Меню Рубрики

Как писать анализ по геометрии

Литература : Арсентьев A. И., Oпределение производительности и границ карьеров, M., 1970; Pжевский B. B., Tехнология и комплексная механизация открытых горных работ, 3 изд., M., 1980; Xохряков B. C., Проектирование карьеров, 2 изд., M., 1980.

C. Д. Kоробов.

Горная энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Е. А. Козловского . 1984—1991 .

анализ и синтез — АНАЛИЗ И СИНТЕЗ. Анализ (от греч. analysis разложение, расчленение) реальное или мысленное разложение объекта на компоненты; синтез (от греч. sythesis соединение, сочетание) реальное или мысленное объединение этих компонентов в целостный… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Физико-химический анализ — метод исследования физико химических систем, посредством которого устанавливают характер взаимодействия компонентов системы на основе изучения соотношений между её физическими свойствами и составом. Основы Ф. х. а. заложены в конце 19 в.… … Большая советская энциклопедия

Комплексный анализ — Комплексный анализ[1], теория функций комплексного переменного (или комплексной переменной; сокращенно ТФКП) раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия … Википедия

Комплексный анализ (исторический очерк) — Комплексный анализ[1][2] или теория функций комплексного переменного (комплексной переменной) (ТФКП) часть математического анализа, в которой рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия 2… … Википедия

физико-химический анализ — [physicochemical analysis] совокупность методов исследования зависимости свойств металлов, сплавов, шлаков и т. п. от параметров состояния (давления, температуры и др.). Физико химический анализ сформировался в начале XX в. Его основоположник… … Энциклопедический словарь по металлургии

Физико-химический анализ — комплекс методов анализа физико химических систем путем построения и геометрического анализа диаграмм состояния и диаграмм состав свойство. Этот метод позволяет обнаружить существование соединений (например, медистого золота CuAu), существование… … Википедия

геометричний аналіз кар’єрного поля — геометрический анализ карьерного поля geometrical analysis of a quarry field geometrischeTagebauanalyse графічне або графоаналітичне дослідження розвитку гірничих робіт у кар’єрі. Мета Г.а.к.п. визначення залежності обсягів маси розкривних порід … Гірничий енциклопедичний словник

АРХЕОАСТРОНОМИЯ — Археологи нашли многочисленные свидетельства того, что в доисторические времена люди проявляли большой интерес к небу. Наиболее впечатляют мегалитические сооружения, построенные в Европе и на других континентах несколько тысяч лет назад.… … Энциклопедия Кольера

Новая хронология (Фоменко) — У этого термина существуют и другие значения, см. Новая хронология. «Новая хронология» (сокращённо НХ[1]) псевдонаучная[2][3][4][5] теория радикального пересмотра истории, созданная группой под руководством академика РАН математика… … Википедия

«Новая хронология» Фоменко — «Новая хронология» неакадемическая теория, утверждающая, что общепризнанная хронология исторических событий в целом неверна, и предлагающая свой вариант хронологии и вообще истории человечества. Согласно утверждениям её авторов, основана на… … Википедия

источник

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Технологическая карта-схема анализа урока

Класс___7_ «Б»___Предмет Геометрия

Тема урок. Работа над ошибками, анализ контрольной работы №1 по теме №Начальные геометрические сведения»

1. Данный урок проводится после изучения главы 1 «Начальные геометрический сведения» и проведения контрольной работы №1.

Тип урока: обобщение пройденного материала, анализ контрольной работы.

Применение знаний, умений и навыков.

2. Формулировка целей и задач урока, оценка их оптимальности, пути их реализации.

Образовательные :- актуализировать опорные знания, расширить и углубить начальные знания.

Воспитательные: — активизировать познавательную и творческую деятельность учащихся.

Развивающие: — постановка и развитие правильной математической речи.

Цели урока были поставлены с учетом программных требований исходя из содержания учебного материала. При планировании урока были учтены уровень подготовленности класса, материально-техническая база школы и свои возможности. Учащиеся на данном этапе обучения имеют необходимый багаж знаний, умений и навыков для достижения поставленных целей. Используя проблемную ситуацию, я подвела детей к тому, что они сами назвали тему урока, поставили цель урока. В целом урок был результативным и достиг поставленных целей.

3. Краткая характеристика класса, учёт особенностей развития учащихся:

Класс состоит из учащихся различного уровня подготовки и математических способностей. Уровень обучаемости средний, У школьников сформированы общеучебные навыки. Во время урока все активно принимали участие. Чувствовался интерес к предмету, хороший психологический климат, настрой на совместную работу, на работу в парах, на ликвидацию пробелов.

4. Выбор формы проведения урока.

Для проведения урока были использованы формы познавательной деятельности: фронтальная и индивидуальная, работа в паре, которые в ходе урока сменяли друг друга. Практически всем учащимся была дана возможность проявить себя на уроке, т.к. работали и самостоятельно, и коллективно. Урок начался с постановки цели и был закончен подведением итогов.

5. Выбор структуры урока. Оценка её оптимальности. Были подобраны задания для закрепления материала.

Организация учащихся на работу.

Сообщение темы и целей урока.

Повторение ранее изученного материала.

Решение задач по заданному чертежу, на нахождение неизвестных, на доказательство.

Решение задач (самостоятельная работа). С проверкой у доски.

Итоги урока и его окончание .

6. Оценка содержания каждого этапа урока.

1.Урок начинается с организационного момента с положительного настроя на плодотворную работу, что позволяет формировать у учащихся чувство «Я могу!». Таким образом, проходит боязнь неудачи, появляется уверенность в своих возможностях, который подготовил к работе, активизировал внимание учащихся на совместную, индивидуальную и работу в парах. Положительный эмоциональный фон вызывает у ребят желание выполнять задания, трудиться на уроке.

2.Учитель подвел учащихся к определению цели урока, чем учащиеся в ходе урока будут заниматься, какими знаниями, умениями и навыками нужно для этого обладать и чем необходимо владеть. Участие ученика в определении цели урока приводит к предопределению, пониманию, осознанию содержания и способов осуществления предстоящей деятельности, создает готовность к усвоению знаний, а проявляемая активность учащихся становится внутренне мотивированной.

3.На данном этапе прошла актуализация ранее изученного материала, выявление пробелов в знаниях и их по возможности устранению. С этой целью использовалась устная фронтальная работа, индивидуальное решение разноуровневых заданий.

7. Оценка оптимальности выбранных форм и методов обучения, их педагогической целесообразности:

Выбранные формы и методы обучения способствовали созданию на уроке положительной психологической атмосферы. Дети учатся обосновывать, рассказывать, доказывать правильность своих суждений.

8. Характер взаимодействия учителя и учащихся на различных этапах урока, роль самостоятельной работы учащихся.

2.Сообщение темы и целей урока .

3.Повторение ранее изученных тем.

4.Решение задач по заданным чертежам.

8.Итоги урока и его окончание.

Проверьте готовы ли вы к уроку (Чертежные инструменты, ручка, карандаш, тетрадь, учебник, дневник).

После проверки готовности к уроку сообщает, что сегодня на уроке систематизируем полученные знания, и закрепим их при решении задач.

Записывают задания в тетрадях. Делают краткую запись к задачам.

Подают дневники на отметку.

9 . Степень и пути дифференциации обучения.

Самостоятельная работа на уроке.

Задания по объему и степени трудности соответствовали программе и были посильными для каждого ученика.

10. Использование на уроке различных средств

Заготовленный дидактический материал,

11. Формы и методы контроля за уровнем знаний, умений и навыков учащихся.

Самоконтроль, взаимоконтроль, контроль устный и письменный. На уроке мною оказывалась и индивидуальная помощь. На каждом уроке уделяется большое внимание на развитие математической речи учащихся, чтобы умели грамотно правильно красиво уверенно говорить, умели отстаивать свою точку зрения.

12. Оценка результативности урока.

На данном уроке успешно реализованы все поставленные цели урока. Применялись различные способы активизации мыслительной деятельности: анализ, синтез, сравнение и сопоставление. Использованы здоровьесберегающие технологии.

Урок прошел на хорошем эмоциональном уровне, все ребята были активны, получили отметки за урок, исправили свои ошибки при решении задач, нашли свои недочеты, надеюсь, что устранили свои пробелы в знаниях. (и убедились, что лучше вовремя выучить материал, чем все время опаздывать).

Достигнут планируемый уровень усвоения знаний.

Учащиеся во время всего урока были активны и внимательны, работоспособны, проявляли интерес к выполняемым заданиям.

Профессиональные качества педагога (знание предмета, эрудиция, использование дополнительных источников информации, образность изложения, учёт индивидуальных особенностей учащихся и т. д.).

источник

При изучении курса элементарной геометрии большое значение, бесспорно, занимают задачи на построение. Трудно переоценить роль задач на построение в формировании математического мышления школьников. Однако констатирующее исследование [1-3] показало, что задачи на построение вызывают значительные трудности у школьников и студентов физико-математического факультета. Наибольшую трудность вызывают этап анализа и этап исследования в задачах такого вида. На наш взгляд, это связано с тем, что, во-первых, задачи на построение часто являются задачами повышенной трудности, так как требуют для своего решения введения дополнительных (вспомогательных) построений; во-вторых, с недостатком внимания как школьных учителей математики, так и преподавателей геометрии к задачам такого рода; в-третьих, с недостаточной разработанностью методики решения таких задач.

Некоторые вопросы методологии геометрических построений на плоскости циркулем и линейкой рассмотрены в трудах А.А. Адлера, И.И. Александрова, Г.Г. Масловой, Г.М. Олифера, Д.И. Перепелкина, Г.П. Сенникова, А.С. Смогоржевского, Н.Ф. Четверухина, С. Шатуновского, Г.Х. Воистиновой. Один из аспектов обучения решению задач на построение, в частности задач на построение практического содержания, рассмотрен нами в работах [2; 3].

Вопросы же методики обучения проведению этапа анализа и исследования в задачах на построение, введения вспомогательных линий при решении задач такого вида и многие другие вопросы, связанные с обучением решению задач на построение, до сих пор в научно-методической литературе слабо разработаны.

Таким образом, проблема обучения школьников и будущих учителей математики решению задач на построение является важной и не достаточно разработанной.

В данной статье рассматривается сущность задач на построение и методика обучения процессу поиска их решения на этапе анализа с помощью системы наводящих вопросов и разработанного правила-ориентира.

Как и в традиционной методике, задачей на построение будем считать «математическое предложение, указывающее, по каким данным, какими средствами (инструментами) и какой геометрический образ (точка, прямая, окружность, треугольник, совокупность точек и так далее) требуется найти (начертить, построить на плоскости, наметить на местности и так далее) так, чтобы этот образ удовлетворял определенным условиям» [1, с. 58].

Итак, сущность задач на построение не исчерпывается указанием данных и формулировкой того, что требуется найти. Важное значение имеет также указание на те средства, с помощью которых задача должна быть решена, на те инструменты, при помощи которых построение должно быть выполнено. В зависимости от того, какие инструменты имеются в виду, смысл одной и той же задачи коренным образом меняется.

Итак, решение задач на построение сводится к выполнению некоторых операций с помощью чертежных инструментов. Решить задачу на построение – по заданным в условии задачи элементам (точкам, прямым, окружностям и так далее) найти искомые элементы, удовлетворяющие сформулированным в условии задачи требованиям. Обычно эти требования указывают отношения, в которых должны находиться искомые элементы друг с другом или с заданными элементами.

В теории геометрических построений (в так называемой конструктивной геометрии) «инструментами» построений являются специально сформулированные (обычно в виде аксиом) соглашения, условия «конструктивности». Если для некоторого множества точек эти условия выполнены, то точки множества считаются построенными («конструктивными»). Таким образом, средства построения в строгих геометрических построениях – абстракции, а сами построения – логические операции, ссылки на те или иные аксиомы и их следствия. Можно ввести сколько угодно и каких угодно абстрактных инструментов, стоит только сформулировать соответствующую систему аксиом. Теория геометрических построений описана в работах А. Адлера, А.С. Смогоржевского, Н.Ф. Четверухина, С. Шатуновского.

Следует заметить, что не всякая задача, решенная математически, является задачей, решенной «конструктивно». Задача установления, какие элементы можно отнести к классу «конструктивных», решается с помощью аксиом инструментов.

Таким образом, решить задачу на построение с помощью тех или иных инструментов – значит свести ее к конечному числу «элементарных построений». Перечень этих элементарных построений и характеризует тот или иной комплекс инструментов.

С принципиальной точки зрения решение любой задачи на построение с помощью инструментов означает сведение ее к конечному числу элементарных операций. Однако такое сведение практически неудобно, так как делает решение более сложных задач громоздким. Чаще задачи сводятся не к самим элементарным построениям, а к типичным, часто встречающимся, задачам на построение. Эти задачи называют основными задачами на построение.

Классическая схема решения задач на построение состоит из четырех пунктов, которые принято называть этапами решения задачи на построение: анализ; построение; доказательство; исследование.

Анализ задачи – это отыскание способа ее решения, то есть составление плана: какие и в какой последовательности необходимо выполнить известные уже построения, чтобы построить искомую фигуру. Но анализ должен преследовать и вторую цель – установить полную общность найденного решения. Ошибка в анализе может приводить к потере части решения. Рассуждения в анализе проводятся по-разному, в зависимости от применяемого метода решения, но этот этап всегда должен заканчиваться формулированием плана построения.

Как уже было отмечено, цель анализа – найти искомый геометрический образ (фигуру, которую необходимо построить), используя данные в условии элементы. При этом геометрический образ может быть четырех видов: точка, прямая (отрезок), окружность, многоугольник (угол). Для построения геометрического образа достаточно построить его «узловые точки»: для прямой – любые две точки прямой; для окружности – центр и любые две точки, определяющие величину радиуса; для многоугольника – вершины многоугольника (вершина угла и любые две точки, лежащие на сторонах многоугольника) и т.п.

Итак, этап анализа является наиважнейшим этапом процесса решения задач на построение. Причем полноценный анализ должен удовлетворять нескольким требованиям:

Читайте также:  Как берут анализ на мор

· он должен, безусловно, позволить решить задачу, то есть должна существовать практическая возможность осуществления тех построений, которые указаны в анализе, хотя бы при некоторых соотношениях между данными в условии элементами;

· он должен быть наипростейшим из возможных способов решения данной задачи (с учетом, конечно, средств построения и запаса теоретических знаний у решающего задачу);

· он должен удовлетворять требованиям полноты, то есть должен обеспечивать все решения данной задачи, которые она вообще может иметь.

Бесспорно, что, решая задачу, уже на этапе анализа необходимо всемерно стремиться к тому, чтобы установить не какой-нибудь способ решения задачи, а наиболее полноценный, то есть удовлетворяющий трем требованиям. Однако удовлетворить этим требованиям уже на этапе анализа бывает часто трудно.

Рассмотрим методику решения задач на построение, разработанную автором.

Итак, создав на чертеже-наброске треугольники, остается выбрать из них подходящий вспомогательный треугольник и установить с его помощью способ решения задачи.

В качестве вспомогательного треугольника необходимо выбрать тот из числа созданных на чертеже-наброске треугольников, который: во-первых, содержит наибольшее число «узловых точек» искомого геометрического образа, а, во-вторых, способ построения которого наиболее простой. Соблюдая эти требования, можно будет установить наиболее простой способ решения данной задачи методом вспомогательного треугольника.

Как только выбор вспомогательного треугольника произведен, то установление с его помощью способа решения задачи обычно никаких затруднений не вызывает. Остальные точки искомого геометрического образа можно, как правило, найти, используя метод геометрических мест и данные по условию элементы.

В силу всего вышесказанного система наводящих вопросов, направляющая деятельность учащихся и студентов при проведении анализа задачи, может быть следующей.

1. Достаточно ли для проведения анализа первоначального чертежа-наброска?

2. Какому критерию допустимости геометрических преобразований соответствуют элементы, данные в условии (критерии рассмотрены в работе [1])?

3. Какой метод (методы) преобразования фигуры в силу этого критерия можно выбрать?

4. Каким образом теперь дополнить чертеж-набросок, учитывая выбранный метод преобразования?

5. Какие треугольники на чертеже-наброске образовались?

6. Какой из этих треугольников выбрать в качестве вспомогательного для решения данной задачи?

7. Как построить этот вспомогательный треугольник (вспомнить основную задачу)?

8. Сколько «узловых точек» искомой фигуры будет определено построением вспомогательного треугольника?

9. Какие «узловые точки» искомой фигуры остались неопределенными?

10. Какие элементы из числа данных в условии задачи не потребовались для построения вспомогательного треугольника?

11. Как построить остальные «узловые точки» искомой фигуры, предполагая вспомогательный треугольник построенным?

12. Все ли «узловые точки» теперь определены?

Следует отметить, что в данной статье автор приводит только обобщенную систему наводящих вопросов и обобщенное правило-ориентир. Система наводящих вопросов и правило-ориентир для каждого из классов задач на построение (основные задачи, простые задачи на построение, сложные задачи на построение, не требующие введения дополнительных линий, сложные задачи на построение, требующие введения дополнительных линий) описаны в работе [1].

Полученная система наводящих вопросов приводит к обобщенному правилу-ориентиру.

Чтобы решить задачу на построение, необходимо:

1. Выполнить чертеж-набросок по условию задачи в предположении, что задача решена и искомая фигура построена (используя правила построения чертежа-наброска).

2. Установить, какие «узловые точки» необходимо «знать» для построения искомой фигуры (для отрезка достаточно знать два его конца, для прямой — любые две точки этой прямой, для многоугольника – все вершины этого многоугольника, для окружности — центр и любые две точки, определяющие величину радиуса этой окружности).

3. Выяснить, все ли элементы, данные в условии, изображены на чертеже-наброске. Если какие-либо элементы изображены неявно, задача требует для своего решения введения дополнительных построений; в этом случае перейти к пункту 8.

4. Найти на чертеже-наброске все элементы: точки, углы, отрезки и тому подобное, которые не даны непосредственно на чертеже-наброске, но легко определяются, используя данные в условии элементы и соотношения, связывающие эти данные (при этом полезно названия элементов сопровождать их различными определениями и выявлением их существенных свойств).

5. Найти такую часть искомой фигуры на чертеже-наброске (точка, угол, отрезок, дуга, треугольник), которая:

а) включает в себя «узловые точки» искомой фигуры;

б) может быть построена по известным элементам;

в) дает возможность построить искомую фигуру (ее «узловые точки»).

Целесообразнее всего в качестве такой части выбрать, если он присутствует на чертеже-наброске, треугольник, у которого хотя бы одна вершина совпадает с «узловыми точками» искомой фигуры.

6. Выяснить, какие «узловые точки» искомой фигуры остались еще неопределенными, и как они могут быть построены, выясняя их положение по свойствам, вытекающим из связей с известными элементами.

Для отыскания каждой точки можно использовать метод геометрических мест. Суть его такова: найти две линии, на пересечении которых и лежит данная точка.

7. Если положение остальных «узловых точек» не определяется, выяснить, используя критерий, достаточно ли для проведения анализа чертежа-наброска.

8. Необходимо ввести дополнительные линии, если данных на чертеже-наброске не достаточно:

а) не все элементы, данные в условии, изображены на чертеже-наброске явно;

б) нет построенных треугольников на чертеже-наброске.

9. Определить вид задания элементов в условии задачи и выбрать, используя критерии допустимости геометрических преобразований, необходимый метод (методы) геометрического преобразования фигур.

10. Дополнить чертеж-набросок, используя выбранный метод (методы) преобразования фигур, и проверить, полезна ли построенная дополнительная линия (линии) для решения, путем применения пунктов 4-6.

11. Выбрать вспомогательный треугольник из числа всех образовавшихся после преобразования чертежа-наброска строимых треугольников. В качестве вспомогательного треугольника необходимо выбрать такой треугольник, у которого:

а) наибольшее число вершин совпадает с «узловыми точками» искомой фигуры;

б) способ построения которого самый простой.

Рассмотрим решение задачи.

Задача 1. Построить прямоугольный треугольник по его гипотенузе и сумме катетов.

источник

Нами был предварительно проведен и анализ программы по математике (см. Приложение 1).

А также анализ учебников по математике для 5-6 классов.

1) Н.Я. Виленкин “Математика 5” [12]: в учебнике две главы “Натуральные числа” и “Дробные числа”, каждая содержит четыре параграфа. В нем первым из построений с помощью линейки (Глава 1,§1) является построение отрезка (далее уже многоугольника). А также изучается сравнение отрезков с помощью циркуля. Далее идет изучение прямой и луча. Следующие построения рассматриваются в начале второй главы в пункте окружность и круг. А именно построение окружности с помощью циркуля. В конце курса школьники учатся обращаться с чертежным треугольником (построения прямого угла).

Н.Я. Виленкин “Математика 6” [13]: в этом учебнике также две главы “Обыкновенные дроби” и “Рациональные числа”, каждая содержит четыре параграфа. В конце курса учащиеся знакомятся с перпендикулярными и параллельными прямыми и строят их с помощью чертежного треугольника и линейки.

2) Г.В. Дорофеев “Математика 5” [14]: в данном учебнике первым из построений с помощью линейки является построение прямой, проходящей через две данные точки, а также построение окружности с помощью циркуля. Далее следует изучение луча и сравнения отрезков с помощью циркуля. В следующей главе рассматривается понятие угла и его построение, в том числе с помощью угольника. Третья глава посвящена изучению многоугольников, в частности прямоугольников и треугольников.

Г.В. Дорофеев “Математика 6” [15]: в главе 2 `Прямые и окружности’ знакомит учащихся с перпендикулярными и параллельными прямыми, и их построением с помощью угольника и линейки. Далее определяются касательная к окружности, концентрические окружности, и рассматриваются варианты взаимного расположения прямой и окружности, двух прямых на плоскости. Предлагаются различные задачи на построение касательной к окружности; окружности, касающейся двух параллельных прямых; двух окружностей. Одна из глав учебника посвящена изучению симметрии: осевой и центральной. Предлагаются задачи на построение симметричных фигур, а также на нахождение кратчайшего пути. Также имеется глава, посвященная фигурам на плоскости, в частности треугольникам и параллелограммам. В ней рассматривается построение треугольника по трем сторонам и предлагаются задачи на построение различных треугольников (прямоугольных, равнобедренных, остроугольных, тупоугольных).

1) Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов [7]

а) 7 класс: содержит четыре главы. Тема “Задачи на построение” изучается в конце главы 2 “Треугольники”. В этом параграфе содержатся пункты “Окружность”, “Построения циркулем и линейкой” и “Примеры задач на построение”. Основываясь на том, что учащиеся умеют с 5 и 6 класса выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки, в теме рассматриваются задачи на построение такие как: построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение биссектрисы угла, перпендикулярных прямых и середины отрезка. Схема, по которой решаются задачи на построение, не вводится. Основная цель главы 2 — отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки (см. Приложение 1).

В главе 3 “Параллельные прямые” рассматривается построение параллельных прямых с помощью чертежного треугольника и линейки, а также с помощью циркуля и линейки по заданной прямой и точке (в форме задачи).

В главе 4 “Соотношения между сторонами и углами треугольника” рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам и по трем сторонам. Данная глава содержит целый блок задач на построение для самостоятельного решения, который состоит в основном из задач на построение различных треугольников по различным элементам.

В конце 7 класса также имеется блок задач на построение, перед которым описывается схема, по которой решают задачи на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. Приводится пример.

б) 8 класс: содержит пять глав. В главе 5 “Четырехугольники” после изучения многоугольника, параллелограмма и трапеции вводится блок задач на построение параллелограмма и трапеции по различным элементам. Перед этим еще раз идет повторение схемы решения задач на построение. В этой же главе после изучения прямоугольника, ромба и квадрата предлагается решить задачи на их построение.

В главе 7 “Подобные треугольники” рассматриваются задача на построение треугольника, при решении которой применяется метод подобия (в данном случае треугольников), в качестве практического приложения подобия треугольников. Также приводится ряд задач на построение треугольников по данным отношениям для самостоятельного решения. Основная цель главы 7 — сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников (см. Приложение 1).

В начале главы 8 “Окружность” в пункте “Касательная к окружности” решается задача о проведении касательной к окружности через данную точку. Говорится о том, что решение подобных задач основано на теореме (признаке касательной). Также в главе изучаются четыре замечательные точки треугольника. Задачи на построение (касательной к окружности, серединного перпендикуляра к отрезку) содержит каждый пункт главы. Основная цель главы 8 — дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях (см. Приложение 1).

В конце 8 класса в разделе задач повышенной трудности встречается задача на построение равнобедренной трапеции по основаниям и диагоналям. А также построения встречаются в задачах на повторение.

в) 9 класс: содержит четыре главы. В главе 12 “Длина окружности и площадь круга” в §1 “Правильные многоугольники” рассматривается построение правильных многоугольников. Предлагается с помощью циркуля и линейки вписать в окружность различные правильные многоугольники. Также построения встречаются в задачах не повторение. Основная цель главы 12 — расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках (см. Приложение 1).

В главе 13 “Движения” изучаются симметрии, поворот и параллельный перенос. В конце главы содержатся задачи на построение, решение которых основано на изученном материале. Основная цель главы 13 — познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом (см. Приложение 1).

а) 7 класс: содержит пять параграфов. В §1 “Основные свойства простейших геометрических фигур” рассматривается, как построить параллельные прямые с помощью угольника и линейки. В §2 “Смежные и вертикальные углы” рассматривается, как построить перпендикулярные прямые с помощью угольника и линейки. §5 “Геометрические построения” содержит пункт “Что такое задачи на построение”, где рассказывается о чертежных инструментах и о том, что значит решить задачу на построение. Схема решения не вводится. В следующих пунктах рассматриваются задачи на построение треугольника с данными сторонами; угла, равного данному; биссектрисы угла; деление отрезка пополам; построение перпендикуляра к прямой. Далее идут пункты “Геометрическое место точек”, в котором вводится определение ГМТ и Теорема о ГМТ, равноудаленных от двух данных точек; а также “Метод геометрических мест”, который раскрывает сущность данного метода. В конце параграфа приводится ряд задач на построение для самостоятельного решения. В основном это задачи на построение треугольника и окружности по данным элементам и задачи на ГМТ. Основная цель §5 — решать простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки (см. Приложение 1).

б) 8 класс: содержит пять параграфов. В конце §6 “Четырехугольники” содержится задача на построении четвертого пропорционального отрезка. Также содержится ряд задач на построение параллелограмма, ромба и трапеции по данным элементам. Основная цель §6 — дать учащимся систематизированные сведения о четырехугольниках и их свойствах (см. Приложение 1). В §9 “Движение” изучаются геометрические преобразования: центральная и осевая симметрии, поворот, параллельный перенос. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. Основная цель §9 — познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований (см. Приложение 1).

в) 9 класс: в §11 “Подобие фигур” изучаются геометрические преобразования: подобие и гомотетия. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. Основная цель §11 — усвоить признаки подобия треугольников и отработать навыки их применения (см. Приложение 1). В §13 “Многоугольники” рассматриваются построения некоторых правильных многоугольников. В конце имеется пара задач: вписать в окружность n-угольник и описать около окружности правильный n-угольник. Основная цель §13 — расширить и систематизировать сведения о многоугольниках и окружностях (см. Приложение 1).

Читайте также:  К чаадаеву анализ какой жанр

3) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [6]

а) 7 класс: содержит три главы. В главе 1 “Начала геометрии” в §5 “Окружность и круг” содержится пункт “Построения циркулем и линейкой”, в котором рассказывается о чертежных инструментах, с помощью которых выполняются задачи на построение. Тут же приводится задача на построение треугольника, стороны которого равны сторонам данного треугольника. Приводится построение, доказательство и исследование, но на общей схеме внимание не заостряется. §6 “Углы” содержит пункт “Построение угла, равного данному, циркулем и линейкой”. Для самостоятельного решения задач нет. В §7 “Действия над углами” рассматривается задача на построение биссектрисы угла, которая решает еще две задачи: в данной точке прямой провести перпендикуляр к ней, построить прямой угол. Также параграф содержит пункт “Задача о делении угла на равные части циркулем и линейкой”, в котором рассказывается о неразрешимости задачи о трисекции угла. Основная цель главы 1 — рассказать о задачах систематического курса геометрии и заложить основу для его построения (см. Приложение 1).

В главе 2 “Треугольники” в §10 “Признаки равенства треугольников” рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними. В §11 “Серединный перпендикуляр” первыми пунктами идут задачи о делении отрезка пополам и о построении перпендикуляра к данной прямой через данную точку, не лежащую на данной прямой. В конце параграфа содержится несколько задач на построение. Основная цель главы 2 — развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, начать знакомство с симметриями фигур (см. Приложение 1).

В главе 3 “Параллельность” в §13 “Параллельные прямые” изучается, как строить параллельные прямые с помощью угольника и линейки. В §14 “Аксиома параллельности” рассматривается задача о построении треугольника по стороне и двум прилежащем к ней углам.

б) 8 класс: содержит три главы. В главе 5 “Метрические соотношения в треугольнике” в § “Применение теоремы Пифагора” содержится пункт “Геометрическое место точек”, где объясняется, что значит, когда про фигуру говорят, что она является ГМТ, обладающих данным свойством. Также приводятся примеры, каким ГМТ являются биссектриса и серединный перпендикуляр. Параграф содержит такие задачи как, например, найти ГМТ, равноудаленных от прямой на данное расстояние; найти ГМТ, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.

в) 9 класс: содержит две главы. В главе 7 “Многоугольники и окружности” в задачах для самостоятельного решения к §31 “Хорды и касательные” содержатся задача на нахождение ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом; задача на построение касательной к окружности из данной точки, общей касательной к двум окружностям. §33 “Правильные многоугольники” содержит пункт “Построение правильных многоугольников” с помощью циркуля и линейки. Также в нем рассказывается о том, что циркулем и линейкой могут быть построены не все правильные n-угольники, а только те, у которых n имеет определенное разложение. Предлагается решить задачи: вписать в окружность различные правильные n-угольники. В §35 “Площадь круга” рассказывается о неразрешимой задаче о квадратуре круга.

В главе 8 “Другие методы геометрии” в §36 “Метод координат” содержится пункт “Окружность Аполлония”, где решение задачи о ГМТ, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть постоянная величина. В §40 “Виды движений” рассматриваются “Метод параллельного переноса”, “Метод симметрии” и “Метод поворота”. Приводятся примеры задач на построение, решение которых основано на данных методах. В задачах для самостоятельного решения к §40 содержатся задачи на отработку изученных методов, в том числе задачи на построение трапеции и треугольника по данным элементам. В §42 “Подобие” рассматривается “Метод подобия”. В качестве примера приводится задача на построение четвертого пропорционального отрезка. В задачах для самостоятельного решения к §42 содержатся задачи на отработку изученного метода, в том числе задачи на построение прямоугольного треугольника по отношению катетов к гипотенузе и по отношению катетов к периметру. А также задачи: построить квадрат, вписанный в треугольник, ромб, сегмент; построить сегмент, вписанный в равносторонний треугольник, квадрат, окружность. Основная цель главы 8 — познакомить учащихся с методами, отсутствовавшими в классической элементарной геометрии, но играющими в современной геометрии ведущую роль: методом координат, векторным методом, методом преобразований (см. Приложение 1).

Учебник содержит пять глав и сборник задач по геометрии.

В главе 1 “Прямая линия” в §1 “Углы ” рассматривается построение перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки. §3 “Треугольники” содержит пункт “Геометрическое место”, где дается определение ГМТ, и приводятся примеры: что является ГМТ серединного перпендикуляра и биссектрисы. Далее следует § 4 “Основные задачи на построение”, где рассматриваются задачи на построение треугольника по трем его сторонам; угла, равного данному; биссектрисы угла; перпендикуляра к прямой из данной точки, лежащей и не лежащей на прямой; серединного перпендикуляра; задача о делении отрезка пополам; построение треугольника по основанию, углу, прилежащему к основанию, и сумме двух боковых сторон. После рассмотренных задач приводится схема решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. В конце §4 имеется блок задач на построение для самостоятельного решения, который содержит задачи на построение суммы, разности углов; деление угла на n частей; построение различных треугольников по различным элементам; разделение данного отрезка на n равных частей; задачи на нахождение ГМТ, равноудаленных от двух данных точек, от трех вершин треугольника, от трех сторон треугольника и т.д. В §5 “Параллельные прямые” рассматривается построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки. §6 “Параллелограммы и трапеции” содержит пункт “Задачи на построение”, в котором рассматриваются методы параллельного переноса, симметрии и примеры задач. Также учащимся предлагается самостоятельно решить задачи на построение трапеций, четырехугольников и треугольников по различным данным элементам, основываясь на изученных методах. В конце главы 1 имеется ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение.

В главе 3 “Подобные фигуры” в §4 “Подобие фигур произвольного вида” имеется пункт “Задачи на построение”, в котором рассматривается метод подобия, но задач на применение метода данный пункт не содержит. В §5 “Некоторые теоремы о пропорциональных отрезках” рассматривается задача о построении четвертого пропорционального отрезка. В §6 “Метрические соотношения между элементами треугольника и некоторых других фигур” рассматривается задача о построении отрезка, среднего пропорционального между двумя данными отрезками. §8 “Тригонометрические функции острого угла” содержит пункт “Построение угла по заданной величине одной из его тригонометрических функций”. В §9 “Понятие о приложении алгебры к геометрии” рассматривается задача о разделении отрезка в среднем и крайнем отношении, а затем следует пункт “Алгебраический способ решения геометрических задач”, который раскрывает алгебраический метод решения задач на построение. Следующим пунктом идет “Построение простейших формул” с помощью циркуля и линейки. В конце главы 3 содержится ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение.

В главе 4 “Правильные многоугольники” в §1 “Правильные многоугольники” рассматривается задача: вписать в данный круг правильный десятиугольник и определить его сторону в зависимости от радиуса. Также далее в пункте “На сколько равных частей можно делить окружность с помощью циркуля и линейки?”, в котором дается указание, как разделить окружность на определенное равное количество частей (и вписать в окружность правильные многоугольники с таким числом сторон).

В главе 5 “Измерение площадей” в §1 “Площади многоугольников” рассматриваются задачи на построение треугольника (квадрата), равновеликого данному; квадрата, площадь которого равна сумме (разности) площадей двух данных квадратов; площадь которого относится к площади данного квадрата, как m:n; разделить данный треугольник на m равновеликих частей прямыми, параллельными его стороне. В §2 “Площадь круга и его частей” приводится пункт, в котором рассказывается о неразрешимой задаче о квадратуре круга. В конце главы 5 содержится блок задач на построение.

В сборнике задач также имеются задачи на построение.

Вывод: В учебниках для 5-6 классов задачи на построение практически не рассматриваются как самостоятельные. Чаще всего это задания на построение фигур по заданным размерам. Процент заданий на построение из всех геометрических заданий: 5 класс — 39%, 6 класс — 34%. В целом картина кажется достаточно отрадной. Однако если учесть, что сам по себе геометрический материал в учебниках не превышает 13-16% от всего содержания учебника, то указанный процент заданий на построение падает до 4-6% [3].

Во всех учебниках по геометрии для 7-9 класса задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7 класса. Осуществляются следующие элементарные построения: деление отрезка пополам; откладывание угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на этой прямой. В качестве метода решения задач на построение в учебниках (кроме учебника [7]) рассматривается метод геометрического места точек. Схема решения приводится в учебниках [7], [8]. В учебнике [6] схема приводится без анализа. В учебнике [5] ее нет.

В 8-9 классах встречаются задания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольные треугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольники особых видов (ромбы, квадраты, прямоугольники) — по сторонам и диагоналям. Рассматриваются приемы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырехугольники.

Алгебраический метод решения задач на построение приводится только в учебнике [8]. В учебнике [6] рассказывается о трисекции угла, квадратуре круга, окружности Аполлония.

В таблице приведен количественный анализ (процент заданий на построение) в учебниках:

источник

Как выглядит анализ урока по ФГОС? Образец рассмотрим позже, сначала выясним особенности современной организации обучения, ее составные части.

Урок, который разрабатывается в полном соответствии со стандартами второго поколения, обладает серьезными отличиями от традиционной формы.

Анализ урока по ФГОС в начальной школе базируется на рассмотрении развития у младших школьников универсальных учебных действий. Эксперт, оценивающий профессиональную деятельность учителя, обращает особое внимание на применение педагогом проблемного обучения.

Схема анализа урока по ФГОС включает пункт, в котором отмечается умение школьников самостоятельно формулировать тему учебного занятия. В основную задачу учителя входит подведение ребят к осознанию темы. Преподаватель только задает уточняющие вопросы, при ответах на которые ученики правильно формулируют цели занятия.

Анализ урока по ФГОС в начальной школе содержит план достижения цели, поставленной в начале занятия.

Школьники выполняют УУД (универсальные учебные действия) согласно плану, разработанному вместе с наставником. Педагог организует фронтальную, парную, индивидуальную деятельность.

Схема анализа урока по ФГОС содержит пункт, в котором отмечается умение учителя предлагать ребятам различные варианты работы, включая и индивидуальные задания.

Среди отличительных характеристик современного урока от традиционной формы выделим наличие взаимоконтроля, а также самоконтроля. Любой анализ урока в школе по ФГОС содержит рефлексию. Основные ошибки, недочеты, пробелы в знаниях, выявленные в ходе проведения самооценки, устраняются школьниками самостоятельно. Ребята проводят оценку не только собственных УУД, но и анализируют достижения своих одноклассников.

На этапе рефлексии предполагается обсуждение достигнутых успехов, а также анализ результативности проведенного занятия.

При составлении домашнего задания педагог учитывает индивидуальное развитие детей, подбирает упражнения и задачи различного уровня сложности, на уроке выступает в роли консультанта, дающего советы ребятам в процессе их самостоятельной деятельности.

Как должен выглядеть анализ урока по ФГОС? Образец схемы, разработанной для новых образовательных стандартов, имеет существенные отличия от классической формы.

Выделим основные пункты, принимаемые экспертами во внимание при оценке современного учебного занятия. Итак, что включает в себя анализ урока по ФГОС? Образец для завуча предполагает наличие целей, организационных действий, видов мотивации школьников. Урок должен в полной мере соответствовать психологическим и физиологическим особенностям, возрасту детей. Анализ открытых уроков по ФГОС составляется на отдельное занятие (мероприятие). В карте экспертом указываются данные педагога, название образовательного учреждения, учебный предмет, методический комплект, тема занятия, а также дата проведения урока.

Как будет выглядеть анализ урока по ФГОС? Образец карты даст ответ на этот вопрос.

Присутствие воспитательной, образовательной, развивающей целей урока. В каком объеме они были достигнуты? Были ли реализованы практические цели, которые учитель поставил перед учениками?

Как было организовано занятие? Логика, структура, тип, временные рамки, соответствие выбранной структуре методов для проведения занятия.

Что еще включает в себя анализ урока по ФГОС? Образец для завуча содержит блок о формировании познавательного интереса школьников к изучаемой учебной дисциплине.

  1. Варианты мотивации, применяемые педагогом в процессе занятия.
  2. Соответствие проведенного урока требования образовательных стандартов второго поколения. Ориентированность на ФГОС. Развитие универсальных учебных действий. Использование современных педагогических технологий: проектной, исследовательской, ИКТ (информационно-коммуникационных технологий).

Оценивается целесообразность научного подхода к рассматриваемому материалу, соответствие уровня преподавания возрастным особенностям школьников, школьной программе.

Любой анализ урока по ФГОС, образец которого мы рассмотрим позже, подразумевает проявление познавательной активности и степени самостоятельности школьников путем моделирования учителем различных проблемных ситуаций. Для их разрешения ребята используют собственный жизненный опыт; осуществляется связь теоретической базы с практическими учебными действиями.

В уроке должны содержаться межпредметные связи, а также логическое использование материала, изученного на предыдущих занятиях.

Эксперты оценивают актуализацию способов деятельности имеющихся у школьников знаний. Анализируется создание во время урока проблемных ситуаций, уточняющих вопросов — приемов, используемых педагогом во время работы. Сравнивается продолжительность репродуктивной и поисковой деятельности, объем самостоятельной работы школьников.

Читайте также:  Виды экономического анализа какой прогноз

Особое место в анализе отводится применению во время занятия диалога, принципа дифференцированного обучения, нестандартных ситуаций, обратной связи между учителем и ребенком, грамотного сочетания нескольких видов деятельности.

Оценивается наличие наглядных демонстрационных материалов, способствующих повышению мотивации, полному выполнению задач, поставленных в начале учебного занятия, их соответствие с целями и задачам урока.

Отдельное внимание при анализе урока по ФГОС отводится рассмотрению психологических организационных моментов: учета индивидуальности каждого ребенка, направленности действий педагога на развитие мышления, памяти, воображения, чередование заданий различной степени сложности, наличие эмоциональной разгрузки детей.

Например, анализ урока «Окружающий мир» по ФГОС предполагает не только суммирование количества баллов по каждому пункту, но и дополнительные пояснения экспертов.

При полном соответствии проведенного урока (занятия) всем требованиям карты ФГОС специалисты выставляют максимальное количество баллов. Если критерии выполнены педагогом частично или не выполнены совсем, ему выставляется от 0 до 1 балла.

В графе об организации урока эксперты учитывают многообразие форм учебных занятий: усвоение новой информации, комплексное использование УУД, актуализацию, обобщение навыков, контроль, коррекцию.

В графе о соответствии занятия требованиям ФГОС анализируются УУД. Эксперт рассматривает умения по группам: регулятивные, познавательные, коммуникативные, личностные качества.

Например, анализ урока чтения по ФГОС предполагает формирование всех УУД, но особое внимание уделяется личностным качествам.

Автор учебника – Г. Е. Рудзитис.

Общее количество баллов – 24 балла.

Краткий анализ результативности

Основные цели урока достигнуты, реализованы в ходе учебного занятия (2 балла).

Представлен урок объяснения нового материала, имеющий логическую структуру, оптимальное соотношение этапов по времени (2 балла).

Мотивация обеспечивается путем применения демонстрационного и индивидуального эксперимента (2 балла).

Данный урок ориентирован на ФГОС, соблюдены дидактические принципы, осуществляется формирование универсальных учебных навыков (2 балла).

Во время занятия педагог применяет современные технологии: проектную и исследовательскую деятельность, ИКТ (2 балла).

Материал урока соответствует возрастным особенностям школьников (2 балла).

Прослеживается связь между теоретическими знаниями и их практическим применением, особое внимание уделяется самостоятельной деятельности, развитию познавательной активности (2 балла).

При формировании новых умений и навыков учитель ориентируется на ранее изученный материал (2 балла).

Во время занятия для школьников создаются проблемные ситуации, учитель формулирует специальные вопросы, направленные на необходимость принятия учащимися самостоятельного решения (2 балла).

Педагог использовал метод проблемного обучения, дифференциальный подход, проектную и исследовательскую деятельность, сочетал задания репродуктивного характера с творческими задачами, направленными на развитие логического мышления школьников (2 балла).

Самостоятельная работа была пояснена в полном объеме, предполагала поиск информации, наблюдение, практические опыты, сравнение полученных результатов (2 балла).

На протяжении урока ощущалась качественная обратная связь между учениками и наставником, комфортный психологический климат (2 балла).

Для того чтобы урок, проводимый по требованиям новых федеральных образовательных стандартов, считался результативным и эффективным, преподавателю необходимо иметь представление о критериях, которые им должны быть выполнены. Схема анализа занятия по ФГОС позволяет педагогу проводить самоанализ, выявлять проблемы в работе, устранять их до того, как оценкой его деятельности начнут заниматься профессиональные эксперты.

источник

Литература : Арсентьев A. И., Oпределение производительности и границ карьеров, M., 1970; Pжевский B. B., Tехнология и комплексная механизация открытых горных работ, 3 изд., M., 1980; Xохряков B. C., Проектирование карьеров, 2 изд., M., 1980.

C. Д. Kоробов.

Геометрический космос (Мануэлла Лоджевская, Илья Бузукашвили) Не каждый смотрящий на звезды увидит такую картину. Темно-синие мерцающие небеса и освещенная неярким, но уверенным светом земля. Межзвездное пространство — глубокое, таинственное, неисчерпаемое. Его

Геометрический анализ стороны, угли, центр, ребра Геометрический анализ фигур недоступен маленьким детям. Я пыталась облегчить введение в подобный анализ, ограничив работу прямоугольником, и придумала игру, заключающую в себе анализ, не напрягающий чрезмерно внимания

Глава 15 Геометрический элемент До какой степени геометрический элемент или форма построения боевых сил на войне может обратиться в господствующий принцип, мы можем видеть на долговременной фортификации, где геометрия почти исключительно обслуживает все — от малого до

Глава пятнадцатая. Геометрический элемент До какой степени геометрический элемент или форма построения боевых сил на войне может обратиться в господствующий принцип, мы можем видеть на долговременной фортификации, где геометрия почти исключительно обслуживает все — от

Геометрический аппендикс Скрипачи в научных кругах встречаются сплошь и рядом, вспомним хотя бы Эйнштейна! Так вот, венгерский математик Янош Бойяи тоже неплохо владел смычком. И к математическим проблемам подошел так же виртуозно и вдохновенно.Бойяи слыл блестящим

2.7. Геометрический калькулятор Геометрическим калькулятором называют механизм получения количественной информации о параметрах и взаимном расположении объектов с целью использования ее при построении других объектов.Например, при помощи геометрического

Вопрос 47. Анализ дела доверителя. Фактическая и правовая основа. Анализ доказательств. Честное, разумное и добросовестное оказание юридической помощи в любой форме, будь то консультирование, составление различных документов, представление интересов или защита в рамках

4. Анализ сильных и слабых сторон проекта, его перспектив и угроз (SWOT-анализ) При оценке целесообразности запуска нового проекта играет роль совокупность факторов, причем не всегда финансовый результат имеет первостепенное значение. Например, для выставочной компании

3.2. Где командный центр, или Геометрический психоанализ фигуры Шпаги звон, как звон бокалов. Из песни «Кто на новенького?» Расчленив идею, не сохранишь команды. Назидание командорам и команданте Против всех! И все за одного! Политические баталии в детском саду С

Глава XV. Геометрический элемент До какой степени геометрический элемент, или форма построения боевых сил на войне может обратиться в господствующий принцип, мы можем видеть на долговременной фортификации, где геометрия почти исключительно обслуживает все – от малого

Геометрический анализ фигур: стороны, углы, центр, ребра Геометрический анализ фигур недоступен маленьким детям. Я пыталась облегчить введение в подобный анализ, ограничив работу прямоугольником, и придумала игру, заключающую в себе анализ, не напрягающий чрезмерно

30. Геометрический смысл уравнения Бернулли Основу теоретической части такой интерпретации составляет гидравлическое понятие напор, которое принято обозначать буквой Н, где Гидродинамический напор Н состоит из следующих разновидностей напоров, которые входят в

источник

Математика/4. Прикладная математика

Ученица 7 класса Кабанова Е. В.,

учитель математики высшей квалификационной категории Шарова С. Г.

Муниципальное образовательное учреждение гимназия г. Урюпинск, Россия

Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчас могут показаться не очень интересными и нужными, какими-то надуманными. И в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, или даже просто сделать построение параллельной прямой. Современные технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при помощи циркуля и линейки.

И все же без задач на построение геометрия перестала бы быть геометрией. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии.

В чем же особенность этих задач? Задачи на построение не просты. Не существует единого алгоритма для решения всех таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а, порой, практически невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

Цель работы : разработать рекомендации при решении задач на построение с помощью циркуля и линейки, провести условное разбиение задач на классы, определяемые методами решения.

Объект исследования : построение с помощью циркуля и линейки в курсе основной школы.

Предмет исследования: решение задач на построение.

Гипотеза : применение разработанных рекомендаций при решении задач на построение будет способствовать наиболее эффективному творческому поиску путей решения при изучении геометрии в курсе основной школы.

1. Рассмотреть основные этапы решения задач на построение.

2. Рассмотреть методы решения задач на построение,

3. Подобрать наиболее эффективный способ построения в каждом конкретном случае.

Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры. Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи. Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.

Это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру.

Второй этап – построение – состоит из двух частей: 1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи; 2) непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.

Третий этап – доказательство.

После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения.

Четвертый этап – исследование.

При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования.

К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:

1. Метод геометрических мест.

2. Методы геометрических преобразований:

2.1. Метод центральной симметрии

2.2. Метод осевой симметрии

2.3. Метод параллельного переноса

Каждому методу сопоставляется определенный класс задач (См. Приложение). Однако провести классификацию задач на построение по методам их решения нельзя. Это следует уже из того, что многие задачи допускают несколько методов решения. Поэтому можно говорить лишь об условном разбиении задач на построение на классы, определяемые их методами решения.

В данной работе рассмотрены некоторые из этих методов и задачи, решаемые с их помощью. Выполняя поставленную перед собой цель, мы прорешали множество задач на построение, пользуясь при этом дополнительной литературой, задачниками, выяснили, какие способы можно использовать при решении таких задач. Мы узнали много нового о различных методах решения, поняли, что задачи на построение развивают математическую интуицию, учат логически мыслить и искать нестандартные пути решения не только математических задач.

Математическая сущность методов геометрических мест состоит в том, что искомая точка определяется как точка пересечения некоторых двух геометрических мест (или иногда как точка пересечения некоторого геометрического места с данной прямой или окружностью). При этом те условия задачи, которые определяют положение искомой точки, расчленяются мысленно на два условия, и каждое из них дает некоторое геометрическое место, построение которого оказывается возможным (иногда одно из этих геометрических мест заменяется непосредственно данной прямой или окружностью).

Основа данного метода – понятие геометрического места точек. Геометрическим местом точек (ГМТ) пространства, обладающих данным свойством, называется множество всех точек пространства, каждая из которых обладает этим свойством.

Сущность метода геометрических мест заключается в следующем:

1. Задача сводится к построению некоторой точки.

2. В ыясняется, какими свойствами обладает данная точка.

3. Рассматривается одно из свойств, строится множество всех точек, обладающих этим свойством.

4. Берется следующее свойство и так далее.

5. Поскольку искомая точка должна обладать всеми этими свойствами, то она должна принадлежать каждому из построенных множеств, то есть принадлежит пересечению этих множеств.

Задача на построение. Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов В и А, высоте В D и стороне АС.

Дан угол, представляющий сумму углов А и В, отрезок АС и отрезок В D . Требуется построить такой треугольник АВС, в котором угол С1= 180 0 — (угол А1+ угол В1), высота B 1 D 1 равна отрезку В D ,сторона А1С1 равна отрезку АС.

Допустим, что такой треугольник построен. Нам известна сумма углов А и В => мы можем найти угол С1. Затем построим ∆СВ D по катету и противолежащему углу. А потом достроим ∆АВС.

2. Построить перпендикуляр (прямая b ) к прямой а.

3. Отложить отрезок В1 D 1 , равный В D .

4. Построить отдельно угол С1= 180 0 — ( угол А1+ угол В1).

5. Построить угол В1=90 0 — угол С1.

7. На прямой b провести окружность R =АС и с центром С1.

1. В D = B 1 D 1 (по построению).

2. угол С1= 180 0 -( угол А1+ угол В1)(по построению).

источник