Меню Рубрики

Как оформлять анализ по геометрии

Методика работы с планиметрической задачей на доказательство.
методическая разработка по геометрии на тему

Из опыта работы на курсах повышения квалификации. Методика работы с планиметрической задачей на доказательство.

Вложение Размер
этапы обучения и методические рекомендации 30 КБ
Вопросы, связанные с проблемами учащихся по решению геометрических задач и ответы на них. 50 КБ

Методика работы с планиметрической задачей на доказательство.

1. Анализ условия и построения чертежа.

Цель : краткая запись и чертёж ( тем самым обнаруживаем связь между данными и искомыми)

  1. Какого типа эта задача?
  2. Какие фигуры участвуют в задаче?
  3. что известно о них?
  4. что требуется доказать?

Чертёж появляется одновременно с краткой записью.

2. Поиск путей доказательства.

Цель : составление плана решения задачи.

Какими путями осуществляется? (анализом и синтезом)

  • Чем пользуемся для доказательства?
  • Что нужно найти, чтобы доказать?
  • Как мы доказываем равенство отрезков?(через треугольники)
  • Какие треугольники можно рассмотреть для этого?( заштриховываем)
  • Чем пользуемся для доказательства равенства треугольников?( признаками)
  • Сколько пар равных элементов необходимо найти? Почему?
  • Какие равные элементы мы имеем по условию задачи?
  • Каких равных элементов нам не хватает?

Поиск решения оформляется в виде граф- схемы. С её помощью составляется план решения задачи. (Составлением плана заканчивается этот этап)

Цель получить обоснованную запись реализации плана решения задачи.

Планы составляем учитывая, что этапы должны быть крупные, их не должно быть много. (Делим их по признаку: С какими фигурами работаем сначала? Зачем? Почему? Какой вывод?)

Оформлять удобно с помощью трафарета.

Рассм ∆… и ∆… В них:

Цель: 1) найти иные способы решения

2) узнать всегда ли задача имеет решение

На каком этапе работы с задачей на доказательство можно обнаружить другие способы решения?

— на этапе поиска путей доказательства.

Вопрос итогов по задаче: — Что полезного можно извлечь из работы с этой задачей?

Вопросы, связанные с проблемами учащихся по решению геометрических задач и ответы на них.

1. Как научить учащихся правильно делать чертёж и наносить на него данные задачи?

Все варианты, появившиеся у учащихся чертежей, выносятся на доску; далее следует обсуждение:

  • Какая фигура участвует в задаче? На всех ли рисунках правильно изображена эта фигура?
  • Что известно об этой фигуре? Верно ли, что на всех чертежах выделено именно это данное?(стираем те, которые не подходят) Обсудить возможные варианты выделения этого данного. Соответствует ли данная величина чертежу?( если нет, попытайтесь перестроить чертёж так, чтобы оно соответствовало) И т.д. по всем данным задачи.
  • Что требуется определить? Верно ли отмечено требование задачи?
  • Кроме этого при формировании того или иного математического понятия учим учащихся наносить на чертёж это понятие.
  • Обращаем внимание на одновременность анализа условия и построения чертежа.

« Какой фигуре идёт речь? Как её построить? Как отметить на чертеже, что построена именно эта фигура? И т. Д.»

  • Полезно этап анализа условия задачи завершать советом: «Проверьте, все ли данные нанесены на чертёж?»

2. Как научить учащихся подбирать теорию, которую можно использовать при решении той или иной задачи?

  • После изучения любого нового теоретического факта задавать вопрос: «Какие задачи позволяет решать эта теория?»
  • Удобно вести специальные книжечки, одна из страничек которых, например имеет следующий заголовок:

1 Что может быть известно, чтобы можно было найти углы треугольника?

Вид; углы при основание равнобедренного треугольника; угол в прямоугольном треугольнике; и т.д.

2 Что может быть известно, чтобы можно было найти длину отрезка?

3 Из каких условий можно сделать вывод о параллельности.

3. Каким образом выбирается метод решения?

У каждого метода есть свои признаки, их называют через ситуации.

Метод от противного : можно ли, будет ли, верно ли.

Алгебраический метод : когда не хватает данных

Но есть универсальные методы: координатный и векторный.

4. Как вести поиск способа решения сложной задачи?

Письменно вести диалог с самим собой:

Какие вопросы желательно задавать самому себе?

1 Что можно найти по данным задачи?

Отметить на рис. То, что можно было бы вычислить

2 Что можно найти в _, если известны ____?

3. Что надо знать, чтобы можно было найти?

4. Откуда в принципе я смогу ответить на вопрос?

Список идей, возникает набор теоретических фактов

5. Как можно иначе посмотреть на чертёж?

6. Как можно сказать об этих условиях, об этих словах, которые участвуют

7 Построить как можно более точный чертёж

Высказать гипотезы (похоже ,этот элемент будет…)

Основные методы решения геометрических задач.

Все задачи можно разбить на три группы:

Метод вспомогательной величины

Метод вспомогательного треугольника

Метод геометрических мест

Метод геометрических преобразований:

Использование теорем –признаков

Некоторые задачи требуют применения комбинации методов; задачи различных видов используют метод дополнительных построений, координатный и векторный методы.

Схема решения задач методом от противного.

  1. предполагаем противоположное тому, что требуется доказать.
  2. доказать, что в этом случае получается противоречие либо с условием, либо с каким-то шагом.
  3. сделать вывод о том, что раз предположение не верно, то верно то, что требуется доказать.

Схема решения задач методом доказательства через равенство фигур.

  1. выбрать треугольники, содержащие данные фигуры
  2. определить сколько пар равных элементов надо найти: а) 2 б) 3
  3. доказать равенство элементов
  4. сделать вывод о равенстве треугольников на основании соответствующего признака и вывод о равенстве фигур.

Схема решения задач векторным методом

  1. Ввести основные вектора , причём таким образом, чтобы о них по условию задачи было что-то известно. Иногда берут один дополнительный вектор.
  2. Нужные векторы выразить через основные . Для этого выбирают обходной путь» из начала вектора в его конец, а затем каждый участок пути стараются выразить через основные, пользуясь следующим правилом:
  • Вектор, противоположный вектору а — это вектор –а
  • Вектор, коллинеарный вектору а — вектор λа
  • Любой ненулевой вектор можно представить в виде суммы коллинеарных векторов
  1. Сформулировать задачу с помощью векторов, решить её, сделать вывод без использования векторов .

Схема решения задач координатным методом.

  1. Выбрать систему координат
  2. Найти координаты нужных точек или составить уравнения нужных фигур
  3. Сформулировать задачу с помощью координат, решить её и сделать вывод без использования координат.

Схема решения задач методом вспомогательной величины ( задача решена методом вспомогательной величины если в решении введена некоторая величина или данное, но нет уравнения).

  1. ввести вспомогательную величину
  2. выразить через неё другие величины
  3. ответить на вопрос задачи.

Учебно методический комплект прикладного курса «Решение планиметрических задач» состоит из методического руководства, рабочей тетради для учащихся и рабочей программы прикладного курса. В.

(подборка планиметрических задач, охватывающие в своем решении наиболее важные теоремы планиметрии).

Урок геометрии в 11 классе с использованием групповой и парной работы.

Данный урок может являтся завершающим в повторении планиметрических задач группы В. Цели урока: Совершенствовать навыки решения планиметрических задач, повторить признаки равенства и подобия треуголь.

Цель урока: обеспечение усвоения сведений об окружности Тип урока: Обобщение знаний об окружности. Решение всех типов задач ЕГЭ. Методы: Объяснительно-иллюстративный. Вид урока: теоретических и пра.

Из опыта работы на курсах повышения квалификации. Методика работы с планиметрической задачей на доказательство. Геометрия 7 класс.

Вматериале указаны цели изадачи подготовки выпускников к ОГЭ по математике. Предложена подборка планиметрических задач по геометрии по темам 7-9 класса.

источник

При изучении курса элементарной геометрии большое значение, бесспорно, занимают задачи на построение. Трудно переоценить роль задач на построение в формировании математического мышления школьников. Однако констатирующее исследование [1-3] показало, что задачи на построение вызывают значительные трудности у школьников и студентов физико-математического факультета. Наибольшую трудность вызывают этап анализа и этап исследования в задачах такого вида. На наш взгляд, это связано с тем, что, во-первых, задачи на построение часто являются задачами повышенной трудности, так как требуют для своего решения введения дополнительных (вспомогательных) построений; во-вторых, с недостатком внимания как школьных учителей математики, так и преподавателей геометрии к задачам такого рода; в-третьих, с недостаточной разработанностью методики решения таких задач.

Некоторые вопросы методологии геометрических построений на плоскости циркулем и линейкой рассмотрены в трудах А.А. Адлера, И.И. Александрова, Г.Г. Масловой, Г.М. Олифера, Д.И. Перепелкина, Г.П. Сенникова, А.С. Смогоржевского, Н.Ф. Четверухина, С. Шатуновского, Г.Х. Воистиновой. Один из аспектов обучения решению задач на построение, в частности задач на построение практического содержания, рассмотрен нами в работах [2; 3].

Вопросы же методики обучения проведению этапа анализа и исследования в задачах на построение, введения вспомогательных линий при решении задач такого вида и многие другие вопросы, связанные с обучением решению задач на построение, до сих пор в научно-методической литературе слабо разработаны.

Таким образом, проблема обучения школьников и будущих учителей математики решению задач на построение является важной и не достаточно разработанной.

В данной статье рассматривается сущность задач на построение и методика обучения процессу поиска их решения на этапе анализа с помощью системы наводящих вопросов и разработанного правила-ориентира.

Как и в традиционной методике, задачей на построение будем считать «математическое предложение, указывающее, по каким данным, какими средствами (инструментами) и какой геометрический образ (точка, прямая, окружность, треугольник, совокупность точек и так далее) требуется найти (начертить, построить на плоскости, наметить на местности и так далее) так, чтобы этот образ удовлетворял определенным условиям» [1, с. 58].

Итак, сущность задач на построение не исчерпывается указанием данных и формулировкой того, что требуется найти. Важное значение имеет также указание на те средства, с помощью которых задача должна быть решена, на те инструменты, при помощи которых построение должно быть выполнено. В зависимости от того, какие инструменты имеются в виду, смысл одной и той же задачи коренным образом меняется.

Итак, решение задач на построение сводится к выполнению некоторых операций с помощью чертежных инструментов. Решить задачу на построение – по заданным в условии задачи элементам (точкам, прямым, окружностям и так далее) найти искомые элементы, удовлетворяющие сформулированным в условии задачи требованиям. Обычно эти требования указывают отношения, в которых должны находиться искомые элементы друг с другом или с заданными элементами.

В теории геометрических построений (в так называемой конструктивной геометрии) «инструментами» построений являются специально сформулированные (обычно в виде аксиом) соглашения, условия «конструктивности». Если для некоторого множества точек эти условия выполнены, то точки множества считаются построенными («конструктивными»). Таким образом, средства построения в строгих геометрических построениях – абстракции, а сами построения – логические операции, ссылки на те или иные аксиомы и их следствия. Можно ввести сколько угодно и каких угодно абстрактных инструментов, стоит только сформулировать соответствующую систему аксиом. Теория геометрических построений описана в работах А. Адлера, А.С. Смогоржевского, Н.Ф. Четверухина, С. Шатуновского.

Следует заметить, что не всякая задача, решенная математически, является задачей, решенной «конструктивно». Задача установления, какие элементы можно отнести к классу «конструктивных», решается с помощью аксиом инструментов.

Таким образом, решить задачу на построение с помощью тех или иных инструментов – значит свести ее к конечному числу «элементарных построений». Перечень этих элементарных построений и характеризует тот или иной комплекс инструментов.

С принципиальной точки зрения решение любой задачи на построение с помощью инструментов означает сведение ее к конечному числу элементарных операций. Однако такое сведение практически неудобно, так как делает решение более сложных задач громоздким. Чаще задачи сводятся не к самим элементарным построениям, а к типичным, часто встречающимся, задачам на построение. Эти задачи называют основными задачами на построение.

Классическая схема решения задач на построение состоит из четырех пунктов, которые принято называть этапами решения задачи на построение: анализ; построение; доказательство; исследование.

Анализ задачи – это отыскание способа ее решения, то есть составление плана: какие и в какой последовательности необходимо выполнить известные уже построения, чтобы построить искомую фигуру. Но анализ должен преследовать и вторую цель – установить полную общность найденного решения. Ошибка в анализе может приводить к потере части решения. Рассуждения в анализе проводятся по-разному, в зависимости от применяемого метода решения, но этот этап всегда должен заканчиваться формулированием плана построения.

Читайте также:  Как сдавать анализ на степень чистоты

Как уже было отмечено, цель анализа – найти искомый геометрический образ (фигуру, которую необходимо построить), используя данные в условии элементы. При этом геометрический образ может быть четырех видов: точка, прямая (отрезок), окружность, многоугольник (угол). Для построения геометрического образа достаточно построить его «узловые точки»: для прямой – любые две точки прямой; для окружности – центр и любые две точки, определяющие величину радиуса; для многоугольника – вершины многоугольника (вершина угла и любые две точки, лежащие на сторонах многоугольника) и т.п.

Итак, этап анализа является наиважнейшим этапом процесса решения задач на построение. Причем полноценный анализ должен удовлетворять нескольким требованиям:

· он должен, безусловно, позволить решить задачу, то есть должна существовать практическая возможность осуществления тех построений, которые указаны в анализе, хотя бы при некоторых соотношениях между данными в условии элементами;

· он должен быть наипростейшим из возможных способов решения данной задачи (с учетом, конечно, средств построения и запаса теоретических знаний у решающего задачу);

· он должен удовлетворять требованиям полноты, то есть должен обеспечивать все решения данной задачи, которые она вообще может иметь.

Бесспорно, что, решая задачу, уже на этапе анализа необходимо всемерно стремиться к тому, чтобы установить не какой-нибудь способ решения задачи, а наиболее полноценный, то есть удовлетворяющий трем требованиям. Однако удовлетворить этим требованиям уже на этапе анализа бывает часто трудно.

Рассмотрим методику решения задач на построение, разработанную автором.

Итак, создав на чертеже-наброске треугольники, остается выбрать из них подходящий вспомогательный треугольник и установить с его помощью способ решения задачи.

В качестве вспомогательного треугольника необходимо выбрать тот из числа созданных на чертеже-наброске треугольников, который: во-первых, содержит наибольшее число «узловых точек» искомого геометрического образа, а, во-вторых, способ построения которого наиболее простой. Соблюдая эти требования, можно будет установить наиболее простой способ решения данной задачи методом вспомогательного треугольника.

Как только выбор вспомогательного треугольника произведен, то установление с его помощью способа решения задачи обычно никаких затруднений не вызывает. Остальные точки искомого геометрического образа можно, как правило, найти, используя метод геометрических мест и данные по условию элементы.

В силу всего вышесказанного система наводящих вопросов, направляющая деятельность учащихся и студентов при проведении анализа задачи, может быть следующей.

1. Достаточно ли для проведения анализа первоначального чертежа-наброска?

2. Какому критерию допустимости геометрических преобразований соответствуют элементы, данные в условии (критерии рассмотрены в работе [1])?

3. Какой метод (методы) преобразования фигуры в силу этого критерия можно выбрать?

4. Каким образом теперь дополнить чертеж-набросок, учитывая выбранный метод преобразования?

5. Какие треугольники на чертеже-наброске образовались?

6. Какой из этих треугольников выбрать в качестве вспомогательного для решения данной задачи?

7. Как построить этот вспомогательный треугольник (вспомнить основную задачу)?

8. Сколько «узловых точек» искомой фигуры будет определено построением вспомогательного треугольника?

9. Какие «узловые точки» искомой фигуры остались неопределенными?

10. Какие элементы из числа данных в условии задачи не потребовались для построения вспомогательного треугольника?

11. Как построить остальные «узловые точки» искомой фигуры, предполагая вспомогательный треугольник построенным?

12. Все ли «узловые точки» теперь определены?

Следует отметить, что в данной статье автор приводит только обобщенную систему наводящих вопросов и обобщенное правило-ориентир. Система наводящих вопросов и правило-ориентир для каждого из классов задач на построение (основные задачи, простые задачи на построение, сложные задачи на построение, не требующие введения дополнительных линий, сложные задачи на построение, требующие введения дополнительных линий) описаны в работе [1].

Полученная система наводящих вопросов приводит к обобщенному правилу-ориентиру.

Чтобы решить задачу на построение, необходимо:

1. Выполнить чертеж-набросок по условию задачи в предположении, что задача решена и искомая фигура построена (используя правила построения чертежа-наброска).

2. Установить, какие «узловые точки» необходимо «знать» для построения искомой фигуры (для отрезка достаточно знать два его конца, для прямой — любые две точки этой прямой, для многоугольника – все вершины этого многоугольника, для окружности — центр и любые две точки, определяющие величину радиуса этой окружности).

3. Выяснить, все ли элементы, данные в условии, изображены на чертеже-наброске. Если какие-либо элементы изображены неявно, задача требует для своего решения введения дополнительных построений; в этом случае перейти к пункту 8.

4. Найти на чертеже-наброске все элементы: точки, углы, отрезки и тому подобное, которые не даны непосредственно на чертеже-наброске, но легко определяются, используя данные в условии элементы и соотношения, связывающие эти данные (при этом полезно названия элементов сопровождать их различными определениями и выявлением их существенных свойств).

5. Найти такую часть искомой фигуры на чертеже-наброске (точка, угол, отрезок, дуга, треугольник), которая:

а) включает в себя «узловые точки» искомой фигуры;

б) может быть построена по известным элементам;

в) дает возможность построить искомую фигуру (ее «узловые точки»).

Целесообразнее всего в качестве такой части выбрать, если он присутствует на чертеже-наброске, треугольник, у которого хотя бы одна вершина совпадает с «узловыми точками» искомой фигуры.

6. Выяснить, какие «узловые точки» искомой фигуры остались еще неопределенными, и как они могут быть построены, выясняя их положение по свойствам, вытекающим из связей с известными элементами.

Для отыскания каждой точки можно использовать метод геометрических мест. Суть его такова: найти две линии, на пересечении которых и лежит данная точка.

7. Если положение остальных «узловых точек» не определяется, выяснить, используя критерий, достаточно ли для проведения анализа чертежа-наброска.

8. Необходимо ввести дополнительные линии, если данных на чертеже-наброске не достаточно:

а) не все элементы, данные в условии, изображены на чертеже-наброске явно;

б) нет построенных треугольников на чертеже-наброске.

9. Определить вид задания элементов в условии задачи и выбрать, используя критерии допустимости геометрических преобразований, необходимый метод (методы) геометрического преобразования фигур.

10. Дополнить чертеж-набросок, используя выбранный метод (методы) преобразования фигур, и проверить, полезна ли построенная дополнительная линия (линии) для решения, путем применения пунктов 4-6.

11. Выбрать вспомогательный треугольник из числа всех образовавшихся после преобразования чертежа-наброска строимых треугольников. В качестве вспомогательного треугольника необходимо выбрать такой треугольник, у которого:

а) наибольшее число вершин совпадает с «узловыми точками» искомой фигуры;

б) способ построения которого самый простой.

Рассмотрим решение задачи.

Задача 1. Построить прямоугольный треугольник по его гипотенузе и сумме катетов.

источник

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели уроков:

Образовательные:

  • Познакомить учащихся с основными задачами на построение с использованием циркуля и линейки без делений;
  • Рассмотреть основные геометрические построения: деление отрезка пополам, построение угла равного данному, построение биссектрисы угла, построение перпендикуляра к прямой.

Развивающие:

  • развивать память, внимание, логическое мышление
  • развить практические умения и навыки в использовании чертёжных инструментов при решении геометрических задач.

Воспитательные:

  • сформировать познавательный интерес к предмету;
  • продолжить формирование культуры общения и коммуникативных умений учащихся;
  • повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

Тип уроков: урок ознакомления с новым материалом, урок отработки практических навыков, урок закрепления навыков и умений.

1. Вступительная лекция:

  • Исторические сведения;
  • Инструменты для построения;

2. План решения задач на построение;

3. Выполнение простейших задачи на построение;

4. Решение задач на построение;

5. Примеры задач на построение

1. Вступительная лекция (слайд 3):

Задачи на построение вошли в практику задолго до того, как геометрия и вообще математика стала настоящей теоретической наукой. И в Вавилоне, и в Древнем Египте в IV-II тысячелетиях до н.э. уже существовала практическая математика (в виде правил записи чисел, т.е. системы счисления, и правил различных вычислений), и практическая геометрия — геометрия в изначальном смысле слова: измерение земли. Но и при измерениях, и при строительных работах нужны были построения. Египтяне, по-видимому, знали, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный, так что с помощью веревки, разделенной узлами на 12 = 3 + 4 + 5 частей, можно построить прямой угол. Древние греки так и называли египетских геометров «гарпедонаптами» — дословно, «натягивателями веревок». С другой стороны, уже вавилоняне рассматривали геометрические задачи теоретического характера, использовали подобие фигур, знали «теорему Пифагора» более чем за тысячу лет до Пифагора. Однако математические и геометрические знания в Вавилоне, Египте, да и в Греции вплоть до VII в. до н.э. были эмпирическими, основанными только на опыте и наблюдениях.

Геометрия как наука, да и вообще наука как таковая, появилась во времена Фалеса (VII-VI вв. до н.э.), который впервые осознал необходимость доказательства математических теорем. После Аристотеля (IV в. до н.э.) название «геометрия» закрепилось за математической наукой, а «землемерию» было дано свое наименование: «геодезия» — деление, межевание земель. К концу IV века до н.э. в математике, которая и сводилась, главным образом, к геометрии, накопилось много понятий, фактов, доказательств, методов и даже теорий — таких, как метод исчерпывания и теория отношений Евдокса, теория конических сечений и др. Аристотелем уже были разработаны основные принципы построения общей аксиоматической теории. И на рубеже IV и III веков Евклид создал 13-томный труд, «Stoicheia» — стихии, элементы по-гречески, «Elementa» (элементы) на латыни, «Начала» по-русски. «Начала» вот уже третье тысячелетие служат образцом научного трактата (аксиоматического изложения теории) и учебника, и не только по геометрии.

Зачем Евклиду потребовались построения? Зачем вообще в геометрии построения? Зачем нужно учиться решать задачи на построение (Евклид называл их проблемами, в отличие от теорем)?

Доказательства, да и вычисления в геометрии, как правило, опираются на какие-то дополнительные построения. Конечно, их можно просто описать, но нужно быть уверенными, что они действительно возможны. Еще важнее то, что определения геометрических объектов и понятий при строгом изложении теории должны сопровождаться доказательствами их существования. А главный метод доказательства существования в геометрии — конструктивный, т. е. построение нужного объекта с последующим доказательством, что построенный объект удовлетворяет нужным условиям.

Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.

Несмотря на богатое историческое прошлое, проблема решения задач на построение остается актуальной и в 21-м веке. В наше время бурно развиваются компьютерные технологии с применением графических редакторов для рисования геометрических объектов. Средства создания геометрических объектов изменились в связи с появлением новых компьютерных технологий. Однако, как и в глубокой древности, основными элементами при построении геометрических объектов остаются окружность и прямая, другими словами циркуль и линейка. С появлением новых компьютерных технологий возникли новые проблемы построения с использованием тех же объектов — прямой и окружности. Вот почему проблема решения задач на построение становится ещё более актуальной.

Инструменты для построения: (слайд 4):

Инструменты, употребляемые для выполнения геометрических построений, весьма разнообразны. К основным инструментам принадлежат линейка и циркуль, служащие для проведения прямых линий, одиночных, параллельных и перпендикулярных, и окружностей. Угольник есть вспомогательный инструмент, так как, имея линейку и циркуль, можно строить параллельные и перпендикулярные прямые. К вспомогательным инструментам относится также миллиметровая шкала, которую можно построить с помощью циркуля и линейки, отложив на прямой линии циркулем одинаковые сантиметровые отрезки и разделив каждый из этих отрезков на 10 равных между собою частей. Транспортир есть уже самодеятельный инструмент, так как точное в геометрическом смысле градуирование любой дуги на произвольное число равных частей с помощью линейки и циркуля невозможно.

Читайте также:  Как сдавать анализ на токсоплазмоз при беременности

С глубокой древности повелось допускать к исполнению геометрических построений только циркуль и линейку, т. е. приборы, позволяющие проводить прямые линии и окружности.

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки — это задачи, в которых были очень сильны древнегреческие математики. Линейка считается без делений, даже если они на ней указаны. С помощью линейки можно проводить прямые линии, но нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя также, пользуясь ее краями, проводить параллельные линии. Таким образом, линейку можно использовать для проведения произвольной прямой, прямой через данную точку, прямой через две данные точки.

С помощью циркуля можно провести произвольную окружность, можно провести окружность с данным центром и данного радиуса. Можно также на данной прямой отложить отрезок, равный данному.

2. План решения задач на построение (слайд 5)

Решение задач на построение — это описание последовательности шагов с использованием основных простейших построений, которая приводит к построению искомой фигуры. Чтобы найти эту последовательность шагов, т.е. составить план решения задачи, обычно поступают так. Предполагают, что задача решена, делают примерный чертеж искомой фигуры, отмечают те отрезки и углы, которые известны из условия задачи, и стараются определить, к нахождению какой точки (прямой, угла) сводится решение задачи. После этого стремятся найти такую зависимость между данными и искомыми величинами, которая позволяет построить искомую точку (прямую, угол), и составляют план построения. Составление плана — самая важная часть задачи, ее называют анализом.

Выполнив анализ, наметив план, описывают само построение. Оно может содержать лишь основные построения и элементарные действия с циркулем и линейкой.

Далее требуется привести доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи и, кроме того, проделать исследование, т.е. выяснить, всегда ли (при любых ли данных) описанное построение возможно, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается или делается невозможным.

Таким образом, решение задачи на построение состоит из 4-х частей: анализ, построение, доказательство, исследование. Анализ опускается в простых задачах или в тех, решение которых уже известно.

3. Выполнение простейших задачи на построение

Построение 1: построить треугольник по трем сторонам, т.е. построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам а, b и с. Построение треугольника по трем сторонам сводится к построению последовательно трех отрезков, равных данным (слайд 6).

Доказательство следует непосредственно из равенства сторон построенного треугольника заданным отрезкам.

Построение 2: построить угол, равный данному, от данной полупрямой в данную полуплоскость (слайды 7-8).

Построение 3: построить биссектрису данного угла (слайды 9-10).

Построение 4: деление отрезка пополам (одновременное построение серединного перпендикуляра данного отрезка) (слайд 11).

Построение 5: через точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a. Рассмотреть два возможных случая (слайды 12-14).

Построение 6: построение прямой, проходящей через данную точку А параллельно данной прямой а. (слайд 15).

4. Решение задач на построение;

Задача 1. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на основание (слайд 16).

Анализ. ( рис. 1) Предположим, что задача решена, и построен равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС, в котором угол ВАС = a и высота BD = отрезку h.

В равнобедренном треугольнике высота BD, проведенная к основанию, является медианой, поэтому AD = DC. Значит, сначала необходимо построить прямоугольный треугольник ABD. Для этого строим угол А, равный углу a , затем нужно найти точку В, лежащую на одной из сторон угла на расстоянии h от другой стороны. Точку В можно получить как пересечение стороны угла и прямой, параллельной другой стороне и проходящей от нее на расстоянии h.

Проводим прямую l, выбираем точку А, на луче AN откладываем угол 1, равный данному углу a . (используем построение 2)

Через точку А проводим прямую, перпендикулярную прямой AN (построение 5), и на построенной прямой откладываем отрезок АМ = h (в той же полуплоскости, в которой построен угол).

Через точку М проводим прямую, параллельную прямой AN (построение 6), точку ее пересечения со стороной угла обозначаем В.

Из точки В опускаем перпендикуляр BD на прямую AN (построение 5) и откладываем DC = DA. Соединяем В и С.

Доказательство: Треугольник АВС — искомый, т.к. он удовлетворяет всем условиям задачи. Действительно, по построению МВ || AD, поэтому 1 = 2; по построению АМ AD, МВ || AD, следовательно, АМ МВ. В прямоугольных треугольниках ABD и ВАМ общая гипотенуза АВ и равные углы 1 и 2, эти треугольники равны, значит BD = AM, т.е. BD = h. Далее, по построению DC = DA, поэтому ABD = СВD (по двум катетам), откуда следует, что С = А = a и BD = h.

Исследование: В равнобедренном треугольнике угол при основании острый, поэтому построение возможно, если заданный угол острый.

Построение единственно, т.к. точка В находится единственным образом. Задача имеет только одно решение.

Задача 2. Построить треугольник по данному периметру и двум углам (слайд 17).

Анализ (рис. 3) Предположим, что такой треугольник АВС построен.

АВ +ВС + АС = Р, А = a , В = . На прямой АВ отложим отрезки АА1= АС и ВВ1 = ВС, тогда А1В1 = Р. Треугольник А1АС равнобедренный, 1 = 2, а по теореме о внешнем угле треугольника ВАС = 1 + 2. Таким образом, 1 = 2 = a /2.

Аналогично 3 = 4 = /2. В треугольнике А1В1С известны два угла 1 и 3 и сторона между ними А1В1= Р. Такой треугольник можно построить, тогда точки А и В найдутся, как точки пересечения серединных перпендикуляров отрезков А1С и В1С с прямой А1В1.

Построение: Делим данные углы a и пополам (построение 3).

  1. Проводим произвольную прямую и на ней откладываем отрезок А1В1, равный отрезку Р. От луча А1В1 откладываем угол 1, равный a /2, а от луча В1А1 в ту же полуплоскость откладываем угол 3, равный /2 (построение 2), точку пересечения сторон этих углов обозначим С.
  2. Строим серединные перпендикуляры отрезков А1С и В1С (построение 4), точки их пересечения с прямой А1В1 обозначим А и В. Соединяем точки А и В с точкой С. Треугольник АВС — искомый.

Доказательство: По построению А1D = DC, AD А1С, следовательно, А1АD = CAD (по первому признаку) и А1А = АС.

Аналогично КВ В1С, В1К = КС, поэтому ВВ1= ВС и АС + АВ +ВС = АА1 + АВ + ВВ1 = Р. Кроме того, САВ = 3 + 4 = b .

Исследование: Построение возможно всегда, если только сумма двух углов меньше 180° (сумма двух углов треугольника всегда меньше 180° ). Решение единственно, т.к. точка С, а затем точки А и В определяются единственным образом.

Замечание: В этой задаче была задана сумма сторон треугольника, при решении как бы «развернули» стороны треугольника, пока они не легли на одну прямую — получили отрезок А1В1, равный данному. Этот прием называют методом спрямления и применяют в задачах, в которых задана сумма (либо разность) сторон треугольника.

Задача 3. Дан отрезок m и острый угол a . Построить прямоугольный треугольник с углом a, в котором разность катетов равна m (слайд18).

Анализ (рис. 4): Предположим, что построен прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным a, и разностью катетов, равной m.

Применим метод спрямления: отложим на прямой АС от точки С отрезок СК, равный ВС, тогда АК = m. В треугольнике АКВ известна сторона АК и два прилежащих угла: ВАК = a и ВКА = 135°. Такой треугольник можно построить, а точку С найти как основание перпендикуляра из точки В на прямую АК.

На прямой l выбираем точку А и откладываем отрезок АК = m. Через точку К проводим перпендикуляр KL к прямой АК (построение 5).

Проводим биссектрису КР угла, дополнительного к прямому углу АКL (построение 3).

От луча АК откладываем угол КАМ, равный данному углу a (построение 2), точку пересечения с прямой КР обозначаем В.

Из точки В опускаем перпендикуляр ВС на прямую АК (построение 5). Треугольник АВС — искомый.

Доказательство: А = a , C=90° , ВКС=45° (по построению), следовательно, ВС = СК и АС = ВС = АССК = АК = m.

Исследование: Указанное построение выполнимо, если прямая АМ пересекает биссектрису КР прямого угла, т.е. если a — средняя линия и точки А1 и С1 — середины сторон АВ и СВ, а отрезки СА1 и АС1 — медианы. По построению СА1 = m, а из параллелограмма АС1КС следует, что и АС1 = m.

Расставим равные углы в треугольнике А1СК и в параллелограмме АС1КС. Теперь заметим, что С1АС = А1СА (по двум сторонам а и m и углу между ними). Следовательно, С1С = А1А и СВ = АВ — треугольник равнобедренный.

Исследование: Построение возможно, если существует треугольник А1КС со сторонами А1С = СК = m и А1К =а, что возможно лишь при условии а . Построение единственно, все точки определяются единственным образом.

5. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Через данную точку провести прямую под данным углом к данной прямой (слайд 20).

Указание к решению задачи: Построить угол, равный данному в произвольной точке данной прямой, одна из сторон которого лежит на этой прямой; затем через данную точку провести параллельную прямую.

Задача 2. описать окружность, которая проходила бы через данную точку А и касалась бы данной прямой в данной на ней точке В (слайд 21).

Указание к решению задачи: К данной прямой восстановить перпендикуляр из данной точки В, построить серединный перпендикуляр к отрезку АВ (А — другая данная точка). Их пересечение — точка О — центр искомой окружности, ОВ — радиус.

Задача 3. Провести в треугольнике прямую, параллельную основанию так, чтобы отрезок, заключенный между боковыми сторонами был равен сумме отрезков боковых сторон, считая от основания (слайд 22).

Указание к решению задачи (слайд):Через точку пересечения биссектрис провести прямую MN, параллельную основанию. Получим равнобедренные треугольники ONC и ОМА (теорема о накрест лежащих углах при параллельных прямых, свойства сторон и углов в равнобедренном треугольнике).

Задача 4. На прямой АВ найти такую точку С, чтобы лучи СМ и СN, проведенные из С через данные точки М и N, расположенные по одну сторону от АВ, составляли с лучами СА и СВ равные углы (слайд 23).

Указание к решению задачи (рис. 16): Точка С — пересечение прямых M’N и АВ, где M’ — точка, симметричная М относительно АВ.

источник

Урок, разработанный в соответствии с новым ФГОС, имеет ряд отличий от традиционного. Что следует учитывать при его анализе? Каким требованиям должен отвечать современный урок? Как выглядит образец схемы анализа урока по ФГОС и рабочая карта эксперта?

  • Тема занятия формулируется учащимися. Задача учителя: подвести учеников к осознанию темы.
  • Учащиеся самостоятельно осуществляют постановку целей и задач. Учитель лишь задает наводящие вопросы, предлагает задания, которые помогают ученикам верно сформулировать практические цели.
  • Учащиеся с помощью педагога разрабатывают практический план достижения поставленной цели.
  • Учащиеся выполняют учебные действия по разработанному плану. Учитель организует работу индивидуальную, в парах, в группах, консультирует учеников.
  • Правильность выполнения заданий проверяется с помощью самоконтроля, взаимоконтроля.
  • Возникшие недочеты, ошибки, учащиеся исправляют самостоятельно, сами поясняют суть затруднений.
  • Ученики сами оценивают результаты своей деятельности (самооценивание), и результаты деятельности своих товарищей (взаимооценивание).
  • Этап рефлексии: обсуждение учащимися своих успехов в достижении цели урока.
  • Домашнее задание, составленное с учетом индивидуальных особенностей учащихся, предполагающее возможность выбора упражнения, разные уровни сложности.
  • В течение всего урока учитель играет роль советчика, консультирует учащихся на каждом этапе.
Читайте также:  Как сдавать анализ на стафилококк для медкнижки

В связи с этим меняется и анализ урока.

Основные пункты, которые принимает во внимание эксперт, анализируя современный урок: цели, организация урока, способы мотивации учащихся, соответствие требованиям ФГОС, содержание урока, методика, психологические моменты.

В карте эксперта указывается ФИО учителя, полное название образовательного учреждения, класс, название учебного предмета, автор УМК/ учебника, тема урока, дата посещения.

Ниже приведена примерная схема-образец анализа урока по ФГОС.

Наличие образовательной, воспитательной, развивающей целей. Достигнуты ли поставленные учителем цели? Достигнуты ли практические цели, поставленные учениками?

Как организован урок? Тип, структура, этапы, логика, временные затраты, соответствие структуры, применяемых методов поставленной цели и содержанию урока.

Какие способы мотивации применяет педагог?

Насколько урок соответствует требованиям ФГОС?

  • Ориентированность на стандарты нового поколения.
  • Развитие УУД (универсальных учебных действий).
  • Применение современной технологии: ИКТ, исследовательской, проектной и др.
  • Правильность освещения учебного материала с научной точки зрения, соответствие возрасту учащихся.
  • Соответствие урока, его содержания требованиям образовательной программы.
  • Развитие самостоятельности и познавательной активности с помощью создания ситуаций для применения собственного жизненного опыта школьников (взаимосвязь теории и практики).
  • Связь нового и ранее изученного учебного материала, наличие межпредметных связей.

Методика проведения урока

  • Актуализация имеющихся знаний, способов учебной деятельности. Формирование проблемной ситуации, наличие проблемных вопросов.
  • Какие методы применял педагог? Каково соотношение репродуктивной и исследовательской/ поисковой деятельности? Сравните примерное количество репродуктивных (чтение, повторение, пересказ, ответы на вопросы по содержанию текста) и исследовательских заданий (доказать утверждение, найти причины, привести аргументы, сравнить информацию, найти ошибки и др.)
  • Преобладает ли деятельность учащихся в сравнении с деятельностью педагога? Насколько объемна самостоятельная работа учащихся? Каков ее характер?
  • Какие методы получения новых знаний применяет педагог (опыты, сравнения, наблюдения, чтение, поиск информации и др.)?
  • Использование диалога в качестве формы общения.
  • Использование нестандартных ситуаций для применения учащимися полученных знаний.
  • Наличие обратной связи между учеником и учителем.
  • Грамотное сочетание разных форм работы: групповой, фронтальной, индивидуальной, парной.
  • Учет принципа дифференцированного обучения: наличие заданий разного уровня сложности.
  • Целесообразность применения средств обучения в соответствии с тематикой и содержанием урока.
  • Использование демонстрационных, наглядных материалов с целью мотивации, иллюстрации информационных выкладок, решения поставленных задач. Соответствует ли количество наглядного материала на уроке целям, содержанию занятия?
  • Действия, направленные на развитие умений самооценки и самоконтроля учащихся.

Психологические моменты в организации урока

  • Принимает ли учитель во внимание уровень знаний каждого отдельного учащегося и его способности к обучению?
  • Направлена ли учебная деятельность на развитие памяти, речи, мышления, восприятия, воображения, внимания?
  • Есть ли чередование заданий разной степени сложности? Насколько разнообразны виды учебной деятельности?
  • Есть ли паузы для эмоциональной разгрузки учащихся?
  • Насколько оптимален объем домашнего задания? Дифференцировано ли оно по уровню сложности? Есть ли у учеников право выбора домашнего задания? Понятен ли инструктаж по его выполнению?

На усмотрение эксперта в графе «Количество баллов» напротив каждого подпункта делаются пометки или выставляются баллы от 0 до 2, где 0 — полное отсутствие критерия, 1 — частичное присутствие критерия, 2 — критерий представлен в полном виде.

В графе «Как организован урок?», анализируя структуру занятия, необходимо учитывать разнообразие типов уроков по ФГОС (урок усвоения новых знаний, комплексного применения знаний и умений (закрепление), актуализации знаний и умений (повторение), систематизации и обобщения знаний и умений, контроля, коррекции, комбинированного урока), каждый из которых имеет свою структуру.

В графе «Насколько урок соответствует требованиям ФГОС?», необходимо оценить результаты, представленные в виде универсальных учебных действий. Эксперт указывает определенные виды действий и группу, к которой они относятся. Например:

  • Регулятивные: учащиеся самостоятельно определяют цель урока, составляют план, действуют по плану, оценивают результат своей работы.
  • Познавательные: учащиеся извлекают информацию из предложенных источников, ее анализируют / классифицируют/ сравнивают и др.
  • Коммуникативные: учащиеся четко формулируют свою позицию, способны к пониманию других, считыванию явной информации или подтекста, к сотрудничеству.
  • Личностные: учащиеся ориентируются в системе ценностей, выбирают правильные направления, способны оценивать поступки, находить мотивы совершенным действиям.

Представленный пример схемы анализа учебного занятия может служить рабочей картой эксперта. Он достаточно подробен, позволяет отразить наиболее полно самые важные составляющие современного урока по ФГОС.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Есть мнение?
Оставьте комментарий

Понравился материал?
Хотите прочитать позже?
Сохраните на своей стене и
поделитесь с друзьями

Вы можете разместить на своём сайте анонс статьи со ссылкой на её полный текст

источник

Как выглядит анализ урока по ФГОС? Образец рассмотрим позже, сначала выясним особенности современной организации обучения, ее составные части.

Урок, который разрабатывается в полном соответствии со стандартами второго поколения, обладает серьезными отличиями от традиционной формы.

Анализ урока по ФГОС в начальной школе базируется на рассмотрении развития у младших школьников универсальных учебных действий. Эксперт, оценивающий профессиональную деятельность учителя, обращает особое внимание на применение педагогом проблемного обучения.

Схема анализа урока по ФГОС включает пункт, в котором отмечается умение школьников самостоятельно формулировать тему учебного занятия. В основную задачу учителя входит подведение ребят к осознанию темы. Преподаватель только задает уточняющие вопросы, при ответах на которые ученики правильно формулируют цели занятия.

Анализ урока по ФГОС в начальной школе содержит план достижения цели, поставленной в начале занятия.

Школьники выполняют УУД (универсальные учебные действия) согласно плану, разработанному вместе с наставником. Педагог организует фронтальную, парную, индивидуальную деятельность.

Схема анализа урока по ФГОС содержит пункт, в котором отмечается умение учителя предлагать ребятам различные варианты работы, включая и индивидуальные задания.

Среди отличительных характеристик современного урока от традиционной формы выделим наличие взаимоконтроля, а также самоконтроля. Любой анализ урока в школе по ФГОС содержит рефлексию. Основные ошибки, недочеты, пробелы в знаниях, выявленные в ходе проведения самооценки, устраняются школьниками самостоятельно. Ребята проводят оценку не только собственных УУД, но и анализируют достижения своих одноклассников.

На этапе рефлексии предполагается обсуждение достигнутых успехов, а также анализ результативности проведенного занятия.

При составлении домашнего задания педагог учитывает индивидуальное развитие детей, подбирает упражнения и задачи различного уровня сложности, на уроке выступает в роли консультанта, дающего советы ребятам в процессе их самостоятельной деятельности.

Как должен выглядеть анализ урока по ФГОС? Образец схемы, разработанной для новых образовательных стандартов, имеет существенные отличия от классической формы.

Выделим основные пункты, принимаемые экспертами во внимание при оценке современного учебного занятия. Итак, что включает в себя анализ урока по ФГОС? Образец для завуча предполагает наличие целей, организационных действий, видов мотивации школьников. Урок должен в полной мере соответствовать психологическим и физиологическим особенностям, возрасту детей. Анализ открытых уроков по ФГОС составляется на отдельное занятие (мероприятие). В карте экспертом указываются данные педагога, название образовательного учреждения, учебный предмет, методический комплект, тема занятия, а также дата проведения урока.

Как будет выглядеть анализ урока по ФГОС? Образец карты даст ответ на этот вопрос.

Присутствие воспитательной, образовательной, развивающей целей урока. В каком объеме они были достигнуты? Были ли реализованы практические цели, которые учитель поставил перед учениками?

Как было организовано занятие? Логика, структура, тип, временные рамки, соответствие выбранной структуре методов для проведения занятия.

Что еще включает в себя анализ урока по ФГОС? Образец для завуча содержит блок о формировании познавательного интереса школьников к изучаемой учебной дисциплине.

  1. Варианты мотивации, применяемые педагогом в процессе занятия.
  2. Соответствие проведенного урока требования образовательных стандартов второго поколения. Ориентированность на ФГОС. Развитие универсальных учебных действий. Использование современных педагогических технологий: проектной, исследовательской, ИКТ (информационно-коммуникационных технологий).

Оценивается целесообразность научного подхода к рассматриваемому материалу, соответствие уровня преподавания возрастным особенностям школьников, школьной программе.

Любой анализ урока по ФГОС, образец которого мы рассмотрим позже, подразумевает проявление познавательной активности и степени самостоятельности школьников путем моделирования учителем различных проблемных ситуаций. Для их разрешения ребята используют собственный жизненный опыт; осуществляется связь теоретической базы с практическими учебными действиями.

В уроке должны содержаться межпредметные связи, а также логическое использование материала, изученного на предыдущих занятиях.

Эксперты оценивают актуализацию способов деятельности имеющихся у школьников знаний. Анализируется создание во время урока проблемных ситуаций, уточняющих вопросов — приемов, используемых педагогом во время работы. Сравнивается продолжительность репродуктивной и поисковой деятельности, объем самостоятельной работы школьников.

Особое место в анализе отводится применению во время занятия диалога, принципа дифференцированного обучения, нестандартных ситуаций, обратной связи между учителем и ребенком, грамотного сочетания нескольких видов деятельности.

Оценивается наличие наглядных демонстрационных материалов, способствующих повышению мотивации, полному выполнению задач, поставленных в начале учебного занятия, их соответствие с целями и задачам урока.

Отдельное внимание при анализе урока по ФГОС отводится рассмотрению психологических организационных моментов: учета индивидуальности каждого ребенка, направленности действий педагога на развитие мышления, памяти, воображения, чередование заданий различной степени сложности, наличие эмоциональной разгрузки детей.

Например, анализ урока «Окружающий мир» по ФГОС предполагает не только суммирование количества баллов по каждому пункту, но и дополнительные пояснения экспертов.

При полном соответствии проведенного урока (занятия) всем требованиям карты ФГОС специалисты выставляют максимальное количество баллов. Если критерии выполнены педагогом частично или не выполнены совсем, ему выставляется от 0 до 1 балла.

В графе об организации урока эксперты учитывают многообразие форм учебных занятий: усвоение новой информации, комплексное использование УУД, актуализацию, обобщение навыков, контроль, коррекцию.

В графе о соответствии занятия требованиям ФГОС анализируются УУД. Эксперт рассматривает умения по группам: регулятивные, познавательные, коммуникативные, личностные качества.

Например, анализ урока чтения по ФГОС предполагает формирование всех УУД, но особое внимание уделяется личностным качествам.

Автор учебника – Г. Е. Рудзитис.

Общее количество баллов – 24 балла.

Краткий анализ результативности

Основные цели урока достигнуты, реализованы в ходе учебного занятия (2 балла).

Представлен урок объяснения нового материала, имеющий логическую структуру, оптимальное соотношение этапов по времени (2 балла).

Мотивация обеспечивается путем применения демонстрационного и индивидуального эксперимента (2 балла).

Данный урок ориентирован на ФГОС, соблюдены дидактические принципы, осуществляется формирование универсальных учебных навыков (2 балла).

Во время занятия педагог применяет современные технологии: проектную и исследовательскую деятельность, ИКТ (2 балла).

Материал урока соответствует возрастным особенностям школьников (2 балла).

Прослеживается связь между теоретическими знаниями и их практическим применением, особое внимание уделяется самостоятельной деятельности, развитию познавательной активности (2 балла).

При формировании новых умений и навыков учитель ориентируется на ранее изученный материал (2 балла).

Во время занятия для школьников создаются проблемные ситуации, учитель формулирует специальные вопросы, направленные на необходимость принятия учащимися самостоятельного решения (2 балла).

Педагог использовал метод проблемного обучения, дифференциальный подход, проектную и исследовательскую деятельность, сочетал задания репродуктивного характера с творческими задачами, направленными на развитие логического мышления школьников (2 балла).

Самостоятельная работа была пояснена в полном объеме, предполагала поиск информации, наблюдение, практические опыты, сравнение полученных результатов (2 балла).

На протяжении урока ощущалась качественная обратная связь между учениками и наставником, комфортный психологический климат (2 балла).

Для того чтобы урок, проводимый по требованиям новых федеральных образовательных стандартов, считался результативным и эффективным, преподавателю необходимо иметь представление о критериях, которые им должны быть выполнены. Схема анализа занятия по ФГОС позволяет педагогу проводить самоанализ, выявлять проблемы в работе, устранять их до того, как оценкой его деятельности начнут заниматься профессиональные эксперты.

источник