Как выучить теорию по мат анализу

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Последний раз редактировалось PeanoJr 27.07.2014, 23:34, всего редактировалось 1 раз.

Посоветуйте пожалуйста, как эффективно читать математическую литературу. Вот,например,математический анализ. Приблизительно составил когда-то (после чтения форума) список учебников,которые актуальны для технических ВУЗов. Их и использую главным образом:

1) Бугров-Никольский
2) Ильин-Позняк
3) Фихтенгольц
4) Кудрявцев (3 тома,не краткий курс)

Читаю я,например, тему: «Понятие ряда» в Кудрявцеве. Кудрявцев числовой ряд определяет как пару последовательностей:элементами которых являются члены ряда и частичные суммы соответственно.
Но меня всегда тянет посмотреть и другие учебники, и тут я читаю,что в остальных учебниках из перечисленных мною даётся другое, более понятное для меня определение ряда.
Или,например, символика Ландау. До сих пор толком ее не понимаю. Вернее, я знаю определения,но не более того. До сих пор не совсем понимаю эквивалентность следующих записей:
при и в то же самое время можно записать:
при .

Сформировалась привычка одну и ту же тему читать сразу в нескольких учебниках. Имеет ли вообще смысл так делать?
Получается,что на одну тему у меня уходит гораздо больше времени,чем если бы я читал только один учебник. А ведь ещё надо решать задачи.
Может стоит просто взять один учебник и в случае проблем с пониманием читать до тех пор,пока не врублюсь? 🙂

Несомненно имеет смысл. Опыт показывает, что некоторые авторы, образно говоря, «не договаривают» кое-что.

Какой из вышеперечисленных учебников Вы бы посоветовали в качестве основного, на котором можно остановиться? Желательно такой, в котором изложение ведется самым стандартным образом.

Эти две записи не эквивалентны. Просто синус — такая функция, которая в ряде Тейлора имеет 1-й и 3-й члены, и не имеет 2-го. Поэтому остаточный член — порядка — одновременно является малым и по сравнению с и по сравнению с

Вот если разлагать не синус, а, скажем, то будет ясно видно, что

записать можно, а

записать нельзя.

Вообще, «о малое» можно воспринимать как отношение «строго меньше, чем», а «О большое» — как «нестрого меньше, чем». Их роль именно такова.

Это не плохо. Зато у вас получаются более глубокие и прочные знания.

Мой личный совет при чтении любой физической и математической литературы: не торопиться, а тщательно прорабатывать текст, чтобы он был полностью понятен. Там, где есть выкладки и доказательства — самостоятельно повторить эти выкладки и рассуждения. Так вы проверите, всё ли в них ясно. Там, где есть определения, вводятся новые понятия и объекты, — остановиться, придумать конкретные примеры, подумать над их свойствами. Попробовать придумать задачу, и решить её, пусть даже самую простую, но помогающую ощутить новый объект.

Раз уж вы читаете несколько учебников, появляется новый способ развлечения: сопоставлять определения из разных источников, и убеждаться (в крайнем случае — тщательно доказывать), что они описывают одно и то же. Или иногда выясняется, что не совсем одно и то же. Тогда надо выделить важные нюансы, и дальше обращать на них внимание при чтении. Где-то они сыграют роль, а где-то — нет.

Эти две записи не эквивалентны. Просто синус — такая функция, которая в ряде Тейлора имеет 1-й и 3-й члены, и не имеет 2-го. Поэтому остаточный член — порядка — одновременно является малым и по сравнению с и по сравнению с

Вот если разлагать не синус, а, скажем, то будет ясно видно, что

записать можно, а

записать нельзя.

Вообще, «о малое» можно воспринимать как отношение «строго меньше, чем», а «О большое» — как «нестрого меньше, чем». Их роль именно такова.

Если можно,на примере:

Как я понимаю эту запись: выражение — некое слагаемое, частное от деления которого на в окрестности нуля стремится к нулю.
Если записать это через O-большое:

означает, некое слагаемое, которое в окрестности нуля, ограничено сверху
Правильно ли я понимаю?

Обычно стараюсь так и делать, иначе плохо понимаю. Бывало,конечно,просто запоминать какие-нибудь теоремы или формулы для семинаров, но потом все равно приходится разбираться в доказательстве для осознанности.

Последний раз редактировалось Munin 28.07.2014, 01:23, всего редактировалось 4 раз(а).

источник

Нагромождение страшных формул, пособия по высшей математике, которые откроешь и тут же закроешь, мучительные поиски решения казалось бы совсем простой задачи…. Подобная ситуация не редкость, особенно когда учебник по математике последний раз открывался в далеком 11 классе. А между тем, в ВУЗах учебные планы многих специальностей предусматривают изучение всеми любимой высшей математики. И в этой ситуации нередко ощущаешь себя полным чайником перед нагромождением ужасной математической абракадабры. Причем, похожая ситуация может сложиться при изучении любого предмета, особенно из цикла естественных наук.

Что делать? Для студента-очника всё значительно проще, если, конечно, предмет не сильно запущен. Можно проконсультироваться у преподавателя, одногруппников, да и просто списать у соседа по парте. Даже полный чайник в высшей математике при таких раскладах сессию переживет.

А если человек учится на заочном отделении ВУЗа, и высшая математика, мягко говоря, в будущем вряд ли потребуется? К тому же совсем нет времени на занятия. Так-то оно, в большинстве случаев так, но никто не отменял выполнение контрольных работ и сдачу экзамена (чаще всего, письменного). С контрольными работами по высшей математике все проще, чайник ты, или не чайник – контрольную работу по математике можно заказать. Например, у меня. И по остальным предметам тоже можно заказать. Уже не здесь. Но выполнение и сдача на рецензию контрольных работ еще не приведет к заветной записи в зачетной книжке. Часто бывает, что произведение искусства, выполненное на заказ, нужно защищать, и объяснить, почему из этих буковок следует вон та формула. Кроме того, предстоят экзамены, а там уже придется решать определители, пределы и производные САМОСТОЯТЕЛЬНО. Если, конечно, преподаватель не принимает ценные подарки, или нет нанятого доброжелателя за стенами аудитории.

Позвольте, дам очень важный совет. На зачетах, экзаменах по точным и естественным наукам ОЧЕНЬ ВАЖНО ХОТЬ ЧТО-ТО ПОНИМАТЬ. Запомните, ХОТЬ ЧТО-ТО. Полное отсутствие мыслительных процессов просто бесит преподавателя, мне известны случаи, когда студентов-заочников заворачивали по 5-6 раз. Помнится, один молодой человек сдавал контрольную работу 4 раза, и после каждой пересдачи обращался ко мне за бесплатной гарантийной консультацией. В конце концов, я заметил, что в ответе он вместо буквы «пи» писал букву «пэ», за что и последовали жесткие санкции со стороны рецензента. Студент ДАЖЕ НЕ ХОТЕЛ ВНИКАТЬ в задание, которое он небрежно переписал

Можно быть полным чайником в высшей математике, но крайне желательно знать, что производная константы равна нулю. Потому что, если Вы ответите какую-нибудь глупость на элементарный вопрос, то велика вероятность того, что на этом учеба в ВУЗе для Вас закончится. Преподаватели гораздо благосклоннее относятся к тому студенту, который ХОТЯ БЫ ПЫТАЕТСЯ разобраться в предмете, к тому, кто, пусть и ошибочно, но пробует что-либо решить, объяснить или доказать. И это утверждение справедливо для всех дисциплин. Поэтому следует решительно отмести позицию «я ничего не знаю, я ничего не понимаю».

Второй важный совет – ПОСЕЩАТЬ ЛЕКЦИИ, даже если их немного. Об этом я уже упоминал на главной странице сайта Математика для заочников. Повторяться нет смысла, почему это ОЧЕНЬ важно, читайте там.

Итак, что же делать, если на носу зачет, экзамен по высшей математике, а дела плачевны – состояние полного, а точнее говоря, пустого чайника?

Один из вариантов – нанять репетитора. С крупнейшей базой репетиторов можно ознакомиться здесь (преимущественно, Москва) или здесь (преимущественно, Санкт-Петербург). По поисковой системе вполне вероятно найти репетитора в своем городе, либо посмотреть местные рекламные газеты. Цена на услуги репетитора может варьироваться от 400 и более рублей за час в зависимости от квалификации преподавателя. Следует отметить, что дёшево – это не значит плохо, особенно если у Вас неплохая математическая подготовка. В то же время за 2-3К рублей Вы и получите НЕМАЛО. Зря таких денег никто не берёт, и напрасно таких денег никто не платит ;-). Единственный важный момент – старайтесь выбрать репетитора с профильным педагогическим образованием. И в самом деле, мы же не ходим за юридической помощью к стоматологу.

В последнее время набирает популярность сервис онлайн репетиторов. Он очень удобен, когда необходимо срочно решить одну-две задачи, разобраться в теме или подготовиться к экзамену. Безусловным преимуществом являются цены, которые в несколько раз ниже, чем у оффлайн репетитора + экономия времени на проезд, что особенно актуально для жителей мегаполисов.

В курсе высшей математики некоторые вещи без репетитора освоить весьма трудно, нужно именно «живое» объяснение.

Тем не менее, во многих типах задач вполне можно разобраться самостоятельно, и, цель данного раздела сайта – научить Вас решать типовые примеры и задачи, которые практически всегда встречаются на экзаменах. Более того, для ряда заданий существуют «жёсткие» алгоритмы, где от правильного решения вообще «никуда не деться». И, в меру моих знаний, я попытаюсь Вам помочь, тем более есть педагогическое образование и опыт работы по специальности.

Начнем разгребать математические абракадабры. Ничего страшного, даже если Вы чайник, высшая математика – это действительно просто и действительно доступно.

А начать нужно с повторения школьного курса математики. Повторение – мать мучения.

Прежде чем, Вы приступите к изучению моих методических материалов, да и вообще приступите к изучению любых материалов по высшей математике, я НАСТОЯТЕЛЬНО РЕКОМЕНДУЮ, прочитать нижеследующее.

– Уметь складывать, вычитать, умножать и делить. Вспомнить, что любая дробь, например , обозначает деление, «три делить на семь» в данном случае. Вспомнить, что такое квадратный корень, например: .

Из программ – Эксель (отличный выбор!). Мануал для «чайников» я загрузил в библиотеку.

– От перестановки слагаемых – сумма не меняется: .
А вот это совершенно разные вещи:

Переставлять «икс» и «четверку» просто так нельзя. Заодно вспоминаем культовую букву «икс», которая в математике обозначает неизвестную или переменную величину.

– От перестановки множителей – произведение не меняется: .
С делением такой фокус не пройдет, и – это две совершенно разные дроби и перестановка числителя со знаменателем без последствий не обходится.
Также вспоминаем, что знак умножения («точкy») чаще всего принято не писать: ,

– Вспоминаем правила раскрытия скобок:
– здесь знаки у слагаемых не меняются
– а здесь меняются на противоположные.
И для умножения:

Вообще, достаточно помнить, что ДВА МИНУСА ДАЮТ ПЛЮС, а ТРИ МИНУСА – ДАЮТ МИНУС. И, постараться при решении задач по высшей математике в этом НЕ ЗАПУТАТЬСЯ (очень частая и досадная ошибка).

– Вспоминаем приведение подобных слагаемых, Вы должны хорошо понимать следующее действие:

– Вспоминаем что такое степень:

, , , .

Степень – это всего лишь обычное умножение.

– Вспоминаем, что дроби можно сокращать: (сократили на 2), (сократили на пять), (сократили на ).

– Вспоминаем действия с дробями:

а также, очень важное правило приведения дробей к общему знаменателю:

Если данные примеры малопонятны, смотрите школьные учебники.
Без этого ТУГО будет.

СОВЕТ: все ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ вычисления в высшей математике лучше проводить в ОБЫКНОВЕННЫХ ПРАВИЛЬНЫХ И НЕПРАВИЛЬНЫХ ДРОБЯХ, даже если будут получаться страшные дроби вроде . Вот эту вот дробь НЕ НАДО представлять в виде , и, тем более, НЕ НАДО делить на калькуляторе числитель на знаменатель, получая 4,334552102….

ИСКЛЮЧЕНИЕМ из правила является конечный ответ задания, вот тогда как раз лучше записать или .

– Уравнение. У него есть левая часть и правая часть. Например:

Можно перенести любое слагаемое в другую часть, сменив у него знак:
Перенесем, например, все слагаемые в левую часть:

Или в правую:

Обратите внимание, что части уравнения можно безболезненно поменять местами:
, рАвно, как и произвольно переставить слагаемые в пределах ОДНОЙ части.

– Правило пропорции:
(считаем, что отличны от нуля)

То, что находится внизу одной части – можно переместить наверх другой части.
То, что находится вверху одной части – можно переместить вниз другой части.

, , , , ,

– И, наконец, стОит вспомнить о существовании некоторых функций, таких как, синус, косинус, тангенс, котангенс, логарифм.

При этом в качестве аргумента функции может выступать не только буковка «хэ» (например, ), но и сложное выражение, например , и, рвать функцию на части категорически нельзя!

Не лишним будет вспомнить графики основных функций, предаться воспоминаниям можно на странице Графики и свойства элементарных функций. Там же освежаем в памяти актуальный технический вопрос – Как правильно построить график любой функции?

Вот, пожалуй, и все основные вещи школьного курса математики, которые нужно помнить. Если какие-либо моменты непонятны, или понятны смутно, отсылаю Вас к школьным учебникам по математике.

Тогда, перейдите, пожалуйста, на страницу математические формулы и таблицы и ознакомьтесь со справочным материалом Горячие формулы высшей математики.

Дальше целесообразно изучить/повторить основы «трёх китов» высшей математики:

алгебры (статьи о множествах и уравнениях);

аналитической геометрии (вводный урок о векторах);

математического анализа (пределы, производные и упомянутая статья о графиках).

После чего можно смело приступать к другим урокам. Используйте левое навигационное меню и закомментированную карту сайта; почти все материалы расположены в логическом порядке их изучения. Также ориентируйтесь по ссылкам в статьях – как правило, я достаточно щепетильно (и даже занудно) останавливаюсь на том, что нужно знать и уметь для освоения той или иной темы.

И ещё одно важное напутствие: старайтесь выполнять ВСЕ предлагаемые мной задачи. Это не разрозненные примеры, а целостный и методически продуманный курс обучения, цель которого – НАУЧИТЬ.

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

(Переход на главную страницу)

источник

Автор оригинала: Kalid Azad, перевёл: Филипп Сорокин.

Это третий перевод из серии статей на тему математического анализа, хотя по хронологии статья является первой. В дальнейшем переводы статей будут идти в соответствии с оригинальной хронологией, с пропуском уже переведённых.

Статья рассчитана на студентов и всех интересующихся высшей математикой, и представляет из себя введение в математический анализ с рассуждениями и интересными примерами его применения. Подойдёт и для чайников.

Мои отношения с математическим анализом строятся на любви и ненависти: этот предмет демонстрирует красоту математики и агонию математического образования.

Математический анализ связывает темы в элегантной, ломающей мозг манере. Моя ближайшая аналогия – теория эволюции Дарвина: однажды поняв, вы начинаете видеть природу с точки зрения выживания. Вы начинаете понимать, почему употребление лекарств приводит к появлению микробов, устойчивых к ним (выживание сильнейших). Вы понимаете, почему сахар и жир настолько вкусны (вкус, как поощрение за потребление высококалорийных продуктов в период дефицита). Всё начинает сходиться.

Математический анализ даёт такое же прозрение. Не кажется ли вам, что эти формулы каким-то образом связаны между собой?

Да, они связаны. Но большинство из нас изучает эти формулы по отдельности. Математический анализ помогает нам разобраться с каждой, начиная с длины окружности, равной 2πr – греки оценили бы это.

К сожалению, математический анализ может стать олицетворением того, что с математическим образованием что-то не так. Большинство уроков строятся на надуманных примерах, скрытых доказательствах и запоминании, что отбивает нашу интуицию и энтузиазм.

Я кое-чему научился в школе: в математике самое трудное – не математика, а мотивация. В частности, мотивация оставаться воодушевлённым несмотря на:

— Преподавателей, которых больше заботит издание своих научных трудов, чем преподавание.

— Бытующие мнения, что математика – это сложно, скучно, непопулярно или «не ваш предмет».

— Учебники и программы обучения, которые больше заточены на получение прибыли и результатов тестирования, чем на понимание предмета.

«Плач математика» [pdf] является отличным эссе по этому вопросу, вызвавшим общественный резонанс (здесь было 3 ссылки, 2 из которых оказались битые – прим. пер.):

«…если бы мне пришлось разрабатывать механизм, предназначенный специально для разрушения естественного любопытства и любви к построению закономерностей у детей, я бы никогда не справился с этой работой так же хорошо, как это делается сейчас – у меня бы просто не хватило воображения, чтобы придумать настолько бессмысленные, душераздирающие идеи, которые составляют современное математическое образование.»

Представьте себе такое изучение искусства: Дети, никакого рисования руками в детском саду. Вместо этого, давайте-ка изучим химию красок, физику света и анатомию глаза. По прошествии 12 лет эти дети (которые уже подростки), если ещё не ненавидят искусство, смогут начать рисовать самостоятельно. В конце концов, у них есть «строгие, проверяемые» основы для того, чтобы начать ценить искусство. Правильно?

С поэзией также. Представьте себе процесс изучения этой цитаты (формулировки):

«Но главное – будь верен самому себе, и, следственно, как дважды два – четыре, ни перед кем не будешь ты фальшив.» – Вильям Шекспир, Гамлет

Математика и поэзия – это пальцы, указывающие на Луну. Не путайте палец с Луной. Формулы – это средство достижения цели, способ выразить математическую истину.

Мы забываем, что математика – это идеи, а не рутинные манипуляции с формулами, которые их выражают.

Дерзкие, да? Ну, чего я точно не буду делать, так это воссоздавать учебники по подобию уже существующих. Если вам прямо сейчас нужны ответы для какого-то серьёзного экзамена, то есть множество веб-сайтов, видеозаписей уроков и 20-минутных спринтов, чтобы помочь вам (оригинальные ссылки на англоязычные ресурсы – прим. пер.).

Вместо этого, давайте обсудим основные идеи математического анализа. Уравнений недостаточно – я хочу делиться «ага!»-моментами, от которых что-то щёлкает внутри.

Формальный математический язык – это лишь один из способов общения. Диаграммы, анимации и просто разговоры зачастую могут дать больше понимания, чем страница книги, полная доказательств.

Я думаю, что любой сможет понять основные идеи математического анализа. Нам не нужно быть писателями, чтобы наслаждаться Шекспиром.

Это в пределах вашей досягаемости, если вы знаете алгебру и имеете простой интерес к математике. Не так давно чтение и письмо были работой опытных писцов. Но сегодня с этим может справиться и 10-летний ребёнок. Почему?

Потому что мы этого ожидаем. Ожидания играют огромную роль в том, что нам кажется возможным. Поэтому ожидайте, что мат. анализ – это просто ещё один предмет. Для немногих из нас это становится повседневной работой (писатели, математики). Но остальные всё ещё могут восхищаться тем, что происходит, и расширять свой кругозор.

Дело в том, как далеко ты намерен зайти. Я бы хотел, чтобы все смогли понять основные идеи математического анализа и сказали «вау».

Некоторые называют математический анализ «отраслью математики, которая занимается нахождением пределов, дифференцированием и интегрированием функций одной или нескольких переменных». Это правильно, но не несёт пользы для начинающих.

Вот моё мнение: мат. анализ делает с алгеброй то, что алгебра сделала с арифметикой.

— Арифметика – это манипулирование числами (сложение, умножение и т.д.).

— Алгебра находит закономерности между числами: a 2 + b 2 = c 2 – известное соотношение, описывающее стороны прямоугольного треугольника. Алгебра находит целые множества чисел – если вы знаете a и b, то вы можете найти c.

— Математический анализ находит закономерности между уравнениями: обратите внимание, как одно уравнение (длина окружности = 2πr) походит на другое (площадь окружности = πr 2 ).

При использовании мат. анализа у нас появляются новые вопросы:

— Как уравнение растёт и сжимается? Накапливается ли со временем?

— Когда оно достигает своего самого высокого/низкого значения?

— Как мы используем переменные, которые постоянно меняются? (тепло, движение, популяция, …).

— И множество других вопросов!

Алгебра и математический анализ – это дуэт для решения проблем: мат. анализ находит новые уравнения, а алгебра решает их. Как и эволюция, мат. анализ расширяет ваше понимание того, как работает природа.

Давайте пройдёмся. Предположим, мы знаем уравнение для нахождения длины окружности (2πr) и хотим найти площадь круга. Что делать?

Представьте окружность в виде диска, который, как матрёшка, заполнен кольцами, идущими от краёв к центру.

Есть два способа изобразить диск:

— Нарисовать круг и закрасить его.

— Нарисовать множество колец толстым маркером.

Количество «пространства» (площади) должно быть одинаковым в обоих случаях, верно? Но как много пространства занимает одно кольцо?

Ну, самое большое кольцо имеет радиус «r» и длину окружности «2π», умноженную на текущий радиус. А последнее кольцо (самое маленькое – прим. пер.) больше похоже на точку без окружности.

Теперь всё выглядит совершенно необычно. Давайте развернём эти кольца и выстроим каждое из них в линию. Что произойдёт?

— Мы получим кучу линий, образующих неровный треугольник. Но чем тоньше и чаще будут расположены кольца, тем менее зубчатым будет треугольник (подробнее об этом в будущих статьях).

— С одной стороны будет наименьшее кольцо (0), а с другой наибольшее (2πr).

— У нас есть кольца, идущие от радиуса, равного 0, до равного «r». Для каждого возможного радиуса (от 0 до r) мы просто вставляем развёрнутое кольцо в соответствующее место.

— Общая площадь «кольцевого треугольника»: 1/2 основания * высоту = 1/2 (r) * (2πr) = πr 2 , что и является формулой для нахождения площади круга!

Вау! Площадь всех колец = Площадь треугольника = Площадь круга!

Это был быстрый пример, но вы ведь уловили основную мысль? Мы взяли диск, разделили его и сложили сегменты по-другому. Математический анализ показал нам, что диск и кольцо тесно связаны: диск на самом деле просто куча колец.

Это частая тема мат. анализа: Большие штуки складываются из маленьких частей. И иногда с маленькими частями проще работать.

Многие примеры из математического анализа основаны на физике. Это здорово, но это же может быть трудно для понимания: ответьте честно, как часто вы вспоминаете уравнение для нахождения скорости объекта? Реже, чем раз в неделю.

Я предпочитаю начинать с физических, визуальных примеров, потому что так работает наш ум. Например, можем ли мы сделать такое же кольцо/круг, как в примере выше? Вы можете собрать такой круг из нескольких трубоочистителей, разделить на кольца и выпрямить их в грубый треугольник, чтобы проверить, действительно ли математика работает. С уравнением для вычисления скорости так не прокатит.

Я чувствую, как математические педанты заводят свои клавиатуры. Несколько слов о «строгости».

Знаете ли вы, что мы изучаем не тот же самый мат. анализ, каким он был во времена открытия Ньютоном и Лейбницем? Они использовали интуитивные идеи «флюксий» и «бесконечных чисел», которые в последствии были вытеснены пределами, так как «Конечно, это работает на практике. Но работает ли это в теории?».

Мы создаём сложные механические конструкции, чтобы «в соответствии с канонами» доказывать математический анализ, но мы потеряли нашу интуитивное понимание в процессе.

Мы смотрим на сладость сахара, как на химическую реакцию в мозге вместо того, чтобы признать его способом природы сказать: «В этом много энергии. Ешь это.»

Я не хочу (и не могу) преподавать курсы анализа или обучать исследователей. Разве было бы плохо, если бы все понимали мат. анализ на «нестрогом» уровне, таким, каким его сделал Ньютон? Изменило ли бы это их взгляд на мир, как изменило у Ньютона?

Преждевременное внимание к «канонам» отталкивает студентов и затрудняет изучение математики. Пример: e технически определяется пределом, но интуитивное понимание экспоненциального роста в том, как он был открыт. Натуральный логарифм можно рассматривать, как интеграл, или как время, необходимое для роста. Какое из объяснений лучше подойдёт начинающим? (перевод двух статей из этого абзаца будет позже – прим. пер.)

Давайте немного порисуем руками и по ходу этого займёмся химией. Счастливой математики!

источник

Админчег Muz4in.Net 18.12.2015, 23:38 Тэги

Сидите в темноте и читаете мои статьи? Поберегите зрение. Если у Вас есть любимое место, скорей всего это кровать, то настенные бра с доставкой по Украине на сайте могут быть подходящим вариантом. Читайте при свете, и берегите зрение.

Наше путешествие начнётся со знакомства с вымышленным персонажем, которого мы назовём Джоном Доу. Он является среднестатистическим работником, которого можно легко найти в любом городе мира. Практически каждый день Джон просыпается под громкие звуки будильника и едет на работу на своей машине. Он поднимается на лифте в свой кабинет, где загружает компьютер и вводит логин и пароль. Джон делает все эти вещи без малейшего понятия о том, как они работают.

Возможно, ему было бы интересно узнать о там, как устроены и функционируют устройства и приборы, которыми он пользуется ежедневно, тем не менее, у него нет ни времени, ни сил, чтобы заниматься этим. Он считает автомобили, лифты, компьютеры и будильники совершенно разными и сложными механизмами, которые не имеют между собой ничего общего. По мнению Джона, на то, чтобы понять, как работает каждый из них, нужны годы изучений.

Некоторые люди смотрят на вещи несколько иначе, чем наш Джон Доу. Они знают, что электродвигатели в лифтовых установках очень похожи на автомобильные генераторы переменного тока.

Они знают, что программируемый логический контроллер, управляющий электрическим двигателем, который отвечает за перемещение лифта, очень похож на рабочий компьютер Джона Доу. Они знают, что на фундаментальном уровне принцип работы программируемого логического контроллера, будильника и компьютера основывается на относительно простой транзисторной теории. То, что Джон Доу и среднестатистический человек считают невероятно сложным, для хакера является самым обычным использованием простых механических и электрических принципов. Проблема заключается в том, как эти принципы применяются. Абстрагирование фундаментальных принципов от сложных идей позволяет нам понять и упростить их способом, который воздаёт должное импровизированному совету Альберта Эйнштейна, процитированному выше.

Многие из нас рассматривают математический анализ как нечто сложное. (Таким же Джон Доу считает принцип устройства и функционирования различных механизмов.) Вы видите нагромождение сложных, запутанных вещей. Для того чтобы понять их, Вам нужно немало времени и усилий. Но что, если мы скажем Вам, что математический анализ (исчисление) не такой уж и сложный, каковым кажется на первый взгляд, равно как и большинство механизмов? Что есть несколько основных принципов, которые каждому дано понять, и как только Вы это сделаете, Вам откроется новый взгляд на мир и то, как он устроен?

В обычном учебнике по математическому анализу содержится около одной тысячи страниц. Типичный Джон Доу увидит в нём тысячу трудных для понимания и изучения вещей, а хакер – два основных принципа (производная и интеграл) и 998 примеров этих принципов. Мы вместе попытаемся разобраться, что это за принципы. Основываясь на работе, проделанной Майклом Старбёрдом, профессором Техасского университета в Остине, мы будем использовать повседневные примеры, которые каждый сможет понять. Математический анализ раскрывает особую красоту нашего мира – красоту, которая возникает тогда, когда Вы способны наблюдать её динамически, а не статически. Мы надеемся, что у Вас всё получится.

Перед тем как мы начнём, хотелось бы кратко пройтись по истории возникновения математического анализа, корни которого лежат в очень тщательном разборе изменений и движения.

Зенон Элейский – философ, живший в IV веке до нашей эры. Он выдвинул несколько тонких, но глубоких парадоксов, два из которых, в конечном итоге, привели к зарождению математического анализа. Для того чтобы решить парадоксы Зенона, человечеству понадобилось более двух тысяч лет. Как Вы понимаете, это было нелегко. Трудности в значительной степени были связаны с идеей бесконечности. Что представляет собой проблема бесконечности с математической точки зрения? В XVII веке Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу удалось решить парадоксы Зенона и создать математический анализ. Давайте внимательно рассмотрим эти парадоксы, чтобы понять, почему вокруг них было столько шумихи.

Представьте летящую в воздухе стрелу. Мы можем с большой уверенностью сказать, что стрела находится в движении. А теперь рассмотрим стрелу в определённый момент времени. Она больше не движется, а пребывает в состоянии покоя. Но мы точно знаем, что стрела находится в движении, тогда каким образом она может пребывать в состоянии покоя?! В этом и заключается суть данного парадокса. Он может показаться глупым, однако в действительности это очень сложная концепция, которую следует рассматривать с математической точки зрения.

Позднее мы выясним, что имеем дело с понятием мгновенной скорости изменения, которое мы свяжем с идеей одного из двух принципов математического анализа (исчисления) – производной. Это позволит нам вычислить скорость движения стрелы в определённый момент времени – то, что человечеству не удавалось сделать более двух тысячелетий.

Давайте снова рассмотрим эту же стрелу. На этот раз представим, что она летит в нашу сторону. Зенон утверждал, что мы не должны двигаться, поскольку стрела никогда не сможет попасть в нас. Представьте, что после того как стрела оказалась в воздухе, ей необходимо преодолеть половину расстояния между луком и мишенью. Как только она достигнет определённой точки на полпути, ей снова будет нужно преодолеть половину расстояния – на этот раз между данной точкой и целью. Представьте себе, что мы будем продолжать так делать. Стрела, таким образом, постоянно преодолевает половину расстояния между началом отсчёта и мишенью. Учитывая это, можно сделать вывод, что стрела никогда не сможет попасть по нам! В реальной жизни стрела, в конечном счёте, достигнет цели, заставив нас гадать над смыслом парадокса.

Как и в случае с первым парадоксом, мы позднее рассмотрим, как решить данную проблему при помощи одного из принципов математического анализа – интеграла. Интеграл позволяет нам рассматривать концепцию бесконечности как математическую функцию. Он является чрезвычайно мощным инструментом, по мнению учёных и инженеров.

Два основных принципа математического анализа

Суть двух фундаментальных принципов математического анализа можно продемонстрировать, применив их для решения парадоксов Зенона.

Производная. Производная – это метод, который позволит нам рассчитать скорость полёта стрелы в парадоксе «Стрела». Мы сделаем это, проанализировав положение стрелы через последовательно уменьшающиеся промежутки времени. Точная скорость стрелы станет известна, когда время между измерениями окажется бесконечно малым.

Интеграл. Интеграл – это метод, который позволит нам вычислить положение стрелы в парадоксе «Дихотомия». Мы сделаем это, проанализировав скорость движения стрелы через последовательно уменьшающиеся промежутки времени. Точное положение стрелы станет нам известно, когда время между измерениями окажется бесконечно малым.

Между производной и интегралом нетрудно заметить некоторое сходство. Обе величины рассчитываются в ходе анализа положения или скорости стрелы через постепенно уменьшающиеся временные интервалы. Позже мы выясним, что интеграл и производная, по сути, являются двумя сторонами одного керамического конденсатора.

Почему мы должны изучать основы математического анализа?

Всем нам известен Закон Ома, который связывает силу тока, напряжение и сопротивление в одно простое уравнение. Сейчас давайте рассмотрим «Закон Ома» на примере конденсатора. Сила тока конденсатора зависит от напряжения и времени. Время в данном случае является критической переменной и должно учитываться в любом динамическом событии. Математический анализ позволяет нам понять и оценить то, как вещи меняются с течением времени. В случае с конденсатором, сила тока равна ёмкости, помноженной на вольты в секунду, или i = C(dv/dt), где:

i – сила тока (мгновенная);
C – ёмкость, которая измеряется в фарадах;
dv – изменение напряжения;
dt – изменение времени.

В данной цепи в конденсаторе нет электрического тока. Вольтметр будет показывать напряжение аккумулятора, а амперметр – ничего. Напряжение не станет меняться до тех пор, пока потенциометр будет оставаться нетронутым. В таком случае i = C(0/dt) = 0 апмер. Но что произойдёт, если мы начнём настраивать потенциометр? Судя по уравнению, в конденсаторе появится результирующая сила тока. Эта сила тока будет зависеть от изменения напряжения, которое связано с тем, насколько быстро двигается потенциометр.

Эти графики показывают связь между напряжением в конденсаторе, силой тока и скоростью, с которой мы крутим потенциометр. Сначала мы делаем это медленно. Увеличение скорости приводит к изменению напряжения, что, в свою очередь, провоцирует резкое увеличение силы тока. На всех этапах сила тока в конденсаторе пропорциональна скорости изменения напряжения в нём.

Математический анализ, или, если быть точнее, производная, даёт нам возможность определить скорость изменений, чтобы мы точно знали значение силы тока в конденсаторе в определённый момент времени. Аналогичным образом мы можем вычислить мгновенную скорость движения стрелы Зенона. Это невероятно мощный инструмент, который обязан быть в Вашем арсенале.

источник