогда ¦ ограниченна на Х и достигает на Х верхней и нижней граней.

Эквивалентными в лин-ом пр-ве Х называются такие две нормы ||×||₁ и ||×||₂ , что существуют положительные числа a и b для которых справедливо нер-во a||x||₁ £||x||₂ £b||x||₁ при всех x из X.

Теорема. В конечномерном лин. пр-ве Х любые две нормы эквивалентны.

Теорема Асколи-Арцела (КГ 75).

Теорема Асколи-Арцела. Пусть С(Х) –нормированное пр-во вещественных непрерывных ф-й на метрическом пр-ве Х с нормой ||¦||=max|¦(x)|. Для того чтобы подмножество А мн-ва С(Х) было предкомпактным необх. и дост. Чтобы были оно удовлетворяло следующим условиям:

Мн-во А равномерно ограниченно т.е. для любой функции ¦ существует единое для всех число С, такое что модуль ¦ не превосходит это число: $С «¦|¦(х)|£С.

Мн-во А равностепенно непрерывно т.е. для любой функции ¦ и для любых двух точек х и у найдутся такие числа e и d, что как только расстояние между точками меньше, чем d разность аргументов функции ¦ меньше e: «¦»e>0 $d>0, справедливо |¦(х)-¦(у)| 0 при x отличных от нуля.

Теорема о существовании и единственности элемента наилучшего приближения в гильбертовых пр-вах. Теорема о разложении в прямую сумму.

Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации.

Опр. В Евклидовом пр-ве косинус между двумя векторами х и у можно определить как

Ортогональной в Евклидовом пр-ве Х называется такая система векторов a >, что при различных a и b (х_a ,х_b )=0.

Ортогональным базисом в Евклидовом пр-ве Х называется такая ортогональная система , что ее лин-ая оболочка совпадает с Х.

Ортонормированной системой в Евклидовом пр-ве Х (о.н.с.) называется такая система векторов a >, что при различных a и b (х_a ,х_b )=0 и для всех векторов x_a ||x_a ||=1 .

источник

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ, часть совр. математики, главной задачей к-рой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классич. анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классич. задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность матем. понятий и проложить новые пути исследования.

Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием совр. теоретич. физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т. п. В свою очередь эти фи-зич. теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.

1. Возникновение функционального анализа. Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматич. геометрии привело к возникновению в работах М. Фрешв и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для к-рых установлено тем или иным способом понятие близости.

Среди абстрактных пространств для матем. анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами к-рых являются функции — откуда и назв. ). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства /₂ и L₂(a, b) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства If и L_p(a, b), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930-40-х гг. в работах Т. Карлемана, Ф. Риса, амер. математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.

В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных то-пологич. пространств; Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в ди-намич. системах; Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классич. матем. анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.

Для совр. этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретич. физикой, а также с различными разделами классич. анализа и алгебры, напр, теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т. п.

2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологич. пространства, т. е. линейные пространства X над полем комплексных чисел С (или действительных чисел IR), к-рые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда Б линейном пространстве X можно ввести норму (длину) векторов, свойства к-рой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве.

кое, что всегда (х, х)>=0 и(х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

том Л). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства наз., соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрич. пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.

Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства. Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в к-рых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами к-рых являются классы комплексно-значных (т. е. со значениями в С) функций x(t), определённых на нек-ром множестве Т. г. обычными алгебоаич. опера-

Xn(t) равномерно финитны [т. е. (а,b) не зависит от ге] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x(t).

Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для 1₂: векторы е, = линейно независимы.

С геом. точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н, свойства к-рых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два век-

этому факту большое количество геом. конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н,

где они часто приобретают аналитич. характер. Так, напр., обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированно-го базиса — последовательности век-

ляется изоморфизмом, т. е. линейной изометрией, так что последнее пространство в этом отношении универсально.

Подобные геом. вопросы резко усложняются при переходе от гильбертовых к банаховым и тем более линейным топологическим пространствам в связи с невозможностью ортогонального проектирования в них. Напр., «проблема базиса». Векторы ej образуют базис в l_Рв смысле справедливости разложения (1). Базисы построены в большинстве известных примеров банаховых пространств, однако проблема (С. Банаха — Ю. Ша у дера) существования базиса в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 была решена отрицательно. В Ф. а. важное место занимает подобная «геом> тематика, посвящённая выяснению свойств различных множеств в банаховых и др. пространствах, напр, выпуклых, компактных и т. д. Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта тематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных (подобно li) представителей в том или ином классе пространств и т. п.

Большой раздел Ф. а. посвящён детальному изучению конкретных пространств, т. к. их свойства обычно определяют характер решения задачи, получаемой методами Ф. а. Типичный пример — теоремы вложения для т. н. пространств С. Л. Соболева и их обобщений: простейшее такое пространство

страняется на все производные ?) а до порядка 1. состоит из (функций вида

Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классич. анализа. Так, напр., при фиксированных to и т на пространстве

функциями (распределениями). Обобщенные функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D (IR) заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки прост-

оертово пространство, а Ф. — линейное то-пологич. (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, напр.

Дифференциальный оператор D, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L2[a, 6] из пространства С1[а, b], снабжённого нормой \\x\\ =

гих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.

4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнение вида Сх=у, где С-нек-рый оператор, у принадлежитY — заданый, а х принадлежит X — искомый вектор. Напр., если X=Y=L2 (a, b) C=E-A, где A оператор из (2), а E — тождественныи оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С — дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т. п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из X в множество из У, замыкание к-рого компактно [таков, напр., оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения х — Ах = у, вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).

В разнообразных задачах матем. физики возникает т. н. задача на собственные значения: для нек-рого оператора А : X —> X требуется выяснить возможность нахождения решения ф не = 0 (собственного вектора) уравнения Аф = Хф при нек-ром X принадлеж. С (соответствующем собственном значении). Действие А на собственный вектор особенно просто — оно сводится к умножению на скаляр. Поэтому, если, напр., собственные векторы оператора А образуют базис ej, j принадлеж. Z, пространства X, т. е. имеет место разложение типа (1), то действие А становится особенно наглядным:

где Х_;— собственное значение, отвечающее ej. Для конечномерного X вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в X нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор Sp А собственных значений в этом случае наз. спектром А. Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K(t, s) = K(s, t) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L2[a, b]

гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, напр., вопросы полноты собственных н присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, напр., для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.

Пусть Н — гильбертово пространство. Ограниченный оператор А: Н -> Н наз. с а-мосопряжённым, если (Ах, у)= = (д:, Ау) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н м-мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А‘, другими словами, имеют место разложения:

ядерно, причём А переводит Ф в Ф‘ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по нек-рой скалярной мере, а Е(Х) теперь «проектирует» Ф в Ф‘, давая векторы из Ф‘, к-рые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением X. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторо_в (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Напр., они верны для унитарных операторов U —таких ограниченных операторов, к-рые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр Sp U расположен на окружности |z| = 1, вдоль к-рой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектралъныq анализ линейных операторов.

5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто — в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение прост—ранства в С (или в IR) наз. функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т. д. аналогично соответствующим понятиям классич. анализа. Выделение из отображения квадратичного и т, д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.

Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка х наз. неподвижной для отображения F, если Fx = х). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление — т. н. точки ветвления (решений).

При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологич. методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т. п. Топологич. методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шауде-ром, франц. математиком Ж. Лере, сов. математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.

6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения к-рых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер, 1936). В кон. 30-х гг. в работах япон. математика М. Нагумо, сов. математиков И. М. Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (совр. назв.- банаховы алгебры), в к-рой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём IIxyII 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Ф. а. имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.

Лит.: Л ю с т е р н и к Л. А., С о б о л е в В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; К о л м о г о р о в А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; А х и е з е р Н. И., Г л а з-м а н И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; В у л и х Б. 3., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Б а-н а х С. С., Курс функвдонального анализу, Киев, 1948; Рисе Ф., Секефальви-Н а д ь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., А к и-л о в Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрей-к о П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Н а и м а р к М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Р у д и н У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; И о с и д а К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; Д а н-Ф о р д Н., Шварц Д ж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1 — 3, М., 1962 — 74; X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М„ 1962; Эдварде Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969.

источник

Здесь я постараюсь написать теоретический минимум по второй части курса функционального анализа.

Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru

Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.

• Метрическое пространство [math]M[/math] есть множество точек с метрикой [math]d \colon M \times M \to \mathbb[/math] :

1. [math]d(x,\;y) \ge 0 ; d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y[/math] .
2. [math]d(x,\;y)=d(y,\;x)[/math] .
3. [math]d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)[/math] .

• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

• Банаховым пространством (B-пространством) называется нормированное линейное пространство, полное по метрике, порождённой нормой.

• Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [math][a,b][/math] функции (обычно обозначается [math][a,b][/math] ). Норма в этом пространстве определяется следующим образом: [math]||x||_[a,b]>=\max_|x(t)|[/math]

• Теорема Рисса — Фреше: Для любого непрерывного линейного функционала [math]f[/math] на Гильбертовом пространстве [math] H[/math] существует единственный вектор [math]y \in H[/math] такой, что [math]f(x)= \langle x,y \rangle[/math] для любого [math]x \in H[/math] . При этом норма линейного функционала [math]f[/math] совпадает с нормой вектора [math]y[/math] : [math]\|f\|=\sup_ |f(x)|= \sqrt[/math] . Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над [math]H[/math] изоморофно пространству [math]H[/math] .

• Теорема (Хан-Банах) о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал [math]f(x)[/math] , определённый на подпространстве [math]L[/math] линейного пространства [math]X[/math] и удовлетворяющий условию [math]|f(x)| \leq p(x), \forall x \in L[/math] , где [math]p(x)[/math] — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве [math]X[/math] ) то [math]f(x)[/math] может быть продолжен на все пространство [math]X[/math] с сохранением этого условия.

• Теорема (Хан-Банах) о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал [math]f(x)[/math] , определённый на линейном многообразии [math]L[/math] линейного нормированного пространства [math]X[/math] , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

• Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.

• Ядром линейного отображения [math]f\colon A\to B[/math] называются подмножество [math]A[/math] , которое отображается в нуль: [math]\mbox\,f = \. Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве [math]A[/math] .

• Пусть [math]A[/math] — оператор, действующий в банаховом пространстве [math]E[/math] . Число λ называется регулярным для оператора [math]A[/math] , если оператор [math]R(\lambda)=(A — \lambda I)^[/math] , называемый резольвентой оператора [math]A[/math] , определён на всём [math]E[/math] и непрерывен. Множество регулярных значений оператора [math]A[/math] называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора.