Меню Рубрики

Как провести анализ решаемых задач

Назначение этапа:

– понять в целом ситуацию, описанную в задаче;

– выделить условия и требования;

– назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними.

Анализ задачи всегда направлен на её требование, т.е. на вопрос текстовой задачи.

Приёмы анализа содержания задачи:

  1. задать специальные вопросы и ответить на них:

Ø можно ли сразу ответить на вопрос задачи?

Ø что требуется найти в задаче?

Ø что означают те или иные слова в тексте?

Ø что в задаче неизвестно?

«По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за всё это время собака?»

  1. перефразировка текста задачи:

замена данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим.

Это достигается в результате

– отбрасывания несущественной, излишней информации;

– замены описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замены некоторых терминов описанием содержания соответствующих понятий;

– преобразования текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения.

Особенно эффективно использование данного приёма в сочетании с разбиением текста задачи на смысловые части.

Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций.

Переформулируем рассмотренную задачу:

Первая часть: «скорость одного мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч»

Вторая часть: «расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км.»

Третья часть: «время движения мальчиков – это время, в течение которого второй мальчик догонит первого, т.е. в течение которого второй мальчик пройдёт на 2 км больше, чем первый»

Четвёртая часть: «скорость, с которой бежит собака, 8 км/ч. Время движения собаки равно времени движения мальчиков до встречи»

Требование: «определить расстояние, которое пробежала собака»

  1. построение вспомогательной модели задачи:
объекты скорость время расстояние
1-й м. 2-й м. собака 4 км/ч 5 км/ч 8 км/ч ? ч. ? ч. одинаковое ? ч. ? км. ? км., на 2 км. больше 1-го м. ? км.

Ø схематический чертёж

8 км/ч

5 км/ч 4 км/ч

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1)все ли объекты задачи показаны на модели;

2)все ли отношения между объектами отражены;

3)все ли числовые данные приведены;

4)есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое?

3.4. Приёмы поиска плана решения задачи и его выполнение.

II этап: Поиск и составление плана решения задачи

Назначение этапа:

– установить связь между данными и исходными объектами;

– наметить последовательность действий.

Приёмы поиска плана решения задачи:

  1. разбор задачи по текступроводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от её вопросов.

Ø при разборе задачи от данных к вопросу нужно выделить в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при выполнении первого этапа решения) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Считая это неизвестное данным, надо вновь выделить два взаимосвязанных данных, определить неизвестное, которое может быть найдено по ним, а также соответствующее арифметическое действие и т.д. пока не будет выяснено действие, выполнение которого приводит к получению искомого.

Проведём такой разбор по тексту задачи:

«На поезде, скорость которого 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем он проехал. Каков весь путь туриста?»

1) известно 6 ч. по 56 км/ч
можно узнать расстояние, которое поехал турист за 6 ч. 6 · 56 = 336 (км)
2) известно 336 км. в 4 раза меньше оставшегося
можно узнать расстояние, которое осталось проехать 336 · 4 = 1344 (км)
3) известно 336 км. и 1344 км.
можно узнать весь путь 336 + 1344 = 1680 (км)

Ø при разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе текста задачи), что достаточно узнать для ответа на вопрос задачи. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т.д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.

  1. разбор задачи по вспомогательной моделиможет быть проведён по-разному, – в результате получаются различные арифметические способы её решения.

шапка

источник

Классификация математических моделей

Важным этапом изучения явлений, предметов, процессов явля­ется их систематизация, которая обычно завершается класси­фикацией по ряду признаков, а поскольку признаков может быть достаточно много, то и выполненные классификации могут различаться между собой. Любая классификация должна преследовать достижение поставленных целей. Выбор цели определяет набор тех признаков, по которым она будет прово­диться.

Исходные данные Искомые переменные Зави­симости Классы задач
Детермини­рованные Непрерыв­ные Линейные Линейного программи­рования
Детермини­рованные Целочис­ленные Линейные Целочислен­ного програм­мирования
Детермини­рованные Непрерыв­ные, цело­численные Нелинейные Нелинейного программи­рования
Случайные Непрерыв­ные Линейные Стохастичес­кого програм­мирования

Основные этапы работ при принятии оптимальных решений следующие:

Требования, которым должна удовлетворять задача:

– должно существовать, как минимум, два варианта ее ре­шения; ведь если вариантов решения нет, значит, и выбирать не из чего;

– надо четко знать, в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим. Если же мы четко не знаем, чего хотим, то математические методы, реализованные даже на самом лучшем компьютере, помочь не смогут.

2. Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой.

Содержательная постановка задачи является переходным мостиком от желания решить задачу к ее формулировке в такой форме, на основании которой было бы ясно, каковы элементы математической модели:

– исходные данные величины — детерминированные или случайные;

– искомые переменные — непрерывные или дискретные;

– пределы, в которых могут находиться значения искомых величин в оптимальном решении;

– зависимости между переменными — линейные или нели­нейные;

– критерии, по которым следует находить оптимальное решение.

3. Составление математической модели.

7. Принятие оптимального решения — конечный этап работы. Надо четко себе представлять, что решение принимает не компьютер, не Excel, а тот человек, который должен отвечать за результаты принятого решения.

8. Графическое представление результата решения и анализа — мощный фактор наглядности информации, необходимой для принятия решения.

В современной медицине никто не будет устанавливать диаг­ноз и выписывать лекарства, т. е. принимать решение, без ре­зультатов анализа. К сожалению, при принятии решений в экономике и технике так бывает далеко не всегда.

Мощным средством анализа является математическая модель. Не стоит покупать ружье, чтобы сделать только один выстрел. Нецелесообразно тратить время и средства на составление ма­тематической модели, чтобы по ней выполнить один единст­венный расчет.

Математическая модель, как мы уже говорили, является пре­красным средством получения ответов на широкий круг самых разнообразных вопросов, возникающих при принятии опти­мальных решений.

— При условных исходных данных

2. После получения оптимального решения

Параметрическим будем называть такой анализ, который заключается в решении задачи при различных значениях некоторого параметра. Примеры параметрического анализа приводятся в книге неоднократно.

Под структурным анализом будем понимать решение зада­чи оптимизации при различной структуре ограничений.

Многокритериальный анализ — это решение задачи по раз­ным целевым функциям.

Если исходные данные, используемые при решении зада­чи, зависят от соблюдения дополнительных условий, то такой анализ называется анализом при условных исходных данных.

Во вторую группу задач анализа — решения по заказу — входят задачи, целью которых является решение задачи оптимизации при заданных значениях: переменных, левых частей ограниче­ний, целевой функции.

Кроме анализа, выполняемого на этапе постановки задачи, мощным средством, помогающим принять решение, является анализ полученного оптимального решения.

Рис. 12. Схема процесса выработки решения с применением ЭВМ

41 Определение понятий целей и задачи см. в гл. 2 и 8.

42 Это набор характеристик для решения практических, но не исследовательских проблем.

43 Критерий — это основной признак, по которому одно решение выбирается из многих возможных

Дата добавления: 2013-12-12 ; Просмотров: 1335 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

источник

При изучении курса элементарной геометрии большое значение, бесспорно, занимают задачи на построение. Трудно переоценить роль задач на построение в формировании математического мышления школьников. Однако констатирующее исследование [1-3] показало, что задачи на построение вызывают значительные трудности у школьников и студентов физико-математического факультета. Наибольшую трудность вызывают этап анализа и этап исследования в задачах такого вида. На наш взгляд, это связано с тем, что, во-первых, задачи на построение часто являются задачами повышенной трудности, так как требуют для своего решения введения дополнительных (вспомогательных) построений; во-вторых, с недостатком внимания как школьных учителей математики, так и преподавателей геометрии к задачам такого рода; в-третьих, с недостаточной разработанностью методики решения таких задач.

Некоторые вопросы методологии геометрических построений на плоскости циркулем и линейкой рассмотрены в трудах А.А. Адлера, И.И. Александрова, Г.Г. Масловой, Г.М. Олифера, Д.И. Перепелкина, Г.П. Сенникова, А.С. Смогоржевского, Н.Ф. Четверухина, С. Шатуновского, Г.Х. Воистиновой. Один из аспектов обучения решению задач на построение, в частности задач на построение практического содержания, рассмотрен нами в работах [2; 3].

Вопросы же методики обучения проведению этапа анализа и исследования в задачах на построение, введения вспомогательных линий при решении задач такого вида и многие другие вопросы, связанные с обучением решению задач на построение, до сих пор в научно-методической литературе слабо разработаны.

Таким образом, проблема обучения школьников и будущих учителей математики решению задач на построение является важной и не достаточно разработанной.

В данной статье рассматривается сущность задач на построение и методика обучения процессу поиска их решения на этапе анализа с помощью системы наводящих вопросов и разработанного правила-ориентира.

Как и в традиционной методике, задачей на построение будем считать «математическое предложение, указывающее, по каким данным, какими средствами (инструментами) и какой геометрический образ (точка, прямая, окружность, треугольник, совокупность точек и так далее) требуется найти (начертить, построить на плоскости, наметить на местности и так далее) так, чтобы этот образ удовлетворял определенным условиям» [1, с. 58].

Итак, сущность задач на построение не исчерпывается указанием данных и формулировкой того, что требуется найти. Важное значение имеет также указание на те средства, с помощью которых задача должна быть решена, на те инструменты, при помощи которых построение должно быть выполнено. В зависимости от того, какие инструменты имеются в виду, смысл одной и той же задачи коренным образом меняется.

Итак, решение задач на построение сводится к выполнению некоторых операций с помощью чертежных инструментов. Решить задачу на построение – по заданным в условии задачи элементам (точкам, прямым, окружностям и так далее) найти искомые элементы, удовлетворяющие сформулированным в условии задачи требованиям. Обычно эти требования указывают отношения, в которых должны находиться искомые элементы друг с другом или с заданными элементами.

В теории геометрических построений (в так называемой конструктивной геометрии) «инструментами» построений являются специально сформулированные (обычно в виде аксиом) соглашения, условия «конструктивности». Если для некоторого множества точек эти условия выполнены, то точки множества считаются построенными («конструктивными»). Таким образом, средства построения в строгих геометрических построениях – абстракции, а сами построения – логические операции, ссылки на те или иные аксиомы и их следствия. Можно ввести сколько угодно и каких угодно абстрактных инструментов, стоит только сформулировать соответствующую систему аксиом. Теория геометрических построений описана в работах А. Адлера, А.С. Смогоржевского, Н.Ф. Четверухина, С. Шатуновского.

Следует заметить, что не всякая задача, решенная математически, является задачей, решенной «конструктивно». Задача установления, какие элементы можно отнести к классу «конструктивных», решается с помощью аксиом инструментов.

Таким образом, решить задачу на построение с помощью тех или иных инструментов – значит свести ее к конечному числу «элементарных построений». Перечень этих элементарных построений и характеризует тот или иной комплекс инструментов.

С принципиальной точки зрения решение любой задачи на построение с помощью инструментов означает сведение ее к конечному числу элементарных операций. Однако такое сведение практически неудобно, так как делает решение более сложных задач громоздким. Чаще задачи сводятся не к самим элементарным построениям, а к типичным, часто встречающимся, задачам на построение. Эти задачи называют основными задачами на построение.

Классическая схема решения задач на построение состоит из четырех пунктов, которые принято называть этапами решения задачи на построение: анализ; построение; доказательство; исследование.

Анализ задачи – это отыскание способа ее решения, то есть составление плана: какие и в какой последовательности необходимо выполнить известные уже построения, чтобы построить искомую фигуру. Но анализ должен преследовать и вторую цель – установить полную общность найденного решения. Ошибка в анализе может приводить к потере части решения. Рассуждения в анализе проводятся по-разному, в зависимости от применяемого метода решения, но этот этап всегда должен заканчиваться формулированием плана построения.

Как уже было отмечено, цель анализа – найти искомый геометрический образ (фигуру, которую необходимо построить), используя данные в условии элементы. При этом геометрический образ может быть четырех видов: точка, прямая (отрезок), окружность, многоугольник (угол). Для построения геометрического образа достаточно построить его «узловые точки»: для прямой – любые две точки прямой; для окружности – центр и любые две точки, определяющие величину радиуса; для многоугольника – вершины многоугольника (вершина угла и любые две точки, лежащие на сторонах многоугольника) и т.п.

Итак, этап анализа является наиважнейшим этапом процесса решения задач на построение. Причем полноценный анализ должен удовлетворять нескольким требованиям:

Читайте также:  Как сделать выводы из анализа

· он должен, безусловно, позволить решить задачу, то есть должна существовать практическая возможность осуществления тех построений, которые указаны в анализе, хотя бы при некоторых соотношениях между данными в условии элементами;

· он должен быть наипростейшим из возможных способов решения данной задачи (с учетом, конечно, средств построения и запаса теоретических знаний у решающего задачу);

· он должен удовлетворять требованиям полноты, то есть должен обеспечивать все решения данной задачи, которые она вообще может иметь.

Бесспорно, что, решая задачу, уже на этапе анализа необходимо всемерно стремиться к тому, чтобы установить не какой-нибудь способ решения задачи, а наиболее полноценный, то есть удовлетворяющий трем требованиям. Однако удовлетворить этим требованиям уже на этапе анализа бывает часто трудно.

Рассмотрим методику решения задач на построение, разработанную автором.

Итак, создав на чертеже-наброске треугольники, остается выбрать из них подходящий вспомогательный треугольник и установить с его помощью способ решения задачи.

В качестве вспомогательного треугольника необходимо выбрать тот из числа созданных на чертеже-наброске треугольников, который: во-первых, содержит наибольшее число «узловых точек» искомого геометрического образа, а, во-вторых, способ построения которого наиболее простой. Соблюдая эти требования, можно будет установить наиболее простой способ решения данной задачи методом вспомогательного треугольника.

Как только выбор вспомогательного треугольника произведен, то установление с его помощью способа решения задачи обычно никаких затруднений не вызывает. Остальные точки искомого геометрического образа можно, как правило, найти, используя метод геометрических мест и данные по условию элементы.

В силу всего вышесказанного система наводящих вопросов, направляющая деятельность учащихся и студентов при проведении анализа задачи, может быть следующей.

1. Достаточно ли для проведения анализа первоначального чертежа-наброска?

2. Какому критерию допустимости геометрических преобразований соответствуют элементы, данные в условии (критерии рассмотрены в работе [1])?

3. Какой метод (методы) преобразования фигуры в силу этого критерия можно выбрать?

4. Каким образом теперь дополнить чертеж-набросок, учитывая выбранный метод преобразования?

5. Какие треугольники на чертеже-наброске образовались?

6. Какой из этих треугольников выбрать в качестве вспомогательного для решения данной задачи?

7. Как построить этот вспомогательный треугольник (вспомнить основную задачу)?

8. Сколько «узловых точек» искомой фигуры будет определено построением вспомогательного треугольника?

9. Какие «узловые точки» искомой фигуры остались неопределенными?

10. Какие элементы из числа данных в условии задачи не потребовались для построения вспомогательного треугольника?

11. Как построить остальные «узловые точки» искомой фигуры, предполагая вспомогательный треугольник построенным?

12. Все ли «узловые точки» теперь определены?

Следует отметить, что в данной статье автор приводит только обобщенную систему наводящих вопросов и обобщенное правило-ориентир. Система наводящих вопросов и правило-ориентир для каждого из классов задач на построение (основные задачи, простые задачи на построение, сложные задачи на построение, не требующие введения дополнительных линий, сложные задачи на построение, требующие введения дополнительных линий) описаны в работе [1].

Полученная система наводящих вопросов приводит к обобщенному правилу-ориентиру.

Чтобы решить задачу на построение, необходимо:

1. Выполнить чертеж-набросок по условию задачи в предположении, что задача решена и искомая фигура построена (используя правила построения чертежа-наброска).

2. Установить, какие «узловые точки» необходимо «знать» для построения искомой фигуры (для отрезка достаточно знать два его конца, для прямой — любые две точки этой прямой, для многоугольника – все вершины этого многоугольника, для окружности — центр и любые две точки, определяющие величину радиуса этой окружности).

3. Выяснить, все ли элементы, данные в условии, изображены на чертеже-наброске. Если какие-либо элементы изображены неявно, задача требует для своего решения введения дополнительных построений; в этом случае перейти к пункту 8.

4. Найти на чертеже-наброске все элементы: точки, углы, отрезки и тому подобное, которые не даны непосредственно на чертеже-наброске, но легко определяются, используя данные в условии элементы и соотношения, связывающие эти данные (при этом полезно названия элементов сопровождать их различными определениями и выявлением их существенных свойств).

5. Найти такую часть искомой фигуры на чертеже-наброске (точка, угол, отрезок, дуга, треугольник), которая:

а) включает в себя «узловые точки» искомой фигуры;

б) может быть построена по известным элементам;

в) дает возможность построить искомую фигуру (ее «узловые точки»).

Целесообразнее всего в качестве такой части выбрать, если он присутствует на чертеже-наброске, треугольник, у которого хотя бы одна вершина совпадает с «узловыми точками» искомой фигуры.

6. Выяснить, какие «узловые точки» искомой фигуры остались еще неопределенными, и как они могут быть построены, выясняя их положение по свойствам, вытекающим из связей с известными элементами.

Для отыскания каждой точки можно использовать метод геометрических мест. Суть его такова: найти две линии, на пересечении которых и лежит данная точка.

7. Если положение остальных «узловых точек» не определяется, выяснить, используя критерий, достаточно ли для проведения анализа чертежа-наброска.

8. Необходимо ввести дополнительные линии, если данных на чертеже-наброске не достаточно:

а) не все элементы, данные в условии, изображены на чертеже-наброске явно;

б) нет построенных треугольников на чертеже-наброске.

9. Определить вид задания элементов в условии задачи и выбрать, используя критерии допустимости геометрических преобразований, необходимый метод (методы) геометрического преобразования фигур.

10. Дополнить чертеж-набросок, используя выбранный метод (методы) преобразования фигур, и проверить, полезна ли построенная дополнительная линия (линии) для решения, путем применения пунктов 4-6.

11. Выбрать вспомогательный треугольник из числа всех образовавшихся после преобразования чертежа-наброска строимых треугольников. В качестве вспомогательного треугольника необходимо выбрать такой треугольник, у которого:

а) наибольшее число вершин совпадает с «узловыми точками» искомой фигуры;

б) способ построения которого самый простой.

Рассмотрим решение задачи.

Задача 1. Построить прямоугольный треугольник по его гипотенузе и сумме катетов.

источник

«Все наше достоинство заключено в мысли. Не пространство и не время, которых мы не можем заполнить, возвышают нас, а именно она, наша мысль. Будем же учиться хорошо мыслить» (Блез Паскаль).

Когда голодный и оборванный человек попросил рыбака накормить его, рыбак мог бы накормить, но в этом случае он бы утолил голод человека один раз. Рыбак взял человека с собой на рыбалку и научил быть сытым всю жизнь.

В обучении умению решать задачи у нас происходит обратное. Наиболее распространённый метод обучения решению задач основан на принципе «делай как я». Исторически сложилась такая методика, когда учитель демонстрирует на примерах способы решения так называемых типовых задач, а учащиеся по образцу решают аналогичные. Все обучение направлено на выработку практических навыков выполнения типовых видов задач и упражнений. Происходит простое натаскивание, как рыбак накормил бы голодного человека один раз.

Если выпускник школы скоро забудет способы решения многочисленных видов математических, физических, химических и иных школьных задач, то это не очень большая беда. Но если у него не выработано общего разумного подхода к любой житейской, технической или научной задаче, если он не овладел способностью к правильному рациональному поиску способа решения таких задач, то вот это большая беда. Именно это является одной из причин, что выпускники наших школ неэффективно работают, что отражается на нашей экономике и жизни. Ведь работа в любой области, повседневная жизнь человека состоит из последовательной постановки и решения самых различных задач, а поэтому школа должна научить их рационально решать эти задачи.

Таким образом, ведущим системообразующим фактором в обучении выступает, прежде всего технология обучения. Исследователи подчёркивают примат метода над предметом изучения, считая, что для развития мышления важно не столько то, чему учат, сколько то, как учат. Ведь обучение математике сводится не столько к запоминанию теорем, их доказательству, сколько к овладению методами познания. Существенной характеристикой учебной задачи является овладение обобщённым способом решения конкретно-практических задач. Поставить перед школьниками учебную задачу – значит ввести их в ситуацию, требующую ориентации на общий способ её разрешения.

Н.И. Лобачевский отмечал: «В математике важнее всего способ преподавания». Роль учителя должна состоять в вооружении учащихся технологией деятельности и соответствующими способами работы. Если долго решать задачи одного типа, представления учащихся пребывают в фазе необобщённых элементарных знаний, при решении общим методом в поле зрения ученика находятся связи между различными понятиями, а это есть главное условие оформления знаний. При отдельном изучении различных типов задач время затрачивается больше. Целенаправленное обучение приёмам мыслительной деятельности нисколько не замедляет усвоения программного материала. Наоборот, этот процесс всё более и более ускоряется по мере овладения этими приёмами, т.е. по мере развития мышления учащихся.

Ещё великий французский математик и философ Рене Декарт (1596-1650) в своё время имел намерения разработать универсальный метод решения задач. Однако его «Правила для направления ума» остались неоконченными. «Когда мне приходилось, будучи молодым человеком, слышать о каких-либо искусных умозаключениях, я пытался воспроизвести их самостоятельно, не читая автора. Постепенно я стал замечать, что пользуюсь при этом определёнными правилами», — писал он. Гальперин П.Я. отмечал, что на развитие учащихся оказывает действие определённый тип учения, который «характеризуется усвоением, прежде всего общего метода анализа явлений изучаемой области».

Решение любой математической задачи состоит из отдельных шагов. Решить математическую задачу – значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, свойств, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточные результаты решения), получаем то, что требуется найти в задаче – ответ. Математическое доказательство – тоже цепочка логических следствий из аксиом, определений, ранее доказанных теорем до требуемого заключения. Таким образом, при доказательстве теорем мы сводим её к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь ещё к другим. Каждый шаг доказательства состоит из трёх частей:

1 – предложение, на основе которого производится этот шаг доказательства (аксиомы, определения, теоремы);

2 – логическое рассуждение на основе аксиом, определений, ранее доказанных теорем;

3 – логический вывод из этого рассуждения.

Таким образом, любая задача элементарной геометрии является, по существу теоремой, а её решение – доказательством, скромной математической победой.

Формировать культуру решения задач и доказательства теорем можно через построение общей схематической модели решения, т.е. алгоритма. «Самое трудное в решении любой задачи – планирование своих действий. Если есть алгоритм, значит, есть программа действий, а потому трудности носят чаще всего технический, а не принципиальный характер», — писал А.Мордкович.

Алгоритм – это система операций, применяемая по строго определенной схеме, правилам, которая после последовательного их выполнения приводит к решению поставленной задачи.

Мы недооцениваем способности детей к прогнозированию, составлению моделей деятельности, планированию. А они обнаруживаются в раннем возрасте: трёх-четырёхлетние дети планируют свои игры без взрослых. А в школе эти способности не развиваются – за них всё решают учителя и взрослые. Необходимо учить детей выделять главные моменты в своих действиях; намечать последовательность выполнения работы; выбирать способы и приёмы, которыми рациональнее пользоваться.

Алгоритм необходимо составлять вместе с учащимися. И хотя время затрачивается больше, это оправдывается более высоким развивающим эффектом. Развивается мыслительная деятельность учащихся через напряжение умственных сил, способности их к прогнозированию. Школьники учатся самостоятельно продумывать и составлять план деятельности, переносить его на новый материал, совершенствовать. Ведомый учителем ученик становится ведущим на уроке.

Алгоритм анализа условия и решения задачи мы с учащимися составили в виде памятки:

  1. Прочитать задачу.
  2. Выделить условие и вопрос.
  3. Сделать по условию чертёж.
  4. Отметить на чертеже данные и искомые величины. Проанализировать данные, выявить связи между ними и все возможные расположения фигур.
  5. Подумать, что надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи. Записать формулу для искомой величины (формула может быть выведена из теоремы, из условия задачи, из треугольника на чертеже, из частных методов решения элементарных задач).
  6. Неизвестные величины в этой формуле подчеркнуть.
  7. Записать выражения (формулы) для нахождения этих подчёркнутых величин (или выведенные из теорем, или из условия задачи, или из треугольника на чертеже, или из частных методов решения элементарных задач).
  8. А теперь можно ответить на вопрос задачи? (действия по контролю). Продолжать до тех пор, пока можно будет ответить на вопрос задачи.
  9. Подставить найденные подчеркнутые величины в формулу для искомой величины. Вычислить.
  10. Записать ответ.

Поиск и конструирование методов решения вырабатывает дисциплинированное мышление в процессе решения, прививает эстетический взгляд на решение задачи, предполагает оценку решения не только с точки зрения её безупречной логической правильности, но и красоты и изящества.

До тех пор, пока какой-либо частный факт не соотнесён с общей структурой, он быстро забывается, т.е. знание общей структуры способствует сохранению материала в памяти. А. В. Гончаров писал, что перегрузка памяти учащихся вызывается отсутствием обобщающих линий и чрезмерной раздробленностью содержания. Вместо бездумного решения большого количества задач полезнее решать меньше, но при этом само решение должно содержать глубокое изучение этих задач, сущности их решения, выявление общих методов и приёмов, используемых в этом решении.

Отвечая на вопросы памятки при решении задач, учащиеся составили алгоритм решения геометрической задачи в виде блок схемы (Приложение 1).

Основным содержанием этого этапа стало моделирование. Деятельность учащихся имеет теоретический, исследовательский характер, приобретает опыт творческого мышления.

Данный алгоритм составили не сразу, в несколько этапов. Сначала более простой, а с появлением задач другого содержания дополняли его. Детям необходимо понять, что любое дело в жизни совершенствуется.

Самостоятельное составление алгоритма учащимися развивает:

  • способность к формализации математического материала (отделение формы от содержания), абстрагированию конкретных количественных отношений;
  • способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного;
  • способность к оперированию числовой и знаковой символикой;
  • способность к последовательному, правильно расчленённому логическому рассуждению;
  • способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
  • способность к переключению от одной умственной операции к другой (гибкость мышления);
  • способность к пространственным представлениям;
  • развивает устную и письменную речь.

Восприятие объектов облегчается, если они расположены в определённой строго продуманной системе, требующей минимальных усилий со стороны наших органов чувств. Восприятие объектов, расположенных хаотически, осуществляется неохотно и требует значительных волевых усилий. Оформлять запись решения задачи также интересно. И не так это просто – выбрать наиболее удобный способ оформления решения. Сам выбор удобного способа оформления решения является интересной задачей. Часто процесс решения задачи зависит от удачно выбранного способа записи решения.

Читайте также:  Медкнижка какие анализы сдавать 2017

В алгоритме использовался аналитический способ решения задач. Анализ может выступать в двух формах:

  1. Когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи;
  2. Когда целое расчленяют на части.

Пример аналитического оформления решения задачи (Приложение 2).

Синтез тоже может выступать в двух формах:

  1. Когда в рассуждениях двигаются от данных задачи к искомому;
  2. Когда элементы объединяют в целое.

Пример синтетического оформления решения задачи (Приложение 3).

Аналитико-синтетический метод существует в виде восходящего и нисходящего анализа. Нисходящий анализ применяется реже. В нашем случае его можно применить на отдельном шаге решения сложной задачи. Это анализ в форме рассуждения от искомого к данным.

Общая схема нисходящего анализа Дополнительные указания
Пусть требуется доказать некоторое утверждение А. Предполагаем, что оно верно и пытаемся получить из него верное следствие. При этом возможно несколько случаев:

1 – Получено неверное следствие. Значит предположение о справедливости А ошибочно. Решение задачи закончено

2 – Получено верное следствие. В этом случае следует обязательно проверить обратимость рассуждения:

  • если все рассуждения обратимы, то А верно;
  • если среди рассуждений есть необратимые, то приходится применять другие методы поиска решения задачи

3 – Если верное следствие получить не удаётся, то также приходится перейти к другим методам

1. Уменьшить число параметров.

3. Использовать все данные задачи.

Можно, изменив условие, сформулировать и доказать соответствующее верное утверждение, т.е. решить другую задачу.

Такая проверка обязательна, т.к. из неверного утверждения тоже можно получить верное следствие

Примеры необратимых рассуждений:

Пример решения задач нисходящим анализом (Приложение 4).

Основной способ решения задач – восходящий анализ.

Пусть требуется доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого следует А; затем отыскиваем утверждение С, из которого следует В; …до тех пор, пока найдём путь решения.

Аналитико-синтетический метод – метод попеременного движения с двух сторон:

  1. сначала разворачивается заключение задачи (искомая величина);
  2. потом разворачивается условие задачи;
  3. получение цепочки выводов от условия и заключения.

Основным способом он является потому, что разбор и решение задач восходящим анализом проводят ещё в начальных классах при решении составных задач (3–4-е классы).

Пример доказательства восходящим анализом (Приложение 5).

Особенности метода:

  • не требуется обратимости рассуждений (только при доказательстве, при решении задач обратимость имеет место), т.к. возможность обратного перехода проверяется на каждом шаге поиска решения;
  • учащиеся должны хорошо усвоить фразу: «Чтобы доказать… достаточно доказать…». Термин «достаточно» подходит больше, чем «надо», поскольку можно подобрать несколько различных утверждений, для каждого из которых искомое является следствием;
  • в общей схеме восходящего анализа не разъясняется, как получить утверждение, из которого следует искомое, такое утверждение подыскивается, исходя из конкретных условий задач.

«В поиске решения важную роль играет отбор нужных выводов из условия и достаточных по отношению к заключению совокупностей свойств. Это творческий процесс, научить этому невозможно, остается «учить плавать, бросая в воду». (М. Волович).

Работа над более кратким, рациональным оформлением задачи продолжается. Такая форма записи неудобна тем, что заполняет всю площадь листа. Но полное развёрнутое решение необходимо для формирования умения решать задачи. Приём разбиения решения на шаги облегчает усвоение метода решения. Шохор-Троцкий С.И. в книге по методике арифметики указывал, что свертывание процесса рассуждения зависит от натренированности в решении задач. На первых этапах овладения задачей она выполнялась посредством развёрнутого процесса, на поздних – сокращённого. Но для способных учащихся это условие не является обязательным. Способных отличает ярко выраженная тенденция к быстрому и радикальному свертыванию процесса рассуждения и соответствующих математических действий. Восприятие математических задач способными приобретает свернутый вид. Аналитико-синтетическая ориентировочная деятельность способных настолько «свернута» и максимально ограничена во времени, что в некоторых случаях создаётся впечатление – она имеет характер одноактного одномоментного видения математического материала. Способные при восприятии задач сразу видят её «скелет», очищенный от всех конкретных значений. У них наблюдается обобщённое формализованное восприятие математического материала (быстрое схватывание формальной структуры задачи), когда числовые данные, конкретное содержание «выпадает» и остаются чистые соотношения между показателями, характеризирующие принадлежность задачи к определенному типу.

Видно, что общая блок-схема сохраняется и при аналитико-синтетическом методе решения задачи (Приложение 6).

И Гальперин П.Я. отмечал, что мыслительные операции можно целенаправленно формировать путём постепенного перехода от развёрнутых внешних действий, заранее запрограммированных и выполняемых в заданной последовательности, ко всё более свернутым умственным действиям.

Свёртывание начинается после того, как ученик обобщит способ решения. Обобщение и свертывание происходит по разному у детей, отличающихся своими способностями. У способных обобщение наступает сразу, «с места». Средние обобщают после многократных упражнений. Неспособные обобщают с большим трудом и после длительного решения однотипных задач.

Сокращённая, обобщённая форма записи решения задачи сохраняет информацию, не загружая мозг избыточной информацией и позволяет дольше и легче использовать её.

Сокращенная форма записи решения.

Далее полезно познакомить учащихся с аналитико-синтетическим способом решения задач. На самом деле этот способ скрыто присутствовал в нашем методе, но теперь он должен приобрести теоретическое обоснование.

К 7–8-у классу в психике учащихся уже преобладает анализ.

«Анализ решения экспериментальных задач учениками показал, что учащимся свойственна аналитико-синтетическая обработка математического материала, носящая характер аналитико-синтетического осмысливания материала», — писал В. А. Крутецкий, [2].

Уже найденное известное решение задачи обычно излагают синтетическим методом, а чтобы найти способ решения, пользуются анализом. Синтез позволяет изложить известное решение задачи быстро и чётко. Однако ученику трудно понять, как было найдено решение, как бы он сам мог догадаться решить задачу. Анализ требует большей затраты учебного времени, но зато позволяет показать ученику, как найти решение, как можно самому догадаться её решить. Если использовать систематически анализ, у учащихся формируются навыки поиска решения задач. Анализ в чистом виде вообще не применяется. Если ученик пользовался им при поиске решения задачи, то только до тех пор, пока в его сознании не возникнет идея решения. При решении задач синтезом в сознании человека проводится и анализ, но часто настолько быстро, подсознательно, что ему кажется, будто он сразу увидел решение, не прибегая к анализу. Чем более сложной является задача, тем в более отчётливой форме он сможет проследить элементы анализа в своих рассуждениях.

Анализ и синтез соответствуют психическим процессам дедукции и индукции.

  • Индукция — форма умозаключения от единичных фактов к общим положениям.
  • Дедукция — вывод от общего к частному.

Индукция и дедукция — различная последовательность во времени анализа и синтеза. При индуктивной обработке информации анализ предшествует синтезу, при дедуктивной – синтез-анализу. Интегративная аналитико-синтетическая деятельность присуща обоим полушариям мозга, но в каждом она характеризуется специфической последовательностью анализа и синтеза. Индукция преимущественно связана с функционированием левого полушария, а дедукция – правого. Обработка идёт параллельно-последовательно по двум каналам, что обеспечивает её быстроту и надёжность. Таким образом более или менее стабильно устанавливается межполушарная асимметрия. Оба полушария работают теперь главным образом параллельно, постоянно обмениваясь информацией. Левое полушарие при этом как бы обладает законодательной властью, а правое — исполнительной. Левое вырабатывает цели, а правое реализует их достижение.

Можно надеяться, что относительно равномерное применение индуктивных и дедуктивных методов обучения привело бы к большей продуктивности в освоении знаний. Учитель становится человеком, впрямую формирующим функции мозга.

Пример аналитико-синтетического способа решения задачи (Приложение 8) с переходом к краткой форме записи решения.

На каждом этапе (шаге) решения задачи обсуждается план решения, рассматривается несколько вариантов решения, выбирается рациональный. Решаются так называемые элементарные задачи по отношению к данной неэлементарной задаче. Данная неэлементарная на некотором этапе обучения сама может стать элементом решения более сложных задач.

Промежуточный мыслительный процесс, протекающий в сознании учащегося между двумя этапами решения, помогает устанавливать связи между ними, углублять понимание и активизировать мыслительную деятельность. Состоит из:

  • вспоминания, применения по ходу ознакомления с материалом определений, теорем, законов, различных правил, в том числе мнемонических, которые как раз и предназначены для лучшего запоминания тех или иных фактов;
  • созерцания, представления наглядных образцов (моделей, графиков, рисунков, диаграмм);
  • любой деятельности с образами;
  • оперирования знаками и символами (введение стрелок и других обозначений, подчёркивание записей…);
  • любых рассуждений, действий, углубляющих понимание.

Если промежуточные элементарные задачи громоздки, или дети забыли их решение, лучше вспомнить их решение в устном счёте, подготовив заранее детей к решению более сложной задачи.

Аналитико-синтетический метод можно применять и при решении задач и упражнений по другим предметам: по алгебре, физике, химии.

Литература

  1. Груденев Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М,: Педагогика, 1992г.
  2. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. – М,: Просвещение, 1985 г.
  3. Мордкович А. В. Семинар для молодых учителей. «Математика» – приложение к газете «Первое сентября», №1-30. – 1993 г.

источник

Основное назначение этого этапа — понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними.

Производя анализ задачи, вычленяя ее условия, мы должны соотносить этот анализ с требованиями задачи. Другими словами, анализ задачи всегда направлен на ее требования.

Известно несколько приемов, которые можно использовать при анализе задачи.

Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования можно, если задать специальные вопросы и ответить на них.

О чем задача, т.е. о каком процессе (явлении, ситуации) идет речь в задаче, какими величинами характеризуется этот процесс?

Что требуется найти в задаче?

Что обозначают те или иные слова в тексте задачи?

Что в задаче известно о названых величинах?

Рассмотрим задачу: «По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения и до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?».

Воспользуемся указанным приемом.

Задача о движении двух мальчиков и собаки. Оно характеризуется для каждого из участников движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.

Что требуется найти в задаче?

В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все время от начала движения, пока мальчики не окажутся рядом, т.е. второй не догонит первого.

Что в задаче известно о движении каждого из его участников?

— В задаче известно, что: а) мальчики идут в одном направлении; б) до начала движения расстояние между мальчиками было 2 км; в) скорость первого мальчика, идущего впереди, 4 км/ч; г) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч; д) скорость, с которой бежит собака, 8 км/ч; е) время движения, когда расстояние между мальчиками было 2 км, до момента встречи.

В задаче неизвестно время, за которое второй мальчик догонит первого, т.е. неизвестно время движения всех его участников. Неизвестно также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое пробежала собака, — это требуется узнать в задаче.

Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?

Искомым является значение величины – расстояния, которое пробежала собака за время от начала движения мальчиков до момента встречи.

Большую помощь в осмыслении задачи оказывает другой прием – перефразировка текста задачи. Он заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Это достигается в результате отбрасывания несущественной, излишней информации, замены описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замены некоторых терминов описанием содержания соответствующих понятий; преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения.

Особенно эффективно использование данного приема в сочетании с разбиением текста на смысловые части.

Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций.

Поскольку в задаче, рассмотренной выше, речь идет о движении, ее можно перефразировать следующим образом:

«Скорость одного мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч (это первая часть). Расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая часть). Время движения мальчиков – это время, в течение которого второй мальчик догонит первого, т.е. в течение которого второй мальчик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость, с которой бежит собака, 8 км/ч. Время движения собаки равно времени движения мальчиков до встречи (четвертая часть). Требуется определить расстояние, которое пробежала собака».

Перефразированный текст часто бывает полезно записать в таблице.

Например, рассматриваемую задачу можно записать с помощью таблицы такого вида:

источник

«Анализ текстовых задач по образовательной системе «Школа 2100» Т.Е. Демидова учебно-методическое пособие для студентов».

В настоящем учебном пособии рассмотрен методический анализ текстовых задач с пропорциональными величинами ( цена, количество, стоимость) по образовательной системе «Школа 2100» автора Демидова Т.Е. , общие вопросы методики обучения решению задач.

Отличительной особенностью методической направленности пособия является: беседа по заполнению схемы с выделением целого и частей, анализ синтетическим и аналитическим способами, составление сложных математических выражений по задаче, работа над задачей после ее решения.

Учебное пособие будет полезно студентам педагогических колледжей и педагогических вузов, учителям.

Просмотр содержимого документа
«»Анализ текстовых задач по образовательной системе «Школа 2100» Т.Е. Демидова учебно-методическое пособие для студентов».»

Главное управление образования Курганской области

ГБПОУ «Курганский педагогический колледж»

по образовательной системе «Школа 2100» Т.Е. Демидова

Читайте также:  Как сделать сравнительный анализ законодательства

учебно-методическое пособие для студентов

Составила: студент Е.С. Гордеева

1.Значение учебных математических задач…………………………. 4

2.Общие вопросы методики обучения решению задач………………………………. 5

3.Задачи на пропорциональное деление…………………. 13

4. Методический анализ задач по учебнику Демидова Т.Е. «Математика 4 класс 1 часть »..

5.Список использованных источников……………………………………….

В настоящем учебном пособии рассмотрен методический анализ текстовых задач с пропорциональными величинами ( цена, количество, стоимость) по образовательной системе «Школа 2100» автора Демидова Т.Е. , общие вопросы методики обучения решению задач.

Отличительной особенностью методической направленности пособия является: беседа по заполнению схемы с выделением целого и частей, анализ синтетическим и аналитическим способами, составление сложных математических выражений по задаче, работа над задачей после ее решения.

Учебное пособие будет полезно студентам педагогических колледжей и педагогических вузов, учителям.

Значение учебных математических задач

В ФГОС НОО выделяется особый раздел «текстовые задачи» в ходе изучения которого у учащихся должны быть сформированы: общие умения решать задачи, умения решать задачи отдельных видов ( выписка из ФГОС НОО).

При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение.

Образовательное значение математических задач: решая математическую задачу, ученик познает много нового (знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д.). Иными словами, при решении математических задач ученик приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у ученика формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке — и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

Практическое значение математических задач: при решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математических задач.

Значение математических задач в развитии мышления: решение математических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач, как указывал А. Я’ Хинчин , воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной аргументации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики.

Воспитательное значение математических задач: прежде всего задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяется в различные периоды развития общества. Содержание у задач, помещенных в современных учебниках направлен на воспитание у учащихся высоких моральных качеств, научного мировоззрения.

2.Общие вопросы методики обучения решению задач

Традиционно все методические школы разделяют процесс обучения решению задач на две ступени: решение простых задач и решение составных задач.

С технологической (методической) точки зрения простая задача является «одношаговым» описанием соответствующей ей предметной ситуации.

Целью работы над простой задачей, является обучение ребенка самостоятельной работе над текстовой формой простой задачи с применением на практике всех приобретенных ранее умений:

1) моделирование (в том или ином виде) заданной в задаче ситуации;

составление математического выражения соответственно, но смыслу ситуации (выбор действия);

оформление записи в равенство с наименованием;

запись ответа в краткой форме.

Иными словами, суть и смысл работы над простой задачей заключается в том, что в процессе этой деятельности ребенок упражняется в применении и совершенствовании двух своих учебных умений: умении перевести текстовое описание ситуации (словесную модель) в любого вида упрощенную схему (предметный или схематический рисунок, краткую запись), показывающую взаимоотношения между данными и искомым, и умении оформить это отношение в виде равенства с наименованием, т. е. непосредственно записать решение, а затем ответ (можно сказать, что при этом выполняется второй перевод ситуации с языка графики — рисунка или схемы — на язык математических символов — чисел и знаков).

Этапы работы над задачей.

Методически принято выделять следующие этапы работы над задачей на уроке:

I. Подготовительная работа.

II. Работа по разъяснению текста задачи.

III. Разбор задачи (анализ), поиск пути решения и составление плана решения.

IV. Запись решения и ответа.

V. Проверка или работа над задачей после ее решения.

Особенности каждого из этапов в процессе обучения решению простых задач обусловливаются тем, что простые задачи являются, с одной стороны, одним из средств формирования понятий о смысле арифметических действий, с другой стороны, подготовительной ступенью к обучению решению составных задач.

В связи с этим на подготовительном этапе к решению конкретной простой задачи необходимо предложить детям задание, позволяющее учителю проверить, понимают ли ученики смысл действия, которое будут выполнять в задаче. Такая работа проводится либо на предметной, либо на схематической наглядности.

Сложение выступает как объединение двух множеств, не имеющих общих элементов, вычитание — как удаление части множества. Например, подготовительный этап к решению простых задач на нахождение суммы и остатка может содержать такие задания: Учитель выставляет на фланелеграфе кружки разного цвета: красные, синие, зеленые, и предлагает показать, сколько всего красных и синих. Затем учитель предлагает записать процесс нахождения количества красных и синих кружков с помощью математического выражения: 3 + 2, далее ученики находят его значение. Чтобы исключить пересчет, работу можно организовать так: один ученик снимает с фланелеграфа сначала 3 красных кружка и кладет их в конверт, а затем 2 синих и кладет туда же. Другой ученик записывает математическое выражение, соответствующее выполненному действию, и находит его значение. Затем результат проверяется пересчетом.

Перед решением задач на нахождение остатка полезно провести работу с наглядностью, также убирая в конверт «уменьшаемое» и вынимая оттуда «вычитаемое», чтобы исключить пересчет и иметь возможность, затем проверить полученный результат путем пересчета оставшихся в конверте предметов. При этом производимые действия полезно сопровождать обсуждением схемы, т. е. выяснить, какое число дети поставят в окошко, находящееся справа от знака «равно»; слева от знака «минус», справа от знака «минус».

Работа по разъяснению текста простой задачи заключается в том, что учитель выясняет, все ли слова и обороты текста понятны детям. При решении задач на сложение и вычитание — это термины: старше-младше, дороже — дешевле и т. п.

Разбор задачи. Поиск пути решения и составление плана решения задачи называют обычно ее анализом (разбором). Подход к разбору может быть аналитическим («от вопроса») и синтетическим («от данных»).

Приведем примеры обоих видов подходов.

Задача. В нашем городе было 10 школ, а в этом году построили новые школы, и всего стало 12 школ. Сколько новых школ построили в этом году?

Разбор «от вопроса» (аналитический):

Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?
(Нужно знать, сколько школ было и сколько стало.)

Известно в задаче, сколько школ было? (Известно: 10.)

Известно в задаче, сколько школ стало? (Известно: 12.)
На сколько больше школ стало? (На 2.) Значит, сколько их
построили? (2 школы.) Как нашли 2 школы? (12 — 10.)

Запишем решение: 12 – 10 = 2 (шк.)

Разбор «от данных» (синтетический):

Что известно в задаче? (Школ было 10, а стало 12.)

Можно ли узнать, на сколько больше их стало, используя эти данные? (Можно: 12 — 10.)

Значит, сколько школ построили? (2 школы.)

Запишем решение: 12 — 10 = 2 (шк.)

Учителя часто пользуются аналитическим методом разбора задачи уже на начальном этапе обучения решению простой задачи. С точки зрения психологии это не совсем верно, так как в возрасте 6-8 лет формирование способности к синтезу у ребенка несколько опережает формирование способности к анализу. В связи с этим в 1-2 классах ребенку легче освоить синтетический способ разбора задачи, особенно если он сопровождается наглядной интерпретацией или графической схемой.

К данной задаче можно было бы дать различные наглядные интерпретации:

или

Анализ наглядной интерпретации непосредственно подводит к выбору действия в задаче. Запись решения и ответа может производиться различными способами:

а) по действиям без пояснения — в этом случае пишут пол­ный ответ;

б) по действиям с пояснением — в этом случае пишут краткий ответ;

в) математическим выражением (в составной задаче);

г) по действиям с вопросами;

д) в случае решения задачи с помощью уравнения постепенно составляют уравнение с пояснением.

Задача. Маляру надо покрасить в одной квартире 6 дверей, а в другой – 4. Он покрасил 7 дверей. Сколько дверей осталось покрасить маляру?

Запись решения по действиям:

Ответ: осталось покрасить 3 двери.

Запись по действиям с пояснением:

1) 6+4=10 (дв.) – нужно покрасить

2) 10-7=3 (дв.) – осталось покрасить

Запись решения математическим выражением:

Ответ: осталось покрасить 3 двери.

Запись решения по действиям с вопросами:

1) Сколько всего дверей нужно покрасить?

2) Сколько дверей осталось покрасить?

Запись решения постепенным составлением уравнения с пояснением:

х – дверей осталось покрасить

Количество дверей равное. Составим уравнение:

Работа над задачей после ее решения заключается в следующем: если задача записывалась по действиям, то записывать ее решение следует с помощью математического выражения (в составной задаче);

решение другим способом (в составной задаче);

варьирование данных, условия и вопроса;

составление обратной задачи.

Рассмотрим эти виды работы над задачей после ее решения:

Запись решения математическим выражением не является другим способом ее решения, а всего лишь другой формой ее записи, поэтому формулировать задание следует соответствующим способом: «Запишем решение задачи в другой форме: выражением».

Проверка решения задачи — проводится с целью установления правильности решения. В начальных классах используются следующие способы проверки:

А. Прикидка ответа — установление возможных границ значений искомого, прикидка проводится до начала решения задачи.

Например. У пруда росло 9 осин и берез. Осин было 4. Сколь­ко было берез?

В данной задаче целесообразно провести прикидку, поскольку типичной ошибкой является сложение данных (9 + 4). Прикидка проводится следующим образом:

Учитель. Что означает число 9? (Это осины и березы.) Количество берез по отношению к числу 9 должно быть больше или меньше? (Меньше, потому что березыэто часть от 9 деревьев.)

После решения задачи перед записью ответа соотносят полученный ответ с «прикинутым»: полученный ответ больше или меньше 9? (Меньше, значит, соответствует прикидке.)

Б. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и числами, данными в условии (этот способ можно назвать подстановкой): для данной задачи это будет выполнение действия 5 + 4 = 9 (д.)

В. Решение задачи другим способом возможно только при проверке составных задач, допускающих различные способы решения: если при решении задачи другим способом ответ совпадает, значит, задача решена верно.

Г. Решение обратной задачи — при этом должны получиться числа, заданные в условии прямой задачи.

Для простой задачи этот способ практически совпадает со способом Б, но сопровождается составлением текста обратной задачи.

Варьирование (т. е. изменение) данных, условия и вопроса является наилучшим развивающим приемом (наряду с проверкой) на этапе работы над задачей после ее решения. Постоянное использование этого приема помогает детям лучше осознать ситуацию, предлагаемую в задаче, установить не только связь между данными и искомым, но и их взаимозависимость в динамике; учит ребенка не относиться к решению задачи формально, применять элементы поиска и творчества в про­цессе решения задачи. Варьирование вопроса в некоторых простых задачах органично подводит к знакомству с составными задачами.

Варьирование данных и искомого постепенно приводит к умению составлять обратную задачу. Например, в задаче, рассмотренной выше (о школах), эту работу можно было провести так:

Как изменилось бы решение задачи и ее ответ, если бы в городе было 8, 5, 3 школы?

Как бы мы решали задачу, если бы ее условие звучало так: в нашем городе было 10 школ, а в этом году построили новые школы. Сколько стало школ в городе?

После того, как выясняется, что данных не хватает, учитель спрашивает:

—Какое еще данное нам нужно, чтобы можно было ответить на вопрос задачи? (Сколько школ построили?) Добавим данное. Как теперь звучит условие задачи? Можно теперь ответить на ее вопрос? Что для этого надо сделать?

В процессе такой работы постепенно формируется умение составлять обратные задачи. Особенно важна работа над задачей после ее решения при решении простых задач на умножение, так как эти задачи являются первыми шагами на пути формирования понятия о прямой и обратной пропорциональной зависимости (т. е. понятия функции, фактически говоря). Поэтому после решения такой задачи крайне важно поработать над ней, варьируя данные и искомое, чтобы дети хорошо поняли, что при увеличении одного увеличивается другое или наоборот.

Приведем примеры вариантов варьирования после реше­ния задачи:

1. У пруда росло 9 осин и берез. Осин было 4. Сколько было берёз?

После решения этой задачи полезно провести варьирование данных с целью повторить состав числа 9: что изменилось бы, если бы осин было 3? 5? 8?

2. Слава принес в класс 7 рисунков, а Павлик — на 4 рисунка меньше. Сколько рисунков принес Павлик?

После решения этой задачи полезно провести варьирование условия: что нужно изменить в условии, чтобы задача решалась сложением?

Можно провести варьирование вопроса: что изменится в решении задачи, если вопрос будет таким: «Сколько рисунков они принесли вместе?» или: «Измените, вопрос так, чтобы задача решалась двумя действиями».

3. Бабушка надоила 12 л молока и разлила его в банки по 3 л в каждую. Сколько банок потребовалось?

Емкость банки и количество банок находятся в обратно-пропорциональной зависимости: чем больше емкость банки, тем меньше понадобится банок, — эту зависимость и нужно подчеркнуть при варьировании данных в задаче после ее решения. Можно оформить эту работу в таблице:

источник