Меню Рубрики

Как решать задачи мат анализу

  1. Определитель матрицы.
  2. Матричный калькулятор: 3A-BC+A -1
  3. Методы решения системы уравнений: метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы и другие.
  4. Координаты вектора в новом базисе. Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
  5. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
  6. Собственные числа матрицы
  7. Выделение полного квадрата (a•x 2 + b•x + c = 0)
  8. Метод неопределенных коэффициентов (преобразовать в сумму простейших дробей):
  9. Формула дискриминанта. Данный вид калькулятора используется для нахождения дискриминанта и корней функции.
  10. Деление многочленов столбиком. Данная процедура, в частности, поможет при нахождении интегралов.
  11. Решение пределов.
  1. Найти производную (Таблица производных) cosx + e sinx+x 3x
    Дифференциал функции
  2. Правило Лопиталя при вычислении пределов.
  3. Уравнение касательной к графику функции, уравнение нормали
  4. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной. Калькулятор вычисляет экстремум функции. Интервалы возрастания и убывания функции. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба.
  5. Асимптоты функции. Определение наклонных, вертикальных и горизонтальных асимптот.
  6. Построение графика функции методом дифференциального исчисления
    1. Дифференциальные уравнения: , .
    2. Линейные дифференциальные уравнения (решение однородных дифференциальных уравнений y»-2y’+y = e 2x )
    1. Площадь фигуры, ограниченной линиями:
    2. Вычисление интегралов (Таблица интегралов)
    3. Работа силы при перемещении вдоль дуги линии: Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M до точки M1.
    1. Определить сходимость или расходимость ряда
    2. Определить область сходимости степенного ряда
    3. Разложить в ряд Тейлора
    4. Разложение функции в ряд Фурье: Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1+x на отрезке [-1, 1]. Построить графики частичных сумм S, S1, S2.

    С помощью сервиса WolframAlpha можно бесплатно решать многие математические задачи. Решение бесплатное и автоматическое с возможностью сохранять результаты вычислений в формате pdf. Есть возможность показать ход решения ( Show steps ).

    Найти корни уравнения x 2 — 3x + 4 = 0
    Разложить на множители x 2 — 3x + 4 = 0

    Задача 1. Найти пределы функций с помощью правила Лопиталя.
    Пределы
    а)
    Решение.
    Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенность 0/0 и ∞ / ∞.

    Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

    Для нашего примера: f(x) = 1-(cos(x)) 2 , g(x) = x+sin(2•x)
    Находим первую производную: f'(x) = 2•cos(x)•sin(x), g'(x) = 1+2•cos(2•x)

    б)
    Решение.

    Для нашего примера:
    f(x) = ln(sin(x))
    g(x) = (2•x-π) 2
    Находим первую производную
    f'(x) = cos(x)/sin(x)
    g'(x) = -4•π+8•x

    Находим вторую производную
    f»(x) = -1-cos 2 (x)/sin 2 (x)
    g»(x) = 8

    в)
    г) .

    Задача 2. Провести полное исследование и построить графики функций.
    Функции
    а) ;
    Решение ищем по схеме:

    1. выяснение области определения функции;
    2. определение четности или нечетности функции;
    3. исследуется периодичность функции;
    4. расчет точек пересечения кривой с осями координат;
    5. находят точки разрыва функции и определяют их характер;
    6. исследования на экстремум;
      Находим первую производную функции:

      или

      Приравниваем ее к нулю:

      x1 = -1
      x2 = 1
      Вычисляем значения функции
      f(-1) = -1 /2
      f(1) = 1 /2
      Ответ:
      fmin = -1 /2, fmax = 1 /2
      Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

      или

      Вычисляем:
      y»(-1) = 1 /2>0 — значит точка x = -1 точка минимума функции.
      y»(1) = -1 /2 y = 0
    7. строят график исследуемой функции.

    Задача 3. Дано скалярное поле.
    1) Составить уравнение линии u = C и построить её график.
    2) Вычислить с помощью градиента производную скалярного поля u=u(x;y) в точке A по направлению вектора .
    3) Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке A .

    С Координаты т. А Координаты т. В
    4

    Задача 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.
    Уравнения линий
    y = -4x 3 ; x=0; y=4

    Задание 6. Известно, что рыночный спрос Q и предложение S на некоторый товар линейно зависит от цены p: S=ap+b, Q=cp+d, где a, b, c, d-некоторые положительные постоянные. Исследование рынка показало, что скорость изменения цены пропорциональна превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности y. Напишите дифференциальное уравнение, характеризующее зависимость цены от времени t, и решите его при условии, что начальная цена товара имела значение p(0)=0,25.

    Задание 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
    x 2 y″-ln(x)=0

    источник

    Математический анализ, он же матан, — бесспорно, самый пугающий предмет на первом курсе. Особенно для студентов-технарей (ибо студентам-математикам он нужен безусловно, а к гуманитариям требования ниже). В головах многих что-то в роде: «Мы пришли научиться конструировать самолеты, а не доказывать расходимость несобственного интеграла».

    Все слышали, что это основы и что без них дальше будет сложно. Но почему?
    Приведем простой пример: мы узнаем после прохождения курса математического анализа — производные, их вычисление, что это такое и т.п. Без производных мы не поймем дифференциальные уравнения, уравнения математической физики. Без этих знаний мы просто-напросто не сможем решить задачу распределения тепла в комнате.
    Таких примеров — банальных и не очень — много.

    Данная статья не является учебным пособием, ее цель показать, что не нужно бояться сложного, нужно преодолевать сложности, впрочем, как и в жизни. Матан — наша жизнь!
    Итак, как же разобраться в этой куче бесконечно малых и бесконечно больших величин?
    Ответ очевиден — читать литературу и решать задачи. Учебник, ставший классикой для технических вузов, конечно же «Основы Математического Анализа», авторы которого Ильин В.А. и Позняк Э.Г. Есть еще множество хороших книг. В общем, мы не будем осуждать программу вашего университета и возьмем книгу, которая рекомендована для вашей специальности. В качестве сборника задач лучше всего взять проверенного временем Демидовича или Кудрявцева. Так же стоит обратить внимание на очень известное пособие-решебник «Анти Демидович».
    Итак, мы снарядились. Пора в бой!

    Как правило, манат «начинается» с последовательностей. На примере этой темы мы и рассмотрим порядок изучения.
    Читаем теорию постепенно. По одному параграфу. Разбираемся, «проникаемся». Вследствие чего мы узнаем о ББП, БМП, предельным переходом в неравенствах, монотонными последовательностями, необходимыми и достаточными условиями сходимости и еще много интересного.

    Изучив параграф, приступаем к самому главному — решению задач. Первым делом внимательно смотрим примеры по теме. Затем закрепляем знания с помощью решения нескольких задач на последовательности.
    Практика решения задач в анализе — самое важное и самое сложное. Естественно, начинаем с простых задачек, которые решаются «по шаблону». Но и здесь не забываем, почему мы так делаем и какая теорема лежит в основе.
    Например:

    Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности:

    Вспоминаем критерий Коши, вспоминаем что такое фундаментальная последовательность и решаем, поначалу основываясь на примерах.
    Разобравшись с простыми задачами, переходим к задачам, где нужно думать более глубже. Что-то вроде такого:

    Выяснить, вытекает или нет сходимость последовательности n> из условия, что для любого натурального p существует предел

    Вооружившись своими новыми знаниями и немного подумав мы решим и эти задачи, и докажем все, что от нас требует учебник.

    Далее параграф за параграфом, тему за темой мы усвоим основы замечательной дисциплины математический анализ. Мы научим наш мозг думать логически, основываясь на фактах. Это нам очень поможет в дальнейшей жизни.

    Решение задач по матану является очень увлекательным занятием. Попробуйте, вам понравится!

    Также советуем обратить внимание на статью «Задачи с пределами и интегралами».

    Наши специалисты могут помочь решить задачи по матану любой степени сложности. Заказать работу можно у нас на сайте.

    источник

    Министерство образования Российской Федерации

    НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

    АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

    С.Н. Веричев, Г.Б. Корабельникова, В.Н. Максименко, А.А. Шалагинов, Э.Б. Шварц

    Работа подготовлена на кафедре инженерной математики НГТУ для студентов всех факультетов

    М 34 Математический анализ в примерах и задачах . Часть 1 /

    С.Н. Веричев, Г.Б. Корабельникова, В.Н. Максименко и др.; Под ред. В.Н. Максименко: Учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,

    Настоящее пособие включает в себя теоретические сведения, задачи и упражнения по следующим разделам курса высшей математики: предел и непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной действительной переменной, их приложения к задачам геометрии и механики.

    Типовые задачи даны с подробными решениями. Приведены задачи для самостоятельного решения. Все задачи снабжены ответами.

    технический университет, 2002 г.

    – знак логического следования

    – знак равносильности (эквивалентности)

    – квантор существования! – «существует точно один»

    – множество, состоящее из элементов a , b , c ,

    – дополнение множества А до универсального мно-

    – множество А является подмножеством множества В

    – множество А является собственным подмножеством

    – множество элементов x , удовлетворяющих условию

    – функция, отображающая множество X в (на) мно-

    – функция, обратная к функции f , отображающая

    множество Y в (на) множество X

    – область определения функции

    – множество значений функции

    – композиция функций f и g , т.е. сложная функция,

    составленная из функций f и g

    – замкнутый промежуток (отрезок, сегмент) с началом a

    – открытый промежуток, интервал

    – промежуток (любой из вышеперечисленных)

    2, , n , > – множество натуральных чисел

    – множество действительных чисел

    – множество положительных действительных чисел

    – множество неотрицательных действительных чисел

    – множество отрицательных действительных чисел

    – множество комплексных чисел

    – « n » – мерное арифметическое пространство

    – « k » принимает все целые значения от 1 до n .

    Основой математической подготовки инженера является общий курс высшей математики. Опыт показывает, что успешному усвоению этого курса, помимо работы с учебниками и конспектами лекций, способствует использование различного рода вспомогательных изданий – справочников и методических справочных пособий, отражающих объем и структуру материала, изучаемого в конкретном вузе.

    Настоящее учебное пособие состоит из трех частей. Предлагаемая читателю первая часть пособия по курсу математического анализа разработана на кафедре инженерной математики НГТУ и включает в себя главы с первой по восьмую. Она содержит около 600 задач по разделам: предел и непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной действительной переменной, их приложения к задачам геометрии и механики.

    Пособие имеет следующую структуру: каждый параграф содержит формулировки основных определений и теорем; задачи и упражнения с подробными решениями; набор задач и упражнений для самостоятельного решения с ответами. Такая структура книги делает ее удобной для самостоятельного овладения предметом при минимальной помощи со стороны преподавателя. Начало разобранных задач обозначено символом , а завершение решения задач – символом . В некоторых случаях для наиболее употребительных определений и теорем дается вторая (краткая) их запись с помощью кванторов и логических символов. В конце каждой книги приведен список литературы, использованной авторами при подготовке материала и предлагаемой студентам для изучения.

    Настоящее пособие может быть использовано студентами всех факультетов НГТУ и других технических вузов, а также преподавателями при подготовке и проведении практических занятий.

    Приведенное количество задач не только удовлетворит потребности студентов в практическом закреплении знаний по соответствующему разделу курса, но и даст возможность преподавателю разнообразить выбор задач в зависимости от уровня подготовки студентов. Ряд предлагаемых задач и упражнений может быть использован преподавателем для проведения контрольных работ.

    Для наглядности часть задач иллюстрируется рисунками.

    Г Л А В А 1

    ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

    1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ

    1 . Понятие функции состоит из трех частей: 1) области определения D ; 2) множества T , содержащего область значений E ; 3) правила, которое для каждого элемента из области D задает единственный элемент из области T .

    2 . Для функций действительной переменной их области определения D и области значений E принадлежат множеству действительных чисел R . Если обозначить функцию символом f , а элементы D и E – символами x и y , то функция f по определенному правилу ставит в соответствие каждому элементу x D единственное значение y E , что записывается в виде

    По традиции x называют независимой переменной ( аргументом ), а y – зависимой переменной – функцией . Иногда функцию обо-

    значают тем же символом, что и значение, и пишут y = y ( x ).

    3 . Способы задания функций:1) аналитический (т.е. математической формулой, называемой аналитическим выражением и дающей возможность вычислить значение функции); 2) графический; 3) при помощи таблицы; 4) при помощи словесного описания.

    4 . Функция определена для x R , если значение f ( x ) конечное и вещественное. Множество значений x , для которых функция опре-

    делена, образует область определения ( область существования )

    D R . В простейших случаях D есть открытый промежуток (интервал) ( a ; b ): a x b , или полуоткрытые промежутки [ a ; b ): a x b , ( a ; b ]: a x b , или закрытый промежуток (отрезок, сегмент) [ a ; b ]: a x b , где a и b – некоторые числа или символы – и + (в последних случаях равенства исключаются). Если функция задана аналитически и об области определения ничего не сказано, то ее считают множеством всех чисел, при которых формула, задаю-

    1.1. Основные понятия, определения

    щая значение функции, имеет смысл, и называют естественной об-

    ластью определения функции D ( f ).

    5 . Множество всех значений, которые функция принимает на элементах своей области определения, есть область значений

    6 . Если считать, что x – некоторая точка М числовой оси, а соответствующее значение y = f ( x ) – точка M другой числовой оси, то функцию называют отображением . Тогда точка M – образ точки М , а точка М – прообраз точки M .

    7 . Сложная функция ( композиция фунций ) . Если функция y = f ( u ) отображает область определения E в область значений L , а функция u = g ( x ) отображает свою область определения D в область

    значений E 1 , при этом E 1 E , тогда сложная функция

    отображает D в L . Запишем иначе: если f : E L и

    источник

    «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам.
    Здесь помогают с учёбой без посредников

    Вы работаете с экспертами напрямую,
    не переплачивая посредникам, поэтому
    наши цены в 2-3 раза ниже

    Последние размещенные задания

    Контрольная, Английский язык

    2 теоретич вопр, тест(15 вопр), 2 задачи.

    Контрольная, инвестиционный менеджмент

    Дать полный сравнительный анализ

    Решение задач, гражданский процесс

    Февральская революция 1917 : случайность или закономерность

    Аминовая очистка(расчет абсорбера)

    Курсовая, Процессы и аппараты

    поля: верхнее – 20 мм, нижнее – 20 мм, левое – 30 мм, правое – 15 мм;

    Все подробно, задачи решить двумя способами(цепными подстановками и.

    Решение задач, Теория экономического анализа

    Новые игроки на финансовом рынке

    Пройти онлайн тест Введение в проектную деятельность

    Тест дистанционно, Введение в проектную деятельность

    Выполнить контрольную работу

    Контрольная, Профессиональные приемы работ с MS Excel

    Объяснить работу транзисторного ключа с диодом Шоттки

    английские времена 20 вопросов нужно сделать за 30.

    Тест дистанционно, Английский язык

    Объяснить работу транзисторного ключа с диодом Шоттки

    Анализ технико экономических показателей

    Курсовая, Анализ технико экономических показателей

    обратились к нам
    за последний год

    работают с нашим сервисом

    выполнено и сдано
    за прошедший год

    Сайт бесплатно разошлёт задание экспертам.
    А эксперты предложат цены. Это удобнее, чем
    искать кого-то в Интернете

    Вы работаете с экспертами напрямую, поэтому цены
    ниже, чем в агентствах

    Доработки и консультации
    – бесплатны

    Доработки и консультации в рамках задания бесплатны
    и выполняются в максимально короткие сроки

    Если эксперт не справится — мы вернем 100% стоимости

    Мы проводим строгий отбор экспертов. На сайте
    работают только специалисты с высшим образованием,
    имеющие в дипломе оценки «хорошо» и «отлично»

    Вы всегда можете к нам обратиться — и в выходные,
    и в праздники

    Эксперт получил деньги за заказ, а работу не выполнил?
    Только не у нас!

    Деньги хранятся на вашем балансе во время работы
    над заданием и гарантийного срока

    В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем
    возврат полной уплаченой суммы

    С вами будут работать лучшие эксперты.
    Они знают и понимают, что работу доводят
    до конца

    Помог студентам: 1842 Сдано работ: 1842

    Помог студентам: 2838 Сдано работ: 2838

    Помог студентам: 749 Сдано работ: 749

    Помог студентам: 1270 Сдано работ: 1270

    Цена, как известно, зависит от объёма, сложности и срочности. Особенностью «Всё сдал!» является то, что все заказчики работают со экспертами напрямую (без посредников). Поэтому цены в 2-3 раза ниже.

    Специалистам под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный, требующий существенных временных затрат. Для каждой работы определяются оптимальные сроки. Например, помощь с курсовой работой – 5-7 дней. Сообщите нам ваши сроки, и мы выполним работу не позднее указанной даты. P.S.: наши эксперты всегда стараются выполнить работу раньше срока.

    3. Выполняете ли вы срочные заказы?

    Да, у нас большой опыт выполнения срочных заказов.

    4. Если потребуется доработка или дополнительная консультация, это бесплатно?

    Да, доработки и консультации в рамках заказа бесплатны, и выполняются в максимально короткие сроки.

    5. Я разместил заказ. Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

    Да, конечно — оценка стоимости бесплатна и ни к чему вас не обязывает.

    6. Каким способом можно произвести оплату?

    Работу можно оплатить множеством способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, в терминале, в салонах Евросеть / Связной, через Сбербанк и т.д.

    7. Предоставляете ли вы гарантии на услуги?

    На все виды услуг мы даем гарантию. Если эксперт не справится — мы вернём 100% суммы.

    8. Какой у вас режим работы?

    Мы принимаем заявки 7 дней в неделю, 24 часа в сутки.

    Отправьте заявку и получите ответ с предложениями
    по цене и срокам в течение часа.

    Пожалуй, наибольшие трудности у студентов ВУЗов вызывает мат анализ: решение задач на интегральные и дифференциальные исчисления.

    Безусловно, приступать к решению задач матанализа нужно, уже имея четкое представление не только о производных, теории поля и дифференциальном исчислении, но и хорошо ориентируясь в принципах вычисления математической физики и функциональном анализе.

    Естественно, многим первокурсникам (и не только) решение задач по матану представляется делом трудоемким и, в принципе, непредсказуемым — мало кто уверен в том, что затраченные усилия принесут должный результат и решения задач по мат анализу окажутся верными.

    Студенческий портал «ВсёСдал!» поможет справиться с решением задач по математическому анализу, от вас нужно всего лишь оставить заявку с указанием дисциплины и задания (матанализ, решение задач).

    Специальная программа сама разошлет запрос всем исполнителям данного профиля и уже через короткое время вам начнут поступать предложения от специалистов, готовых оперативно взяться за решение задач по мат анализу, выполнение контрольных работ, написание курсовых.

    Кому-то может не даваться определенный раздел дисциплины. К примеру, решение задач по математическому анализу, связанное с вычислением кратных, несобственных, неопределенных и определенных интегралов или преобразованием Лапласа, особых трудностей не вызывает, а условно простое решение задач на пределы кажется непостижимым.

    Вам необязательно заказывать выполнение абсолютно всех разделов работы. Вы с одинаковым успехом можете как заказать дипломную работу «под ключ», так и выполнение одного или двух заданий из методички.

    После того, как вы выбрали исполнителя, в прямом общении сами определите, в какой именно части матанализа вам необходимо решение задач специалистом, а где справитесь самостоятельно. На сайте «ВсёСдал!» вы легко закажете:

    · решение задач на условный экстремум

    · решение задач на пределы и непрерывность

    · решение задач на производные

    · нахождение определенных и неопределенных интегралов

    · решение дифференциальных уравнений.

    Конечно, решение задач по матану этим списком не ограничивается. Укажите в заявке любое задание по этой дисциплине (теории рядов, поля, цилиндрические координаты, раскрытие неопределенности и т.д.) или любой другой — начертательная геометрия решение задач онлайн, лабораторная работа по химии — и вы всегда получите быструю и квалифицированную помощь специалиста-практика.

    В случае, когда грамотно выполненной письменной работы для хорошей оценки недостаточно, и вам предстоит доказать свои знания непосредственно перед преподавателем, актуальной становится услуга онлайн решение задач по математическому анализу.

    Мы поможем написать контрольную работу в аудитории или сдать экзамен по математическому анализу. Решение задач онлайн выполняется сразу же, как только вы сфотографируете на телефон задание и отправите его исполнителю.

    Ход решения исполнитель будет высылать небольшими частями, что позволит вам корректно все переписать. На протяжении всей контрольной или экзамена исполнитель находится с вами на связи и готов оперативно ответить на любой возникший вопрос.

    Если математический анализ вызывает у вас трудности, не является профильным предметом и вряд ли пригодится в дальнейшей профессиональной деятельности, освободите свое время для занятий более интересных и важных.

    источник

    • Пример 1. Сходящаяся последовательность
    • Пример 2. Бесконечно малая последовательность
    • Пример 3. Бесконечно большая последовательность
    • Пример 4. Исследование процесса сходимости последовательности
    • Пример 1. Простейшие методы вычисления пределов последовательностей
    • Пример 2. Методы раскрытия неопределенностей
    • Пример 1. Доказательство существования предела функции в точке
    • Пример 2. Доказательство того, что функция бесконечно большая
    • Пример 3. Функция, не имеющая предела в точке
    • Пример 1. Бесконечно малые функции
    • Пример 2. Сравнение бесконечно малых функций
    • Пример 3. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций
    • Пример 1. Простейшие методы вычисления пределов
    • Пример 2. Простейшие методы раскрытия неопределенностей
    • Пример 3. Раскрытие неопределенностей с помощью эквивалентных бесконечно малых
    • Пример 4. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
    • Пример 5. Раскрытие неопределенностей с помощью формулы Тейлора
    • Пример 1. Доказательство непрерывности функции в точке
    • Пример 2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
    • Пример 3. Отделение корней уравнения f(x)=0 с непрерывной левой частью
    • Пример 4. Геометрический смысл формулы Лагранжа
    • Пример 1. Доказательство непрерывности функции в точке
    • Пример 2. Вычисление односторонних пределов
    • Пример 3. Определение типа точки разрыва
    • Пример 1. Вычисление производных
    • Пример 2. Вычисление односторонних производных
    • Пример 3. Построение секущей графика функции
    • Пример 4. Построение касательной и нормали к графику функции
    • Пример 1. Вычисление производных сложных функций
    • Пример 2. Вычисление производных обратной функции
    • Пример 1. Вычисление приращения функции в точке
    • Пример 2. Вычисление дифференциала функции по определению
    • Пример 3. Вычисление дифференциала функции
    • Пример 1. Вычисление производных высших порядков
    • Пример 2. Вычисление дифференциалов высших порядков
    • Пример 1. Отыскание асимптот графика функции
    • Пример 2. Нахождение интервалов монотонности и экстремумов
    • Пример 3. Нахождение интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба
    • Пример 1. Построение кривой в декартовых координатах
    • Пример 2. Построение кривой, заданной параметрически
    • Пример 3. Построение кривой в полярных координатах
    • Пример 1. Оценка остаточного члена
    • Пример 2. Разложение функции в окрестности нуля
    • Пример 3. Разложение функции в окрестности произвольной точки
    • Пример 1. Простейшие методы интегрирования
    • Пример 2. Замена переменной в неопределенном интеграле
    • Пример 3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
    • Пример 1. Интегрирование рациональных функций
    • Пример 2. Интегрирование тригонометрических функций
    • Пример 3. Интегрирование иррациональных функций
    • Пример 1. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы
    • Пример 2. Вычисление определенного интеграла
    • Пример 3. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
    • Пример 1. Вычисление площадей и длин дуг в декартовых координатах
    • Пример 2. Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых
    • Пример 3. Вычисление площадей и длин дуг в полярных координатах
    • Пример 1. Исследование функции, заданной интегралом
    • Пример 2. Вычисление несобственного интеграла с бесконечным пределом
    • Пример 3. Вычисление несобственного интеграла от неограниченной функции
    • Пример 4. Исследование несобственных интегралов на сходимость
    • Пример 1. Вычисление частичной суммы числового ряда.
    • Пример 2. Исследование сходящегося и расходящегося рядов.
    • Пример 3. Простейшие методы вычисления суммы ряда.
    • Пример 1. Исследование сходимости ряда по первой теореме сравнения.
    • Пример 2. Исследование сходимости ряда по второй теореме сравнения.
    • Пример 3. Исследование сходимости ряда по признаку Даламбера.
    • Пример 4. Исследование сходимости ряда по признаку Коши.
    • Пример 1. Исследование знакопеременного ряда на абсолютную сходимость.
    • Пример 2. Исследование сходимости знакочередующихся рядов.
    • Пример 1. Нахождение области сходимости функционального ряда.
    • Пример 2. Изучение сходимости функционального ряда.
    • Пример 3. Исследование функционального ряда на равномерную сходимость.
    • Пример 1. Нахождение области сходимости функционального ряда.
    • Пример 2. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.
    • Пример 3. Разложение в ряд Тейлора с использованием стандартных разложений.
    • Пример 1. Разложение в ряд Фурье и исследование частичных сумм.
    • Пример 2. Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке.
    • Пример 1. Исследование явления Гиббса.
    • Пример 2. Нахождение тригонометрического многочлена наилучшего приближения.
    • Пример 3. Исследование сходимости ряда Фурье в зависимости от гладкости функций.
    • Пример 1. Построение графика функци двух переменных.
    • Пример 2. Построение линий и поверхностей уровня.
    • Пример 3. Нахождение экстремумов с помощью линий уровня.
    • Пример 1. Вычисление частных производных.
    • Пример 2. Вычисление производных по направлению.
    • Пример 3. Вычисление градиента функции.
    • Пример 4. Вычисление полного дифференциала.
    • Пример 5. Вычисление производных высших порядков.
    • Пример 1. Построение графиков неявных функций одной переменной.
    • Пример 2. Вычисление производных функций, заданных неявно.
    • Пример 1. Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности произвольной точки.
    • Пример 2. Сравнение точности аппроксимации функции многочленм Тейлора разного порядка.
    • Пример 1. Исследование на экстремум по определению.
    • Пример 2. Исследование на экстремум функции двух переменных.
    • Пример 1. Нахождение условного экстремума функции двух и трех переменных.
    • Пример 2. Нахождение условного экстремума функции двух переменных методом Лагранжа.
    • Пример 3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.
    • Пример 1. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области.
    • Пример 2. Вычисление двойного интеграла по области, ограниченной сверху и снизу гладкими кривыми.
    • Пример 3. Вычисление двойного интеграла по произвольной области.
    • Пример 4. Вычисление тройного интеграла по прямоугольному параллелепипеду.
    • Пример 5. Вычисление тройного интеграла по произвольной области.
    • Пример 1. Вычисление якобиана для полярных и обобщенных полярных координат.
    • Пример 2. Вычисление якобиана для цилиндрических и сферических координат.
    • Пример 3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
    • Пример 1. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
    • Пример 2. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
    • Пример 1. Вычисление площади поверхности.
    • Пример 2. Вычисление поверхностного интеграла по площади поверхности.
    • Пример 1. Вычисление длины дуги кривой.
    • Пример 2. Вычисление криволинейного интеграла по кривой, заданной в параметрической форме.
    • Пример 3. Вычисление криволинейного интеграла по кривой, заданной в декартовых координатах.
    • Пример 4. Вычисление криволинейного интеграла по кривой, заданной в полярных координатах.
    • Пример 1. Исследование скалярного поля с помощью линий уровня.
    • Пример 2. Вычисление производной по направлению скалярного поля.
    • Пример 3. Вычисление градиента скалярного поля.
    • Пример 1. Исследование плоского векторного поля.
    • Пример 2. Вычисление и построение векторных линий.
    • Пример 1. Ориентированные поверхности.
    • Пример 2. Вычисление потока векторного поля.
    • Пример 1. Непосредственное вычисление потока через замкнутую поверхность.
    • Пример 2. Вычисление потока через замкнутую поверхность по формуле Остроградского.
    • Пример 3. Вычисление дивергенции векторного поля.
    • Пример 1. Вычисление криволинейного интеграла в векторном поле.
    • Пример 2. Вычисление циркуляции векторного поля.
    • Пример 1. Вычисление циркуляции по формуле Стокса.
    • Пример 2. Вычисление ротора векторного поля.
    • Пример 1. Исследование потенциального поля.
    • Пример 2. Проверка потенциальности поля.
    • Пример 3. Вычисление потенциала векторного поля.

    Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

    источник

    На сегодняшний день, современный студент во время своего обучения в высшем учебном заведении, сталкивается с необходимостью изучать дисциплины, которые не относятся напрямую к основной профессии.

    Причем такие предметы, как например, математический анализ, являются чрезвычайно сложными. Они требуют огромного количества времени, необходимого для решения самых простейших задач по этому предмету.

    Задачи, которые не удается решить самостоятельно, в силу недостатка знаний, можно решить с помощью посторонних.

    Для того чтобы решить задачу по такой дисциплине как математический анализ можно обратиться за помощью. К примеру, это могут быть:

    • сокурсники, которые изучают предмет вместе с вами;
    • преподаватель – обладающий колоссальными знаниями в этом предмете;
    • другие специалисты, способную выполнить такую работу за отдельную плату, обычно это обходится недорого.

    Конечно же, у каждого из этих вариантов есть свои плюсы и минусы. Например, сокурсники, как правило, не отказываются от оказания помощи. Но качество работ, выполненных ими, может быть не выше, чем, если бы вы выполняли работу самостоятельно.

    В то же время, обращение к преподавателю, который и преподает у вас математический анализ, может выставить вас далеко не в лучшем свете – в частности покажет ваши пробелы в знаниях, и тогда преподаватель будет проверять законченную вами работу более придирчиво, что снижает вероятность получения хорошей оценки.

    Наконец, специалисты, цена за услуги которых весьма невысока за выполнение подобной работы, могут выполнить заказ в разном качестве. Поэтому к выбору исполнителя следует подходить внимательно.

    На сегодняшний день не стоит гнаться за самыми дешевыми исполнителями, как правило, они отличаются низким качеством. Поэтому давать заказы таким исполнителям не стоит. Еще один момент – не стоит обращаться к исполнителям, которые требуют за выполнение заказа полной оплаты или большого аванса. В этом случае существует шанс, что исполнитель, получив деньги, просто исчезнет – вы не получите выполненную работу, потеряете деньги и время, вам придется искать нового исполнителя и снова тратиться и т.д.

    Опять же, следует обращаться лишь к тем, кто уже обладает хорошей репутацией. В ином случае, вы рискуете обратиться к человеку, который не смыслит в вашем предмете – математическом анализе, а как следствие – напишет для вас работу, которая будет намного хуже, чем, если бы вы делали ее самостоятельно. Подобное решение станет не только ошибочным, помимо лишней траты денег, времени и сил, может еще и принести вам плохую оценку, в случае если вы решитесь сдать решенные таким образом задачи, своему преподавателю.

    Поэтому наилучшим способом будет обратиться в специализированную компанию, которая как раз и возьмется за написание самой сложной работы по математическому анализу. В частности, с легкостью вам помогут справиться с самыми сложными уравнениями с интегралами или же помочь с решением задач по правилам дифференцирования.

    Обращение в специализированную компанию обладает другим рядом преимуществ.

    Например, если работа по математическому анализу необходима срочно – можно обратиться к нашим специалистам, и они выполнят любые, самые сложные задачи, причем за самые короткие сроки.

    В то же время качество подобных работ, вне зависимости от срока сдачи, будет достаточно высоким. Любой преподаватель, любого учебного заведения, вне зависимости от своей принципиальности и предвзятости по достоинству оценит задачи, выполненные нашими специалистами, и вы сможете получить высокую оценку, что и являлось главной целью такой работы.

    источник

    Добрый день 🙂
    Я живу на этой планете почти 21 год, заканчиваю бакалавриат физтеха МИФИ и уже долгое время занимаюсь репетиторством.

    Продолжаю тему учебников для института. В этом посте рассмотрю более подробно математический анализ. 1 курс.

    Первый человек в матанализе, с которым должен познакомиться каждый первокурсник — Борис Павлович Демидович.
    Его задачник( https://drive.google.com/file/d/1UXYijBUL9cxwvGn-158HidKf3uc. ) был переведен на множество языков и используется повсеместно.
    В нем рассмотрены практический все задачи, которые вообще могут пригодиться учащимся — углубленное дифференцирование и интегрирование (в том числе и от нескольких переменных), подробное рассмотрение пределов и рядов. Одним словом — огромный торт применения матана. Четырьмя словами.
    Есть решебник. Насколько я понял, вконтакте есть и русская версия, но ее я никогда не трогал. В китайском подглядывали несколько сумасшедших задач — получалось все правильно.

    Вторые два имени — Лев Дмитриевич Кудрявцев ( https://alleng.org/d/math/math98.htm ) и товарищ Фихтенгольц( https://nashol.com/2017052594676/osnovi-matematicheskogo-ana. ). Их многотомники по теории математического анализа я считаю максимально полезными для изучения предмета, они примерно одинаково удобоваримы и понятны. Но лучше и лекции не прогуливать, конечно 🙂

    1) Введение в матанализ.
    Первое, с чем сталкиваются учащиеся — кванторы и различная новая символика. На этих символах построена вся база определений — кванторы упрощают записи слов. Здесь советы особо не требуются — для понимания предмета кванторы нужно знать, все знаки в задачах и определениях также нужно знать и понимать отличие между эпсилон-окрестностью и проколотой эпсилон-окрестностью. Вопрос простой, а незнание может привести к неприятностям.
    Наверняка у многих будут всякие разные коллоквиумы, поэтому с пониманием темы рекомендую не затягивать. Матан — наука, требующая перестройки ума, а на это необходимо время. Разбирайтесь!

    2) Пределы.
    «Что?! На ноль делить можно?»
    Пределы — тема вечная. Что к чему стремится и каким образом это достигается. Сначала студентов долго мурыжат огромными пределами, заставляя упрощать или сводить к Замечательным пределам, затем страдающему дают — О, чудо! — правило Лопиталя. И все, студент неуязвим.
    В этом разделе важно уметь видеть Замечательные пределы, которые часто не очевидны, чтобы не наделать ошибок, и очень важно знать и понимать определение предела по Коши — с помощью него дается понимание самого предела. Когда это определение станет понятно, то в голове сразу заиграет «елки-палки, да это же очевидно!».
    Вообще Коши — один из моих кумиров. Этот человек сделал столько для науки, сколько сейчас не делает весь мир.
    Помимо Демидовича я бы советовал порешать пределы у Бермана( https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&a. ). У него есть и интересные пределы, и интересные вопросы — без знаний уйти не удастся. В то же время у него есть очень простые задачки, чтобы влиться.
    И помните — на ноль делить можно только в пределе.

    3) Производная и дифференцирование.
    После пределов через появляется дифференцирование — одновременное изобретение Ньютона и Лейбница, которое они делили до конца жизни ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Спор_Ньютона_и_Лейбница_о_прио. ).
    Производная — это счастье. Например, многие интегралы берутся очень сложно или даже не берутся вообще — производную можно взять всегда, поэтому самое важное — быть очень аккуратным и учить таблицу производных. И решать, решать, решать, брать километровые производные, чтобы в будущем применять и не сомневаться (применять придется много).
    Если ничего не путаю, здесь же появится вишенка на торт дифференцирования — формула Тейлора. Эта вещь спасает жизнь, когда, казалось бы, проще умереть, чем решить. Используется довольно часто.
    Кстати, применять приближения Тейлора начинают еще с пределов, но там это сведено до сухой сути типа tgx

    x.
    Остаточный член — не игрушка. Не отбрасывайте!

    4) Интегрирование.
    Решить задачу с анизотропностью? Найти объем банана? Все возможно, если с вами интеграл!
    Интегрирование — вещь темная. Если сходу видно как можно взять интеграл — счастливый случай. В большинстве случаев придется крутить интеграл вокруг да около или искать иные методы, которых очень много.
    Что важно — перестроить голову после дифференцирования (на sin и cos особенно путаются) и учить таблицу и методы. Чем больше методов знает учащийся, тем ему проще (но это ни в коем случае не делает его умнее).

    Помню, на первом курсе писали контрольную по интегралам. Мне остался один, но я забыл к нему метод. Я крутил-вертел его полчаса на двух листах, но взял! Преподаватель тогда мне слегка занизил балл за это извращение, но это все равно была победа. Желаю всем своих собственных побед 🙂

    Здесь же появится великолепная теорема о среднем, которая спасет некоторых от интеграла Пуассона при решении физических задач (но не всех).
    В 3 и 4 пункте советую также книгу Фихтенгольца «Дифференциальное и интегральное счисление».

    Когда начнется выяснение сходимости, нужно быть таким же аккуратным, как и при вычислении предела. Чем больше признаков сходимости знает учащийся — тем ему проще в той или иной задаче. Но в особо высокие мотивы уходить тоже не надо.
    Все эти признаки будут рассказаны. Я хочу обратить внимание на признак Ермакова — он так и не был доказан, хотя вроде бы работает и в некоторых изощренных случаях вполне упрощает жизнь. Страждущему уму рекомендую обратить внимание.
    Из постоянно используемых методов рекомендую обратить внимание на признак Абеля — он очень красив, на мой взгляд.

    И не забывайте про константу интегрирования! 🙂

    Рискну посоветовать обратить внимание на сайты, где за Вас программа возьмет интеграл. Злоупотреблять не надо, но проверять себя можно. А если студент начнет осваивать великий Маткад — ууу.

    5) Ряды.
    В жизни практически любого ученого нельзя убежать от двух фамилий — Коши и Фурье. И именно ряды Фурье повсеместно встречаются.
    При изучении рядов очень пригодится повторение формулы по нахождению суммы бесконечно убывающего ряда.
    Ряды — вещь простая и приятная. Обратите внимание, для каждого ряда есть свой признак, не нужно смешивать (я про знакопеременные или знакопостоянные ряды, например).

    Плюс к задачнику Бермана смею порекомендовать также задачник Гюнтера — https://www.studmed.ru/gyunter-nm-kuzmin-ro-sbornik-zadach-p.
    У него есть и матан, и диффуры, и немножко ангема и даже кусочек физики. Абсолютно адекватный задачник без лишних изысков или чрезмерной простоты.

    Далее у кого-то начнется теория поля (градиент, ротор, дивергенция), у кого-то теория групп(гомоморфизм), но это уже совсем другая история 🙂

    В матане главное очень много решать, набивать руку, чтобы в дальнейшем выполнять большую часть операций на автомате, не тратя лишних сил. Для этого нужно взять сто интегралов, посчитать сто производных и доказать сходимость ста рядов. 🙂

    В конце хочется дать очень простой совет — разбирайтесь. Не отвечайте по принципу «потому что Танька так сказала» или «не знаю, у меня так записано». Каждая операция и каждый символ должен быть на своем месте и с конкретной целью. Иначе обучение пройдет мучительно и абсолютно бестолково.

    источник

    Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

    Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи:

    1. Понять, что такое предел.
    2. Научиться решать основные типы пределов.

    Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

    А сразу пример, чего бабушку лохматить….

    Любой предел состоит из трех частей:

    1) Всем известного значка предела .
    2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
    3) Функции под знаком предела, в данном случае .

    Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

    Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
    Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
    То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

    Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

    Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

    Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

    Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

    А что в это время происходит с функцией ?
    , , , …

    Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:

    Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.

    Еще один пример с бесконечностью:

    Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим на поведение функции:

    Вывод: при функция неограниченно возрастает:

    Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

    , , , , , , , , ,
    Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
    В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

    ! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

    Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

    Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

    1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

    2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.

    Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

    На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:

    Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

    Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

    Вычислить предел

    Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

    Как решать пределы данного типа?

    Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

    Старшая степень в числителе равна двум.

    Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

    Старшая степень знаменателя равна двум.

    Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

    Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.


    Разделим числитель и знаменатель на

    Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

    Что принципиально важно в оформлении решения?

    Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

    Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

    В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

    Для пометок лучше использовать простой карандаш.

    Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

    Найти предел
    Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

    Максимальная степень в числителе: 3
    Максимальная степень в знаменателе: 4
    Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
    Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
    Полное оформление задания может выглядеть так:

    Разделим числитель и знаменатель на

    Найти предел
    Максимальная степень «икса» в числителе: 2
    Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
    Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

    Разделим числитель и знаменатель на

    Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

    Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

    Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

    Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.

    Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

    Решить предел
    Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

    В данном случае получена так называемая неопределенность .

    Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

    Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

    Итак, решаем наш предел

    Разложим числитель и знаменатель на множители

    Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

    Сначала находим дискриминант:

    И квадратный корень из него: .

    В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

    ! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

    Далее находим корни:

    Таким образом:

    Всё. Числитель на множители разложен.

    Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

    Очевидно, что можно сократить на :

    Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

    Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

    Разложим числитель на множители.





    Вычислить предел

    Сначала «чистовой» вариант решения

    Разложим числитель и знаменатель на множители.

    Числитель:
    Знаменатель:



    ,

    Что важного в данном примере?
    Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

    Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
    Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

    Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

    ! Важно
    В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
    , то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

    Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

    Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

    Продолжаем рассматривать неопределенность вида

    Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

    Найти предел

    Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
    Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

    Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

    Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

    Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

    Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:
    И смотрим на наш предел:
    Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).

    Умножаем числитель на сопряженное выражение:

    Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

    Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :

    То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
    В известной степени, это искусственный прием.

    Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :

    Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

    Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

    Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:

    Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
    Примерно так:

    Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

    Найти предел

    Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

    Окончательное решение примера может выглядеть так:

    Разложим числитель на множители:





    Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

    Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. После освоения двух базовых уроков, рекомендую изучить статью Методы решения пределов, материалы которой позволят выйти на «твёрдую четвёрку»!

    (Переход на главную страницу)

    источник

Читайте также:  На какие инфекции сдают анализы