Как сделать анализ задачи по математике

В Федеральном государственном стандарте общего образования чётко сформулирована цель начального общего образования – « развитие личности обучающегося на основе освоения универсальных учебных действий, познания и освоения мира».

Ознакомившись с Федеральным государственным стандартом общего образования , мы видим, что одно из важнейших познавательных универсальных действий — умение решать проблемы или задачи.

Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими )

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

Каждая задача – это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства.

Можно выделить три типа задач:

-Задачи, решение которых состоит в стереотипном воспроизведении заученных действий. Степень трудности данных задач связана с тем, насколько сложным является навык воспроизведения действий и насколько он прочно освоен. Последний фактор становится основным.

-Задачи, решение которых требует некоторой модификации заученных действий в изменившихся условиях. Степень трудности в данном случае связана с количеством и разнородностью элементов, которое необходимо координировать наряду с описанными выше особенностями.

-Задачи, решение которых требует поиска новых, еще неизвестных способов действий. К данным задачам относятся такие, которые, требуют творческой активности, эвристического поиска новых, неизвестных схем действий или необычной комбинации известных.

Решение задач – упражнение, развивающее мышление; оно способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, даёт возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением, то есть формирует мотивационную сферу. Решение задач – одно из средств, помогающих формированию у детей таких важнейших качеств личности, как любовь к труду и потребность трудиться.

Современная методика предлагает делать это по следующему плану:

1. Пропедевтика (подготовительная работа) к введению задач данного вида.

2. Этап ознакомления с основными способами решения задач данного вида.

3. Этап закрепления умения решать задачи данного вида.

В начальный период знакомства с задачами чаще всего дети понимают, как дать ответ на поставленный в задаче вопрос (знают число). В случае, когда решается задача в одно действие, дети сразу после сообщения текста задачи учителем дают ответ на вопрос, не отвечая при этом, откуда этот ответ взялся («Подумал», «Догадался», «Посчитал», «Не знаю»), и если учитель говорит, что данное решение нельзя принять, дети обижаются. Поэтому следует четко провести грань между загадкой и задачей.

Подготовительный этап очень важен для успешного формирования умений работать с текстовой задачей. В это время ученики усваивают конкретный смысл действий сложения и вычитания, учатся описывать задачные ситуации (без введения термина «задача»).

На этом этапе учитель использует разнообразные виды заданий.

1. Описание ситуаций по рисункам.

2. Составление к ситуациям вопросов со словом «сколько».

3. Постановка разных вопросов к одной ситуации.

4. Выполнение модели к ситуации и вопросу.

5. Описание ситуации при помощи чисел и знаков арифметических действий.

6. По данной модели описание ситуации и придумывание вопроса.

7. По данному выражению придумывание ситуации и вопроса.

8. Дополнение данной модели числами; придумывание ситуаций и вопросов к ним.

9. Подбор модели к данной ситуации. Объяснение соответствия одной модели и несоответствия других моделей.

10. Изменение модели с целью установления соответствия её данной ситуации.

11. Придумывание разных ситуаций к вопросу.

12. Придумывание заданий для товарища с целью проверки умений: описывать ситуации по рисункам, выражениям; моделировать ситуации; задавать разные вопросы к одной ситуации; придумывать разные ситуации к одному вопросу.

13. Определение видов заданий, которые даются легко, и видов заданий, которые вызывают трудности.

Работу над темой «Задача» с первого класса учитель организовывает так, чтобы ученики поняли:

1) что в жизни люди постоянно встречаются с разными задачами;

2) что в школе они будут иметь дело с задачами практически на всех уроках;

3) что часть задач могут решить, а часть решить не могут, так как не хватает знаний;

4) что среди огромного количества задач можно выделить такие, которые будут учиться решать на уроках математики, — это текстовые (математические) задачи;

5) что существуют общие приёмы работы над задачей.

Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Новые государственные стандарты начального общего образования по математике ориентируются на практические жизненные потребности человека в умении решать разные задачи. Таким целям отвечает не частный, а общий подход в обучении решению текстовых задач. Общий подход к решению задач по математике для начальной школы был разработан ещё в 80-е годы, но в действующем учебнике математики оставался частный подход к решению задач. В последнее десятилетие общий подход к решению задач, предполагающий деление процесса решения задач на этапы, постепенно становится приоритетным и в практике. При всём многообразии подходов к обучению решению задач основными считаются четыре этапа решения задачи. Каждый этап есть сложное умственное действие, входящее в состав ещё более сложного – решения задачи.

Первый этап — восприятие и осмысление задачи. Цель этапа — понять задачу, то есть выделить все множества и отношения, величины и зависимости между ними, числовые данные, лексическое значение слов. Основные приёмы работы на этом этапе:

— разбивка текста на смысловые части;

— постановка специальных вопросов;

-переформулировка, перефразирование, заменить описание термином, синонимом, убрать несущественные слова, конкретизировать;

С методической точки зрения, для полноценной работы над этим этапом работы с задачей ребёнок должен:

а) уметь хорошо читать и понимать смысл прочитанного;

б) уметь анализировать текст задачи, выявляя его структуру и взаимоотношения между данными и искомым;

в) моделировать заданную в задаче ситуацию

Второй этап- поиск плана решения. Цель : связать вопрос и условие. Приёмы:

— рассуждения от условия к вопросу (синтетический способ), от вопроса к условию (аналитический способ), составление уравнения, рассуждение по модели, по словесному заданию отношений;

— знание способа решения «таких» задач

Для организации процесса решения задач необходимо наличие программы конкретной деятельности учащихся, алгоритмов, системы приемов поиска решения задачи. Поэтому необходимы «ускорители» для приобретения навыков решения : иллюстрация, схемы, таблицы, дополнительные символы, условные знаки, стрелки, способствующие более конкретному наглядному представлению об отношениях между частями задачи, связях между величинами, порядке этих связей. Это позволяет стимулировать у учащихся развитие наглядно-действенного мышления и на основе его в дальнейшем – образного мышления.

Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм

1. Сокращенная форма записи, при которой из текста задачи выписывают числовые данные и только те слова и выражения, которые необходимы для понимания логического смысла задачи.

2. Сокращенно-структурная форма записи, при которой каждая логическая часть задачи записывается с новой строки.

3. Схематическая форма записи.

Для некоторых задач использование схем, чертежей помогает обнаружить те скрытые связи между величинами, которые трудно выявить при использовании какого-либо вида разбора. Поиск пути решения и само решение проводятся с опорой на данный чертеж.

Однако следует помнить о том, что краткая запись служит интересам ребенка при решении задачи, а не целью при решении (вспомогательное средство, при оценивании правильного решения задачи не следует осуждать ребёнка за то, что он сделал краткую запись не по образцу, показанному учителем, а так, как ему удобно, главное, что задача решена правильно.

Итак, как же искать план решения задачи? Профессор математики С.А. Яновская сказала, что «решить задачу – это свести её к уже решенным». Другими словами, разбить каждую задачу на систему подзадач, которые уже умеем решать.

Третий этап- выполнение плана решения задачи . Цель: выполнить операции в соответствующей математической области устно или письменно. Приёмы:

1. оформление решения в виде записи решения:

— по действиям с пояснениями после каждого действия;

— с вопросами перед каждым действием;

— по действиям с предварительной записью плана;

— комбинированным способом, включающим в себя несколько вышеперечисленных.

2. выполнение алгоритма решения «таких» задач;

Четвёртый этап — проверка. Цель: убедиться в истинности выбранного плана и выполненных действий, после чего сформулировать ответ.

Приёмы — до решения : прикидка ответа или установление границ с точки зрения здравого смысла математики. Во время решения : по смыслу полученных выражений; осмысление хода решения по вопросам. После решения : решение другим способом, другим методом, подстановка результата в условие; сравнение с образцом; проверка на малых числах; составление и решение обратной задачи.

Работа по формированию навыков контроля и самоконтроля при решении задач очень важна. Ведь проверка решенной задачи позволяет не только убедиться в правильности решения, но и способствует более глубокому пониманию и осмыслению ее математического содержания, осознанию связей между величинами, представленными в задаче.

Для выработки у учащихся внутренней потребности проверять решение задачи необходимо научить их:

1. При решении задачи обязательно объясните себе, почему решаете так, а не иначе.

2. После решения задачи прочитайте снова текст задачи и проверьте, все ли требования задачи выполнены, правильно ли.

3. Составьте план решения задачи. Какой пункт в решении задачи будет последним? (Работа над задачей заканчивается проверкой ее решения).

Способов проверки решения задачи много:

— Самый элементарный – прикидка ответа (установление границ искомого числа). Прикидка позволяет заметить неправильность рассуждения, несоответствие между величинами, но для многих задач не применим.

— Самый полезный, универсальный – составление и решение обратной задачи. Этот способ проверки развивает мышление, рассуждение, но громоздкий и отнимает много времени.

— Самый надежный способ проверки – решение задачи другим способом.

Для проведения работы над задачей после ее решения используют следующие приемы: преобразование задачи, сравнение задач, самостоятельное составление аналогичных задач, обсуждение разных способов решения задачи.

Однако следует отметить, что эффективное использование текстовых задач возможно только в том случае, когда учитель:

во-первых, может четко определить конкретную цель работы с каждой задачей на уроке;
во-вторых, умеет организовать эту работу на уроке в строгом соответствии с поставленной целью, т.е.в зависимости от той или иной цели выбираются методические проблемы работы над задачей.

Выбор цели может осуществляться двумя взаимосвязанными путями:

1 – от общей цели урока к выбору задачи и конкретной цели работы с ней на уроке;
2 – от конкретной задачи к цели, для достижения которой эту задачу можно

Итак, изучив методическую литературу, мы пришли к следующим выводам:

− на современном этапе обучение младших школьников решению текстовых задач остается одним из важнейших направлений учебной деятельности, поскольку именно текстовые задачи являются связующим звеном между теоретическим обучением и применением знаний на практике;

− для всестороннего раскрытия понятия текстовой задачи и рассмотрения различных жизненных ситуаций в начальной школе предлагаются текстовые задачи, которые можно классифицировать по ряду оснований;

− решение любой текстовой задачи происходит по плану, включающему в себя ряд последовательных этапов;

− обучение решению задач проходит в двух направлениях: выработка общего умения решать текстовые задачи и выработка умений решать задачи определенного вида. Применительно к начальным классам чаще других реализуется первое из двух направлений.

− умение как психолого-педагогическая категория означает готовность и возможность человека (в данном контексте, младшего школьника) успешно выполнять какую-либо деятельность (в данном случае, решать текстовые задачи). В зависимости от уровня сформированности умения решать задачи учащихся можно разделить на три группы, соответственно с высоким, средним и низким уровнями. Критерии этих уровней описаны в методической литературе;

− для достижения поставленной дидактической цели в обучении младших школьников решению текстовых задач учителю необходимо варьировать и сочетать различные формы (индивидуальную, групповую, фронтальную) организации деятельности учащихся на уроках математики. Вспомогательные материалы, призванные оказать помощь учителю, содержатся в специально издаваемых методических пособиях, публикуются на страницах журналов и в сети Internet.

источник

«Все наше достоинство заключено в мысли. Не пространство и не время, которых мы не можем заполнить, возвышают нас, а именно она, наша мысль. Будем же учиться хорошо мыслить» (Блез Паскаль).

Когда голодный и оборванный человек попросил рыбака накормить его, рыбак мог бы накормить, но в этом случае он бы утолил голод человека один раз. Рыбак взял человека с собой на рыбалку и научил быть сытым всю жизнь.

В обучении умению решать задачи у нас происходит обратное. Наиболее распространённый метод обучения решению задач основан на принципе «делай как я». Исторически сложилась такая методика, когда учитель демонстрирует на примерах способы решения так называемых типовых задач, а учащиеся по образцу решают аналогичные. Все обучение направлено на выработку практических навыков выполнения типовых видов задач и упражнений. Происходит простое натаскивание, как рыбак накормил бы голодного человека один раз.

Если выпускник школы скоро забудет способы решения многочисленных видов математических, физических, химических и иных школьных задач, то это не очень большая беда. Но если у него не выработано общего разумного подхода к любой житейской, технической или научной задаче, если он не овладел способностью к правильному рациональному поиску способа решения таких задач, то вот это большая беда. Именно это является одной из причин, что выпускники наших школ неэффективно работают, что отражается на нашей экономике и жизни. Ведь работа в любой области, повседневная жизнь человека состоит из последовательной постановки и решения самых различных задач, а поэтому школа должна научить их рационально решать эти задачи.

Таким образом, ведущим системообразующим фактором в обучении выступает, прежде всего технология обучения. Исследователи подчёркивают примат метода над предметом изучения, считая, что для развития мышления важно не столько то, чему учат, сколько то, как учат. Ведь обучение математике сводится не столько к запоминанию теорем, их доказательству, сколько к овладению методами познания. Существенной характеристикой учебной задачи является овладение обобщённым способом решения конкретно-практических задач. Поставить перед школьниками учебную задачу – значит ввести их в ситуацию, требующую ориентации на общий способ её разрешения.

Н.И. Лобачевский отмечал: «В математике важнее всего способ преподавания». Роль учителя должна состоять в вооружении учащихся технологией деятельности и соответствующими способами работы. Если долго решать задачи одного типа, представления учащихся пребывают в фазе необобщённых элементарных знаний, при решении общим методом в поле зрения ученика находятся связи между различными понятиями, а это есть главное условие оформления знаний. При отдельном изучении различных типов задач время затрачивается больше. Целенаправленное обучение приёмам мыслительной деятельности нисколько не замедляет усвоения программного материала. Наоборот, этот процесс всё более и более ускоряется по мере овладения этими приёмами, т.е. по мере развития мышления учащихся.

Ещё великий французский математик и философ Рене Декарт (1596-1650) в своё время имел намерения разработать универсальный метод решения задач. Однако его «Правила для направления ума» остались неоконченными. «Когда мне приходилось, будучи молодым человеком, слышать о каких-либо искусных умозаключениях, я пытался воспроизвести их самостоятельно, не читая автора. Постепенно я стал замечать, что пользуюсь при этом определёнными правилами», — писал он. Гальперин П.Я. отмечал, что на развитие учащихся оказывает действие определённый тип учения, который «характеризуется усвоением, прежде всего общего метода анализа явлений изучаемой области».

Решение любой математической задачи состоит из отдельных шагов. Решить математическую задачу – значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, свойств, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточные результаты решения), получаем то, что требуется найти в задаче – ответ. Математическое доказательство – тоже цепочка логических следствий из аксиом, определений, ранее доказанных теорем до требуемого заключения. Таким образом, при доказательстве теорем мы сводим её к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь ещё к другим. Каждый шаг доказательства состоит из трёх частей:

1 – предложение, на основе которого производится этот шаг доказательства (аксиомы, определения, теоремы);

2 – логическое рассуждение на основе аксиом, определений, ранее доказанных теорем;

3 – логический вывод из этого рассуждения.

Таким образом, любая задача элементарной геометрии является, по существу теоремой, а её решение – доказательством, скромной математической победой.

Формировать культуру решения задач и доказательства теорем можно через построение общей схематической модели решения, т.е. алгоритма. «Самое трудное в решении любой задачи – планирование своих действий. Если есть алгоритм, значит, есть программа действий, а потому трудности носят чаще всего технический, а не принципиальный характер», — писал А.Мордкович.

Алгоритм – это система операций, применяемая по строго определенной схеме, правилам, которая после последовательного их выполнения приводит к решению поставленной задачи.

Мы недооцениваем способности детей к прогнозированию, составлению моделей деятельности, планированию. А они обнаруживаются в раннем возрасте: трёх-четырёхлетние дети планируют свои игры без взрослых. А в школе эти способности не развиваются – за них всё решают учителя и взрослые. Необходимо учить детей выделять главные моменты в своих действиях; намечать последовательность выполнения работы; выбирать способы и приёмы, которыми рациональнее пользоваться.

Алгоритм необходимо составлять вместе с учащимися. И хотя время затрачивается больше, это оправдывается более высоким развивающим эффектом. Развивается мыслительная деятельность учащихся через напряжение умственных сил, способности их к прогнозированию. Школьники учатся самостоятельно продумывать и составлять план деятельности, переносить его на новый материал, совершенствовать. Ведомый учителем ученик становится ведущим на уроке.

Алгоритм анализа условия и решения задачи мы с учащимися составили в виде памятки:

1. Прочитать задачу.
2. Выделить условие и вопрос.
3. Сделать по условию чертёж.
4. Отметить на чертеже данные и искомые величины. Проанализировать данные, выявить связи между ними и все возможные расположения фигур.
5. Подумать, что надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи. Записать формулу для искомой величины (формула может быть выведена из теоремы, из условия задачи, из треугольника на чертеже, из частных методов решения элементарных задач).
6. Неизвестные величины в этой формуле подчеркнуть.
7. Записать выражения (формулы) для нахождения этих подчёркнутых величин (или выведенные из теорем, или из условия задачи, или из треугольника на чертеже, или из частных методов решения элементарных задач).
8. А теперь можно ответить на вопрос задачи? (действия по контролю). Продолжать до тех пор, пока можно будет ответить на вопрос задачи.
9. Подставить найденные подчеркнутые величины в формулу для искомой величины. Вычислить.
10. Записать ответ.

Поиск и конструирование методов решения вырабатывает дисциплинированное мышление в процессе решения, прививает эстетический взгляд на решение задачи, предполагает оценку решения не только с точки зрения её безупречной логической правильности, но и красоты и изящества.

До тех пор, пока какой-либо частный факт не соотнесён с общей структурой, он быстро забывается, т.е. знание общей структуры способствует сохранению материала в памяти. А. В. Гончаров писал, что перегрузка памяти учащихся вызывается отсутствием обобщающих линий и чрезмерной раздробленностью содержания. Вместо бездумного решения большого количества задач полезнее решать меньше, но при этом само решение должно содержать глубокое изучение этих задач, сущности их решения, выявление общих методов и приёмов, используемых в этом решении.

Отвечая на вопросы памятки при решении задач, учащиеся составили алгоритм решения геометрической задачи в виде блок схемы (Приложение 1).

Основным содержанием этого этапа стало моделирование. Деятельность учащихся имеет теоретический, исследовательский характер, приобретает опыт творческого мышления.

Данный алгоритм составили не сразу, в несколько этапов. Сначала более простой, а с появлением задач другого содержания дополняли его. Детям необходимо понять, что любое дело в жизни совершенствуется.

Самостоятельное составление алгоритма учащимися развивает:

• способность к формализации математического материала (отделение формы от содержания), абстрагированию конкретных количественных отношений;
• способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного;
• способность к оперированию числовой и знаковой символикой;
• способность к последовательному, правильно расчленённому логическому рассуждению;
• способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
• способность к переключению от одной умственной операции к другой (гибкость мышления);
• способность к пространственным представлениям;
• развивает устную и письменную речь.

Восприятие объектов облегчается, если они расположены в определённой строго продуманной системе, требующей минимальных усилий со стороны наших органов чувств. Восприятие объектов, расположенных хаотически, осуществляется неохотно и требует значительных волевых усилий. Оформлять запись решения задачи также интересно. И не так это просто – выбрать наиболее удобный способ оформления решения. Сам выбор удобного способа оформления решения является интересной задачей. Часто процесс решения задачи зависит от удачно выбранного способа записи решения.

В алгоритме использовался аналитический способ решения задач. Анализ может выступать в двух формах:

1. Когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи;
2. Когда целое расчленяют на части.

Пример аналитического оформления решения задачи (Приложение 2).

Синтез тоже может выступать в двух формах:

1. Когда в рассуждениях двигаются от данных задачи к искомому;
2. Когда элементы объединяют в целое.

Пример синтетического оформления решения задачи (Приложение 3).

Аналитико-синтетический метод существует в виде восходящего и нисходящего анализа. Нисходящий анализ применяется реже. В нашем случае его можно применить на отдельном шаге решения сложной задачи. Это анализ в форме рассуждения от искомого к данным.

1 – Получено неверное следствие. Значит предположение о справедливости А ошибочно. Решение задачи закончено

2 – Получено верное следствие. В этом случае следует обязательно проверить обратимость рассуждения:

• если все рассуждения обратимы, то А верно;
• если среди рассуждений есть необратимые, то приходится применять другие методы поиска решения задачи

3 – Если верное следствие получить не удаётся, то также приходится перейти к другим методам

1. Уменьшить число параметров.

3. Использовать все данные задачи.

Можно, изменив условие, сформулировать и доказать соответствующее верное утверждение, т.е. решить другую задачу.

Такая проверка обязательна, т.к. из неверного утверждения тоже можно получить верное следствие

Примеры необратимых рассуждений:

Пример решения задач нисходящим анализом (Приложение 4).

Основной способ решения задач – восходящий анализ.

Пусть требуется доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого следует А; затем отыскиваем утверждение С, из которого следует В; …до тех пор, пока найдём путь решения.

Аналитико-синтетический метод – метод попеременного движения с двух сторон:

1. сначала разворачивается заключение задачи (искомая величина);
2. потом разворачивается условие задачи;
3. получение цепочки выводов от условия и заключения.

Основным способом он является потому, что разбор и решение задач восходящим анализом проводят ещё в начальных классах при решении составных задач (3–4-е классы).

Пример доказательства восходящим анализом (Приложение 5).

Особенности метода:

• не требуется обратимости рассуждений (только при доказательстве, при решении задач обратимость имеет место), т.к. возможность обратного перехода проверяется на каждом шаге поиска решения;
• учащиеся должны хорошо усвоить фразу: «Чтобы доказать… достаточно доказать…». Термин «достаточно» подходит больше, чем «надо», поскольку можно подобрать несколько различных утверждений, для каждого из которых искомое является следствием;
• в общей схеме восходящего анализа не разъясняется, как получить утверждение, из которого следует искомое, такое утверждение подыскивается, исходя из конкретных условий задач.

«В поиске решения важную роль играет отбор нужных выводов из условия и достаточных по отношению к заключению совокупностей свойств. Это творческий процесс, научить этому невозможно, остается «учить плавать, бросая в воду». (М. Волович).

Работа над более кратким, рациональным оформлением задачи продолжается. Такая форма записи неудобна тем, что заполняет всю площадь листа. Но полное развёрнутое решение необходимо для формирования умения решать задачи. Приём разбиения решения на шаги облегчает усвоение метода решения. Шохор-Троцкий С.И. в книге по методике арифметики указывал, что свертывание процесса рассуждения зависит от натренированности в решении задач. На первых этапах овладения задачей она выполнялась посредством развёрнутого процесса, на поздних – сокращённого. Но для способных учащихся это условие не является обязательным. Способных отличает ярко выраженная тенденция к быстрому и радикальному свертыванию процесса рассуждения и соответствующих математических действий. Восприятие математических задач способными приобретает свернутый вид. Аналитико-синтетическая ориентировочная деятельность способных настолько «свернута» и максимально ограничена во времени, что в некоторых случаях создаётся впечатление – она имеет характер одноактного одномоментного видения математического материала. Способные при восприятии задач сразу видят её «скелет», очищенный от всех конкретных значений. У них наблюдается обобщённое формализованное восприятие математического материала (быстрое схватывание формальной структуры задачи), когда числовые данные, конкретное содержание «выпадает» и остаются чистые соотношения между показателями, характеризирующие принадлежность задачи к определенному типу.

Видно, что общая блок-схема сохраняется и при аналитико-синтетическом методе решения задачи (Приложение 6).

И Гальперин П.Я. отмечал, что мыслительные операции можно целенаправленно формировать путём постепенного перехода от развёрнутых внешних действий, заранее запрограммированных и выполняемых в заданной последовательности, ко всё более свернутым умственным действиям.

Свёртывание начинается после того, как ученик обобщит способ решения. Обобщение и свертывание происходит по разному у детей, отличающихся своими способностями. У способных обобщение наступает сразу, «с места». Средние обобщают после многократных упражнений. Неспособные обобщают с большим трудом и после длительного решения однотипных задач.

Сокращённая, обобщённая форма записи решения задачи сохраняет информацию, не загружая мозг избыточной информацией и позволяет дольше и легче использовать её.

Сокращенная форма записи решения.

Далее полезно познакомить учащихся с аналитико-синтетическим способом решения задач. На самом деле этот способ скрыто присутствовал в нашем методе, но теперь он должен приобрести теоретическое обоснование.

К 7–8-у классу в психике учащихся уже преобладает анализ.

«Анализ решения экспериментальных задач учениками показал, что учащимся свойственна аналитико-синтетическая обработка математического материала, носящая характер аналитико-синтетического осмысливания материала», — писал В. А. Крутецкий, [2].

Уже найденное известное решение задачи обычно излагают синтетическим методом, а чтобы найти способ решения, пользуются анализом. Синтез позволяет изложить известное решение задачи быстро и чётко. Однако ученику трудно понять, как было найдено решение, как бы он сам мог догадаться решить задачу. Анализ требует большей затраты учебного времени, но зато позволяет показать ученику, как найти решение, как можно самому догадаться её решить. Если использовать систематически анализ, у учащихся формируются навыки поиска решения задач. Анализ в чистом виде вообще не применяется. Если ученик пользовался им при поиске решения задачи, то только до тех пор, пока в его сознании не возникнет идея решения. При решении задач синтезом в сознании человека проводится и анализ, но часто настолько быстро, подсознательно, что ему кажется, будто он сразу увидел решение, не прибегая к анализу. Чем более сложной является задача, тем в более отчётливой форме он сможет проследить элементы анализа в своих рассуждениях.

Анализ и синтез соответствуют психическим процессам дедукции и индукции.

• Индукция — форма умозаключения от единичных фактов к общим положениям.
• Дедукция — вывод от общего к частному.

Индукция и дедукция — различная последовательность во времени анализа и синтеза. При индуктивной обработке информации анализ предшествует синтезу, при дедуктивной – синтез-анализу. Интегративная аналитико-синтетическая деятельность присуща обоим полушариям мозга, но в каждом она характеризуется специфической последовательностью анализа и синтеза. Индукция преимущественно связана с функционированием левого полушария, а дедукция – правого. Обработка идёт параллельно-последовательно по двум каналам, что обеспечивает её быстроту и надёжность. Таким образом более или менее стабильно устанавливается межполушарная асимметрия. Оба полушария работают теперь главным образом параллельно, постоянно обмениваясь информацией. Левое полушарие при этом как бы обладает законодательной властью, а правое — исполнительной. Левое вырабатывает цели, а правое реализует их достижение.

Можно надеяться, что относительно равномерное применение индуктивных и дедуктивных методов обучения привело бы к большей продуктивности в освоении знаний. Учитель становится человеком, впрямую формирующим функции мозга.

Пример аналитико-синтетического способа решения задачи (Приложение 8) с переходом к краткой форме записи решения.

На каждом этапе (шаге) решения задачи обсуждается план решения, рассматривается несколько вариантов решения, выбирается рациональный. Решаются так называемые элементарные задачи по отношению к данной неэлементарной задаче. Данная неэлементарная на некотором этапе обучения сама может стать элементом решения более сложных задач.

Промежуточный мыслительный процесс, протекающий в сознании учащегося между двумя этапами решения, помогает устанавливать связи между ними, углублять понимание и активизировать мыслительную деятельность. Состоит из:

• вспоминания, применения по ходу ознакомления с материалом определений, теорем, законов, различных правил, в том числе мнемонических, которые как раз и предназначены для лучшего запоминания тех или иных фактов;
• созерцания, представления наглядных образцов (моделей, графиков, рисунков, диаграмм);
• любой деятельности с образами;
• оперирования знаками и символами (введение стрелок и других обозначений, подчёркивание записей…);
• любых рассуждений, действий, углубляющих понимание.

Если промежуточные элементарные задачи громоздки, или дети забыли их решение, лучше вспомнить их решение в устном счёте, подготовив заранее детей к решению более сложной задачи.

Аналитико-синтетический метод можно применять и при решении задач и упражнений по другим предметам: по алгебре, физике, химии.

Литература

1. Груденев Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М,: Педагогика, 1992г.
2. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. – М,: Просвещение, 1985 г.
3. Мордкович А. В. Семинар для молодых учителей. «Математика» – приложение к газете «Первое сентября», №1-30. – 1993 г.

источник

Решение более или менее ответственных задач разумно начинать с анализа поставленной задачи. По этому вопросу имеется огромное количество источников, правда каждый из них ориентирован (явно или неявно) на специфику определенного класса рассматриваемых задач. В этом плане заслуживают внимания материалы проведенной в 2007 годунаучной конференции ТРИЗ-Саммит [62], где представлен достаточно широкий обзор подходов, показавших свою практическую эффективность при анализе изобретательских задач. Следование рекомендациям при рассмотрении таких сложных задач (с позиций потребности в интеллектуальных усилиях) — общепринято.

Для более же широкого класса задач методические рекомендации весьма общие и на практике (именно в силу их общности) им редко уделяют должное внимание: в простых случаях они как бы не важны сами по себе, в сложных ситуациях опытные исследователи фактически следуют им, сами не замечая этого (они как бы сами собой разумеются). Задача состоит в том, чтобы обратить на них внимание начинающих и научить разумно их использовать в каждой конкретной ситуации своей профессиональной деятельности. Ведь, по-существу, уже на этапе анализа поставленной задачи начинается процесс ее решения и заключается он в снятии ряда неопределенностей, которые обычно присутствуют в исходной постановке. Дело в том, что появление задачи – есть констатация наличия некоторой неопределенности между тем, что дано и тем, что требуется определить. Снятие этой неопределенности и является, по-существу, целью решения задачи, и этот процесс начинается еще на этапе уяснения задачи. Уже здесь, в частности, определяется сфера доминирования (какая область и какие ее аспекты рассматриваются), обеспечивается единство языка постановки задачи и рассматриваемой предметной области (уже здесь часто необходима интерпретация используемых терминов) и другие.

В ходе уяснения задачи, как минимум приходится реализовать следующие шаги. Во-первых, необходимо уяснить: понятны ли в данном контексте использованные в постановке термины и язык в целом. К сожалению, под одними и теми же терминами очень часто понимаются разные объекты. Поэтому будет полезным обращение к соответствующим словарям (тезаурусам) и современным базовым работам по данной тематике. Следует уточнить, о каком именно объекте идет речь, и какова точка зрения, с которой он рассматривается, что также будет способствовать адекватному пониманию использованной лексики.

Во-вторых, проводится уяснение цели: что же по существу требуется найти. Следует помнить, что цель данной системе формулируется в надсистеме и в ее интересах. Типичным является случай, когда вместо определения значений некоторых параметров, обеспечивающих экстремальное значение критерия, целью обозначается поиск его экстремального значения. Например, в задаче о построении оптимального по прибыли плана целью иногда называют величину наибольшей прибыли, вместо того, чтобы искать пути (план) достижения этой прибыли.

В-третьих, уточнение заданных условий. Речь идет об интерпретации приведенного описания, возможных уточнениях и предположениях, которые в тексте задания заданы неявно или недостаточно четко обозначены. Более того, в целом ряде случаев субъект вынужден самостоятельно принять и зафиксировать дополнительные ограничения или допущения необозначенные в постановке, например: «потерями в линии электропередачи пренебрегаем» или «зависимость параметра от параметра принимается линейной», «трение воздуха не учитываем» и т.п. Именно в выявление реально существующих связей между элементами системы и в последующей их формализации лежит ключ к успеху решения большинства задач математического моделирования.

Первое, что приходит в голову после анализа рассматриваемой задачи, решалась ли такая задача ранее. В настоящее время этот этап в значительной мере реализуется в результате поиски соответствующей информации с помощью Интернет. Однако, и в этом случае каждый раз реализуется один из следующих случаев [63]:

· задача новая, ранее не в такой форме не рассматривалась;

· задача формулировалась, но решение не получено;

· задача решалась и решена, но при несколько иных условиях и допущениях;

· задача решена, причем может иметь несколько решений.

В каждой из этих ситуаций приходится действовать несколько по-разному. Проблемным, правда, всегда остается вопрос о полноте проведенного поиска (никогда нет уверенности в том, что ситуация именно такая). Но в реальной действительности когда-то прекратить поиск все же приходится, следует классифицировать сложившуюся ситуацию и предпринимать соответствующие дальнейшие действия.

В процессе анализа задачи существенную помощь может оказать классификация постановок задач. Приведем, следуя [64], описание наиболее характерных типов постановок задач.

Цель решения задачи — нахождение одного из допустимых вариантов решения. Каждое решение X допустимо, если отвечает некоторой совокупности внутренне сбалансированных и непротиворечивых целевых ограничений и ограничений по ресурсам. Цели здесь могут выражаться в виде специальных ограничений типа «быть не менее чем. » или твердых заданий «быть равным . «. Они лишь косвенно выражают приоритет вариантов и направление устремлений. Например, требуется сформировать учебный план неполной средней школы. В рамках этой проблемы может быть задана следующая задача: за восемь первых лет обучения в школе на математику необходимо выделить не менее 1500 часов учебного времени и непременно изучить методы решения квадратных уравнений за 20 часов.

Математическая запись такого рода постановок может быть следующей: определить при ограничениях

— целевые ограничения,

— ресурсные ограничения.

Результатами формализации постановок типа А являются: модели прямого вычисления (вычисления по формулам, решение систем уравнений и неравенств), модели баланса, модели прогнозирования и др, что позволяет получать оценки некоторых характеристик, описывать состояние и поведение объектов исследования.

Эти постановки формулируются как требование максимизации (минимизации) некоторых характеристик объекта исследования, которые выступают в качестве критериев оценки и отбора вариантов. Цель — определить некоторую совокупность показателей обеспечивающую экстремальное значение критериальной функции (поэтому задачи, имеющие постановку такого типа, называются оптимизационными). Множество допустимых вариантов решения задается системой ограничений, как требование принадлежности некоторому допустимому множеству D. Таким образом, математическая запись постановок задач типа В может быть следующей:

½

½ ,

где – целевая функция; –область допустимых решений.

Подобные математические модели предписывают норму поведения объекта и относятся к моделям нормативного типа. Решив подобную математическую задачу, получают вполне определенный и наилучший в смысле принятого критерия план действий.

Если требования экстремизации относится к нескольким характеристикам, то говорят о векторной (многокритериальной) оптимизации. Например, требуется разработать план подготовки в условиях заочного обучения (D) за самый короткий срок (T) специалистов с наивысшим в данной области образованием V и с наименьшими затратами средств W, т.е.

Однако вся совокупность этих требования, как правило, противоречива, а с математической точки зрения их одновременное выполнение абсурдно. Так явно противоречивы требования минимизации сроков и затрат при подготовке специалистов наивысшего качества. Существуют различные приемы изменения противоречивых постановок с целью их дальнейшей формализации и применения математических методов решения задачи, однако прямое решение задач многокритериальной оптимизации наталкивается на принципиальные трудности.

Это наиболее общий вид задач поиска решения встречающийся в целенаправленной деятельности людей. В постановках такого типа дают развернутую формулировку целей и обычно не привязываются к структуре выделяемых ресурсов. Цели могут последовательно конкретизироваться вплоть до введения целевых нормативов (как в постановках типа B), однако цели и критерии в этом типе постановок разделены. Тогда оценка качества решения осуществляется путем вычисления отклонения выбранных показателей от этих нормативов. Если же интересующие показатели просто перечислены, то постановка становится похожей на постановку типа A. Целевые нормативы могут быть как-то ранжированы или даже взвешены. В последнем случае постановка C внешне будет походить на постановку типа B. Постановки задач тапа С претендуют на высшую степень адекватности, однако нахождение их эффективных решений — дело будущего.

Сравнивая типы постановок, можно сказать следующее. Постановки типа A обычно предназначены только для решения вопросов анализа и прогноза. Постановки типа В приводят к весьма жестким моделям, правда решение в этом случае получается наилучшим в смысле принятых критериев и ограничений. Разделение целей и критериев оценки вариантов решений в постановках типа C позволяет получать более гибкие модели способные адаптироваться к существенным изменениям условий задачи.

Примечание. Как всегда на практике, чаще всего встречаются некоторые гибриды такого рода схем, и приходится, либо с целью подгонки под какую-то схему вводить в постановку задачи некоторые дополнительные условия (или уточнять свою интерпретацию), либо мучительно формировать собственный подход к ее решению. Здесь важно понимать, что каждую задачу в данной форме кто-то сформулировал. Поэтому как именно поставлена задача, а, следовательно, и какие использовать для ее решения методы моделирования зависит от исследователя, его целей, знаний и возможностей. В этой связи следует различать ситуации, когда формирование (обсуждение, корректировка) постановки задачи и ее решение строго разделены или связаны между собой, в том числе и обратной связью.

Приведем два простейших примера.

Задача 1. Определить дальность полета предмета, выпущенного под известным углом к поверхности земли с заданной начальной скоростью .

Проанализируем эту задачу. Поскольку иной информации в задании нет, то будем предполагать идеальный случай: поверхность земли плоская, предмет летит в плоскости перпендикулярной поверхности, сопротивление воздуха не учитывается, размерами предмета можно пренебречь, предмет выпущен с уровня земли (все эти предположения непосредственно не следуют из постановки задачи и приняты нами, как дополнительные). Предмет брошен по некоторым углом, поэтому его движение, осуществляемое по некоторой траектории, удобно представить в виде разложения на два слагаемых: на горизонтальное движение и движение вертикальное. Заметим, что нам требуется определить расстояние, которое пролетит предмет по горизонтали.

При сделанных предположениях горизонтальное движение (в соответствии с первым законом Ньютона) есть прямолинейное движение с постоянной скоростью. Поэтому за время по горизонтали предмет пролетит расстояние . Если считать, что предмет брошен в момент времени , то это расстояние есть величина Эта формула показывает, что движение в горизонтальном направлении может продолжаться сколь угодно долго. Однако этого не происходит, почему?

Мы можем наблюдать, что вначале предмет поднимается на некоторую высоту, а затем падает вниз. Когда он достигнет уровня земли, то, очевидно, закончится его движение и в горизонтальном направлении. Таким образом, предмет продолжает свое движение в горизонтальном направлении только до тех пор, пока он не опустится на землю (обозначим время полета через ). Следовательно, предмет пролетит расстояние . Задача будет решена, если найдем время приземления предмета (остальные компоненты и заданы).

В вертикальном направлении движение предмета определяют две составляющие: восходящий вертикальный компонент броска направленный вверх и нисходящий компонент, обусловленный силой тяжести. Пролетаемое расстояние вверх (по аналогии с горизонтальной составляющей) описывается формулой ). Поэтому за время предмет мог бы пройти расстояние .

Движение вниз является равноускоренным (движение свободного падения), поэтому за время , предмет мог бы пролететь вниз расстояние . Предполагается, что предмет выпущен с уровня земли и закончит свое движение на этом же уровне. В этой связи в любой момент времени выполняется условие или . Отсюда можно найти время полета предмета . Оно равно . За это время в горизонтальном направлении предмет пролетит искомое расстояние .

Решение удалось получить в общем виде – искомая величина связана с заданными параметрами по формуле . Эта формула может рассматриваться, как математическая модель протяженности движения предмета, подброшенного под углом к горизонту (правда при сделанных допущениях). Следовательно, она справедлива при различных значениях возможных параметров. Именно в этом сила получаемых аналитических решений, подставляя соответствующие значения параметров, получаем решение соответствующей задачи. Например, если угол бросания равен и начальная скорость , то предмет пролетит расстояние (где ускорение свободного падения принято равным ).

Задача 2. Проектируется канал оросительный системы, имеющий прямоугольное сечение площадью . Каковы должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стен и дна канала потребовалось наименьшее количество облицовочного материала?

По-видимому (это первое наше предположение), количество требующегося облицовочного материала (обозначим его через ) пропорционально некоторому коэффициенту , определяющему расход материала на единицу площади, и суммарной площади (стен и дна) канала , т.е. . В постановке явно не указано, но можно предположить (это второе наше предположение), что сечение канала одинаково на всем его протяжении. Поэтому подлежащая облицовке площадь равна произведению длины канала и длине периметра его сечения. Следовательно, , где — высота, — ширина сечения канала – искомые величины. Именно изменение этих величин и позволяет (в соответствии с условиями задачи) менять объем облицовочного материала. Стремление минимизировать расход облицовочного материала запишем в следующем виде

В соответствии с постановкой задачи сечение канала представляет собой прямоугольник с площадью . Эти сведения позволяют связать размеры его сторон следующим образом . В итоге проведенные рассуждения приводят к следующей задаче:

определить значения параметров и при условиях

(1)

(2)

если (3).

В данном случае условие (3) — третье наше предположение — кажется тривиальным, однако оно не является лишним, и в более сложных задачах такого типа условия могут играть принципиальную роль.

Сравним формулировку задачи (1) — (3) с исходной. Если последняя есть задача, сформулированная на естественном языке (и является, по-существу, вербальной моделью), то запись (1)-(3) является чисто математической задачей и может рассматриваться как математическая модель нормативного типа.

Ход решения такого типа математической задачи должен быть известен даже школьникам. Используя (2), выразим параметр через , т.е. и подставим его в (1). Имеем

(4)

Для определения значений параметра , при котором выполняется условие (4) необходимо продифференцировать по (именно этот параметр варьируется), и полученный результат приравнять нулю. В итоге для нахождения получаем следующее уравнение . Единственное, физически реализуемое решение которого, есть . Таким образом, ответом задачи являются значения следующие размеры прямоугольного сечения: высота и ширина .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8900 — | 7579 — или читать все.

источник

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Программа по математике: УМК «Школа России», М.И. Моро

Ознакомление с текстом задачи

Учитель: Дети, прежде чем приступить к заданию, давайте определим, что это за задание?

Учитель: Как вы определили?

Ученики: Там есть условие и вопрос.

Учитель: Что такое условие задачи?

Ученики: Условие – это то, что нам известно.

Ученики: Это то, что нам нужно найти.

Учитель: Хорошо, молодцы! Давайте с вами прочитаем задачу и проанализируем её.

Ученики: (слушают внимательно учителя)

Учитель: На прогулку вышли 7 девочек, а мальчиков – на 2 больше. Сколько мальчиков вышло на прогулку?

Учитель: Ребята, где здесь условие?

Ученики: На прогулку вышли 7 девочек, а мальчиков – на 2 больше.

Ученики: Сколько мальчиков вышло на прогулку?

Учитель: Хорошо, молодцы. Теперь я вам предлагаю составить краткую запись к задаче. Что нам известно?

Ученики: Что на прогулку вышли 7 девочек.

Учитель: Известно нам, сколько вышло мальчиков?

Учитель: А что нам известно?

Ученики: Что их вышло на 2 больше, чем девочек.

Учитель: Что значит на 2 больше?

Ученики: Это столько же да ещё 2.

Учитель: Верно. Теперь давайте запишем эти данные краткой записью

Ученики: (записывают в тетради)

Учитель: Давайте ещё раз прочитаем задачу.

Ученики: читают вместе с учителем

Учитель: Сколько всего девочек?

Учитель: А что нам о них известно?

Ученики: Что их было на 2 больше

Учитель: Что значит на 2 больше?

Ученики: Столько же да ещё 2

Учитель: Какое мы будем искать число – большее или меньшее

Оформление решения задачи, формулировка ответа

Учитель: Что с чем будем складывать?

Ученики: Нужно к 8 прибавить 2

Учитель: Берём в руки ручки и делаем запись в тетрадочках

Ученики: делают записи в тетради

Учитель: Давайте запишем ответ. Какой был вопрос?

Ученики: Сколько мальчиков вышло на прогулку?

Учитель: Ответили мы на вопрос?

Ответ: 10 мальчиков вышло на прогулку

Ученики: записывают в тетради

Учитель: А теперь в качестве проверки я предлагаю к доске выйти 8 девочек. Представим, что мы с вами на прогулке. А теперь нам нужно, чтобы к нам вышли столько же мальчиков, но на два больше.

Ученики: Выполняют предложенные действия

Учитель: А теперь проверим себя и посчитаем, правильно ли мы решили задачу. Сколько у вас получилось мальчиков?

Учитель: Какой вывод мы можем сделать?

Ученики: Задача решена верно.

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

источник