Меню Рубрики

Факторный анализ как статистический метод

Все явления и процессы хозяйственной деятельности предприятий находятся во взаимосвязи и взаимообусловленности. Одни из них непосредственно связаны между собой, другие косвенно. Отсюда важным методологическим вопросом в экономическом анализе является изучение и измерение влияния факторов на величину исследуемых экономических показателей.

Факторный анализ в учебной литературе трактуется как раздел многомерного статистического анализа, объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц.

Свою историю факторный анализ начинает в психометрике и в настоящее время широко используется не только в психологии, но и в нейрофизиологии, социологии, политологии, в экономике, статистике и других науках. Основные идеи факторного анализа были заложены английским психологом и антропологом Ф. Гальтоном. Разработкой и внедрением факторного анализа в психологии занимались такие ученые как: Ч.Спирмен, Л.Терстоун и Р.Кеттел. Математический факторный анализ разрабатывался Хотеллингом, Харманом, Кайзером, Терстоуном, Такером и другими учеными.

Данный вид анализа позволяет исследователю решить две основные задачи: описать предмет измерения компактно и в то же время всесторонне. С помощью факторного анализа возможно выявление факторов, отвечающих за наличие линейных статистических связей корреляций между наблюдаемыми переменными.

К примеру, анализируя оценки, полученные по нескольким шкалам, исследователь отмечает, что они сходны между собой и имеют высокий коэффициент корреляции, в этом случае он может предположить, что существует некоторая латентная переменная, с помощью которой можно объяснить наблюдаемое сходство полученных оценок. Такую латентную переменную называют фактором, который влияет на многочисленные показатели других переменных, что приводит к возможности и необходимости отметить его как наиболее общий, более высокого порядка.

Таким образом, можно выделить две цели факторного анализа:

  • определение взаимосвязей между переменными, их классификация, т. е. «объективная R-классификация»;
  • сокращение числа переменных.

Для выявления наиболее значимых факторов и, как следствие, факторной структуры, наиболее оправданно применять метод главных компонентов. Суть данного метода состоит в замене коррелированных компонентов некоррелированными факторами. Другой важной характеристикой метода является возможность ограничиться наиболее информативными главными компонентами и исключить остальные из анализа, что упрощает интерпретацию результатов. Достоинство данного метода также в том, что он – единственный математически обоснованный метод факторного анализа.

Факторный анализ – методика комплексного и системного изучения и измерения воздействия факторов на величину результативного показателя.

Существуют следующие типы факторного анализа:

1) Детерминированный (функциональный) – результативный показатель представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.

2) Стохастический (корреляционный) – связь между результативным и факторными показателями является неполной или вероятностной.

3) Прямой (дедуктивный) – от общего к частному.

4) Обратный (индуктивный) – от частного к общему.

5) Одноступенчатый и многоступенчатый.

6) Статический и динамический.

7) Ретроспективный и перспективный.

Также факторный анализ может быть разведочным – он осуществляется при исследовании скрытой факторной структуры без предположения о числе факторов и их нагрузках и конфирматорным, предназначенным для проверки гипотез о числе факторов и их нагрузках. Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий.

Обязательные условия факторного анализа:

  • Все признаки должны быть количественными;
  • Число признаков должно быть в два раза больше числа переменных;
  • Выборка должна быть однородна;
  • Исходные переменные должны быть распределены симметрично;
  • Факторный анализ осуществляется по коррелирующим переменным.

При анализе в один фактор объединяются сильно коррелирующие между собой переменные, как следствие происходит перераспределение дисперсии между компонентами и получается максимально простая и наглядная структура факторов. После объединения коррелированность компонент внутри каждого фактора между собой будет выше, чем их коррелированность с компонентами из других факторов. Эта процедура также позволяет выделить латентные переменные, что бывает особенно важно при анализе социальных представлений и ценностей.

Как правило, факторный анализ проводится в несколько этапов.

2 этап. Классификация и систематизация факторов.

3 этап. Моделирование взаимосвязей между результативным и факторными показателями.

4 этап. Расчет влияния факторов и оценка роли каждого из них в изменении величины результативного показателя.

5 этап. Практическое использование факторной модели (подсчет резервов прироста результативного показателя).

Детерминированный факторный анализ представляет собой методику исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер, т. е. когда результативный показатель факторной модели представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.

Методы детерминированного факторного анализа: Метод цепных подстановок; Метод абсолютных разниц; Метод относительных разниц; Интегральный метод; Метод логарифмирования.

Данный вид факторного анализа наиболее распространен, поскольку, будучи достаточно простым в применении (по сравнению со стохастическим анализом), позволяет осознать логику действия основных факторов развития предприятия, количественно оценить их влияние, понять, какие факторы, и в какой пропорции возможно и целесообразно изменить для повышения эффективности производства.

Стохастический анализ представляет собой методику исследования факторов, связь которых с результативным показателем в отличие от функциональной является неполной, вероятностной (корреляционной). Если при функциональной (полной) зависимости с изменением аргумента всегда происходит соответствующее изменение функции, то при корреляционной связи изменение аргумента может дать несколько значений прироста функции в зависимости от сочетания других факторов, определяющих данный показатель.

Методы стохастического факторного анализа: Способ парной корреляции; Множественный корреляционный анализ; Матричные модели; Математическое программирование; Метод исследования операций; Теория игр.

Необходимо также различать статический и динамический факторный анализ. Первый вид применяется при изучении влияния факторов на результативные показатели на соответствующую дату. Другой вид представляет собой методику исследования причинно-следственных связей в динамике.

И, наконец, факторный анализ может быть ретроспективным, который изучает причины прироста результативных показателей за прошлые периоды, и перспективным, который исследует поведение факторов и результативных показателей в перспективе.

Источник: Анализ и диагностика финансово хозяйственной деятельности предприятия. Учебное пособие. Бальжинов А.В., Михеева Е.В. (скачать)

источник

Настоящая монография даёт чёткое представление о задачах факторного анализа, который находит всё большее применение при решении различных практических задач. Факторный анализ возник и развивался в связи с решением в первую очередь задач психологии (например, объяснение успеваемости учеников). Однако область его приложенийзначительно шире и охватывает в принципе все случаи применения многомерного статистического анализа. Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1962 года (издательство`Мир`). В

Издательство: «ЁЁ Медиа» (1962)

    Автор Книга Описание Год Цена Тип книги
    Лоули Д. Факторный анализ как статистический метод. Настоящая монография даёт чёткое представление о задачах факторного анализа, который находит всё большее применение при решении различных практических задач. Факторный анализ возник и развивался в… — ЁЁ Медиа, — Подробнее. 1962 873 бумажная книга

    Факторный анализ — раздел статистического анализа многомерного (См. Статистический анализ многомерный),. объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц.… … Большая советская энциклопедия

    Факторный анализ — Факторный анализ многомерный метод, применяемый для изучения взаимосвязей между значениями переменных. Предполагается, что известные переменные зависят от меньшего количества неизвестных переменных и случайной ошибки. Содержание 1 Краткая… … Википедия

    ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ — статистический метод проверки гипотез о влиянии разл. факторов на изучаемую случайную величину. Разработана и общепринята модель, при которой влияние фактора представлено в линейном виде. Процедура анализа сводится к оценочным операциям с помощью … Геологическая энциклопедия

    АНАЛИЗ МНОГОМЕРНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ — раздел математической статистики , предназначенный для анализа связей между тремя и более переменными. Можно условно выделить три основных класса задач А.М.С. Это исследование структуры связей между переменными и снижение размерности пространства … Социология: Энциклопедия

    метод — метод: Метод косвенного измерения влажности веществ, основанный на зависимости диэлектрической проницаемости этих веществ от их влажности. Источник: РМГ 75 2004: Государственная система обеспечения еди … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

    Статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с известным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда… … Википедия

    Статистический анализ многомерный — в широком смысле раздел математической статистики (См. Математическая статистика), объединяющий методы изучения статистических данных, относящихся к объектам, которые характеризуются несколькими качественными или количественными… … Большая советская энциклопедия

    МНОГОМЕРНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — раздел математич. статистики, посвященный математич. методам построения оптимальных планов сбора, систематизации и обработки многомерных статистич. данных, направленным на выявление характера и структуры взаимосвязей между компонентами… … Математическая энциклопедия

    Математи́ческие ме́тоды — в медицине совокупность методов количественного изучения и анализа состояния и (или) поведения объектов и систем, относящихся к медицине и здравоохранению. В биологии, медицине и здравоохранении в круг явлений, изучаемых с помощью М.м., входят… … Медицинская энциклопедия

    Конъюнктура — (Conjuncture) Конъюнктура это сформировавшийся комплекс условий в определенной области человеческой деятельности Понятие конъюнктуры: виды конъюнктуры, методы прогнозирования конъюнктуры, конъюнктура финансового и товарного рынков Содержание… … Энциклопедия инвестора

    Статистика — (Statistics) Статистика это общетеоретическая наука, изучающая количественные изменения в явлениях и процессах. Государственная статистика, службы статистики, Росстат (Госкомстат), статистические данные, статистика запросов, статистика продаж,… … Энциклопедия инвестора

    источник

    Факторный анализ – это один из новых разделов многомерного статистического анализа. Первоначально этот метод разрабатывался для объяснения корреляции между исходными параметрами. Результатом корреляционного анализа является матрица коэффициентов корреляции. При малом числе признаков (переменных) можно провести визуальный анализ этой матрицы. С ростом числа признаков (10 и более) визуальный анализ не даст положительных результатов. Оказывается, что все многообразие корреляционных связей можно объяснить действием нескольких обобщенных факторов, которые являются функциями исследуемых параметров, при этом сами факторы могут быть неизвестны, но их можно выразить через исследуемые признаки. Основоположником факторного анализа является американский ученый Л.Терстоун.

    Современные статистики под факторным анализом понимают совокупность методов, которые на основе реально существующей связи между признаками позволяет выявить латентные (скрытые) обобщающие характеристики организационной структуры и механизмы развития изучаемых явлений и процессов.

    Пример: предположим, что n автомобилей оценивается по 2 признакам:

    x2 – длительность рабочего ресурса мотора.

    При условии коррелированности x1 и x2 в системе координат появляется направленное и достаточно плотное скопление точек, формально отображаемое новыми осями и( Рис.5).

    Рис.6

    Характерная особенность F1 и F2 заключается в том, что они проходят через плотные скопления точек и в свою очередь коррелируют с x1x 2.Максимальное

    число новых осей будет равно числу элементарных признаков. Дальнейшие разработки факторного анализа показали, что этот метод может быть с успехом применены в задачах группировки и классификации объектов.

    Представление информации в факторном анализе.

    Для проведения факторного анализа информация должна быть представлена в виде матрицы размером m x n:

    Строки матрицы соответствуют объектам наблюдений (i=), а столбцы – признакам (j=).

    Признаки, характеризующие объект имеют разную размерность. Для того, чтобы их привести к одной размерности и обеспечить сопоставимость признаков матрицу исходных данных обычно нормируют, вводя единый масштаб. Самым распространенным способом нормировки является стандартизация. От переменных переходят к переменным

    , где

    — среднее значение j признака,

    — среднеквадратическое отклонение.

    Такое преобразование называется стандартизацией.

    Основная модель факторного анализа

    Основная модель факторного анализа имеет вид:

    , j=

    zj –j-й признак (величина случайная);

    j1, j2, …, jp факторы нагрузки, характеризующие существенность влияния каждого фактора (параметры модели, подлежащие определению);

    dj – нагрузка характерного фактора .

    Общие факторы имеют существенное значение для анализа всех признаков. Характерные факторы показывают, что он относится только к данному -му признаку, это специфика признака, которая не может быть выражена через факторы. Факторные нагрузки j1, j2, …, jp характеризуют величину влияния того или иного общего фактора в вариации данного признака. Основная задача факторного анализа – определить факторные нагрузки. Дисперсию Sj 2 каждого признака, можно разделить на 2 составляющие:

    первая часть обуславливает действие общих факторов – общность hj 2 ;

    вторая часть обуславливает действие характерного фактора –характерность — dj 2 .

    Все переменные представлены в стандартизованном виде, поэтому дисперсия го признака Sj 2 = 1.

    Если общие и характерные факторы не коррелируют между собой, то дисперсию j-го признака можно представить в виде:

    где — доля дисперсии признака, приходящаяся наk-ый фактор.

    Полный вклад какого-либо фактора в суммарную дисперсию равен:

    , .

    Вклад всех общих факторов в суммарную дисперсию:

    .

    Результаты факторного анализа удобно представить в виде таблицы.

    А — матрица факторных нагрузок. Ее можно получить различными способами, в настоящее время наиболее распространение получил метод главных компонент или главных факторов.

    Вычислительная процедура метода главных факторов.

    Решение задачи с помощью главных компонент сводится к поэтапному преобразованию матрицы исходных данных X :

    Х— матрица исходных данных;

    Z – матрица стандартизированных значений признаков ,

    R – матрица парных корреляций :

    — диагональная матрица собственных (характеристических) чисел,

    ,

    j находят решением характеристического уравнения

    j – показатель дисперсии каждой главной компоненты ,

    при условии стандартизации исходных данных , тогда=m

    U – матрица собственных векторов , которые находят из уравнения:

    Реально это означает решение m систем линейных уравнений для каждого

    ,т.е. каждому собственному числу соответствует система уравнений.

    Затем находят V— матрицу нормированных собственных векторов.

    ,

    Матрицу факторного отображения А вычисляют по формуле:

    Затем находим значения главных компонент по одной из эквивалентных формул:

    Совокупность из четырех промышленных предприятий оценена по трем характерным признакам:

    среднегодовая выработка на одного работника х1;

    уровень рентабельности х2;

    Результат представлен в стандартизированной матрице Z:

    По матрице Z получена матрица парных корреляций R:

    Найдем определитель матрицы парных корреляций(например методом Фаддеева):

    Построим характеристическое уравнение:

    Решая это уравнение найдем:

    Таким образом исходные элементарные признаки х1, х2, х3 могут быть обобщены значениями трех главных компонент, причем:

    F1 объясняет примерно всей вариации,

    F2, аF3

    Все три главные компоненты объясняют вариации полностью на 100%.

    Собственные векторы матрицы парных корреляций найдем решением трех систем линейных уравнений. Для =1,798 получим систему:

    Решая эту систему находим:

    , ,

    Аналогично строятся системы для 2 и 3. Для 2 решение системы:

    , ,,

    , ,

    Матрица собственных векторов U принимает вид:

    Каждый элемент матрицы разделим на сумму квадратов элементов j-го

    столбца, получим нормированную матрицу V.

    Отметим , что должно выполнятся равенство =E.

    Матрицу факторного отображения получим из матричного соотношения

    =

    По смыслу каждый элемент матрицы А представляет частные коэффициенты матрицы корреляции между исходным признаком xj и главными компонентами Fr . Поэтому все элементы .

    Из равенства следует условиеr— число компонент .

    Полный вклад каждого фактора в суммарную дисперсию признаков равен:

    Модель факторного анализа примет вид:

    Найдем значения главных компонент (матрицу F) по формуле

    Центр распределения значений главных компонент находится в точке (0,0,0).

    Далее аналитические выводы по результатам расчетов следуют уже после принятия решения о числе значащих признаков и главных компоненти определения названий главным компонентам. Задачи распознавания главных компонент, определения для них названий решают субъективно на основе весовых коэффициентовиз матрицы отображенияА.

    Рассмотрим вопрос формулировки названий главных компонент.

    Обозначим w1 – множество незначимых весовых коэффициентов, в которое включаются близкие к нулю элементы,,

    w2 — множество значимых весовых коэффициентов,

    w3 – подмножество значимых весовых коэффициентов, не участвующих в формировании названия главной компоненты.

    w2w3 – подмножество весовых коэффициентов, участвующих в формировании названия.

    Вычисляем коэффициент информативности для каждого главного фактора

    Набор объяснимых признаков считаем удовлетворительным, если значения коэффициентов информативности лежат в пределах 0,75-0,95.

    a11=0,776 a12=-0,130 a13=0,308

    a12=0,904 a22=-0,210 a23=-0,420

    а31=0,616 а32=0,902 а33=0,236

    Для j=1 w1= ,w2=a11,a21,a31>,

    .

    Для j=2 w1= a12, a22 >, w2= а32>,

    Значениями признаков x1, x2, x3 определяется состав главной компоненты на 100%. при этом наибольший вклад признакаx2, смысл которого-рентабельность. корректным для названия признака F1 будет эффективность производства.

    F2 определяется компонентой x3 (фондоотдача), назовем ее эффективность использования основных производственных средств.

    F3 определяется компонентами x1 ,x2 –в анализе может не рассматриваться т.к. она объясняет всего 10% общей вариации.

    Excel: Практическое руководство, ДЕСС КОМ.-М.-2000.

    Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad7 в математике, физике и в Internet. Изд-во « Номидж», М.-1998, раздел 2.13. Выполнение регрессии.

    Л.А. Сошникова, В.Н. Томашевич и др. Многомерный статистический анализ в экономике под ред. В.Н. Томашевича.- М. –Наука, 1980.

    Колемаев В.А., О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский Теория вероятностей и математическая статистика. –М. – Высшая школа- 1991.

    К Иберла. Факторный анализ.-М. Статистика.-1980.

    Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны

    Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии известны (например из предшествующего опыта или найдены теоретически). По независимым выборкам объемов n и m, извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние xв и yв.

    Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т. е. Н: М(X) = М(Y).

    Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными оценками генеральных средних, т. е. М(xв) = М(X) и М(yв) = М(Y), нулевую гипотезу можно записать так: Н: М(xв) = М(yв).

    Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится, потому что, как правило, выборочные средние являются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются выборочные средние?

    Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.

    Если нулевая гипотеза будет отвергнута, т. е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами. А объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны.

    В качестве проверки нулевой гипотезы примем случайную величину.

    Критерий Z – нормированная нормальная случайная величина. Действительно, величина Z распределена нормально, так как является линейной комбинацией нормально распределенных величин X и Y; сами эти величины распределены нормально как выборочные средние, найденные по выборкам, извлеченным из генеральных совокупностей; Z – нормированная величина, потому что М(Z) = 0, при справедливости нулевой гипотезы D(Z) = 1, поскольку выборки независимы.

    Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

    Первый случай. Нулевая гипотеза Н:М(X)=М(Y). Конкурирующая гипотеза Н1: М(X) ¹М(Y).

    В этом случае строят двустороннюю критическую область исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости .

    Наибольшая мощность критерия (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда «левая» и «правая» критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый интервал критической области равна:

    Поскольку Z – нормированная нормальная величина, а распределение такой величины симметрично относительно нуля, критические точки симметричны относительно нуля.

    Таким образом, если обозначить правую границу двусторонней критической области через zкр, то левая граница -zкр.

    Итак, достаточно найти правую границу, чтобы найти саму двустороннюю критическую область Z zкр и область принятия нулевой гипотезы (-zкр, zкр).

    Покажем, как найти zкр – правую границу двусторонней критической области, используя функцию Лапласа Ф(Z). Известно, что функция Лапласа определяет вероятность попадания нормированной нормальной случайной величины, например Z, в интервале (0;z):

    В силу (1) и (2) получим Ф(zкр)+a/2=1/2. Следовательно, Ф(zкр) =(1-a)/2.

    Отсюда заключаем: для того чтобы найти правую границу двусторонней критической области ( zкр), достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное (1-a)/2.

    Тогда двусторонняя критическая область определяется неравенствами Z zкр, или равносильным неравенством ½Z½ > zкр, а область принятия нулевой гипотезы неравенством – zкр zкр – нулевую гипотезу отвергают.

    Второй случай. Нулевая гипотеза Н0: M(X)=M(Y). Конкурирующая гипотеза Н1: M(X)>M(Y).

    На практике такой случай имеет место, если профессиональные соображения позволяют предположить, что генеральная средняя одной совокупности больше генеральной средней другой. Например, если введено усовершенствование технологического процесса, то естественно допустить, что оно приведет к увеличению выпуска продукции.

    В этом случае строят правостороннюю критическую область исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости:

    Покажем, как найти критическую точку при помощи функции Лапласа. Воспользуемся соотношением

    В силу (2) и (3) имеем Ф(zкр)+a=1/2. Следовательно, Ф(zкр)=(1-2a)/2.

    Отсюда заключаем, для того чтобы найти границу правосторонней критической области (zкр), достаточно найти значение функции Лапласа, равное (1-2a)/2. Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством Z > zкр, а область принятия нулевой гипотезы – неравенством Z zкр – нулевую гипотезу отвергаем.

    Третий случай. Нулевая гипотеза Н0: M(X)=M(Y). Конкурирующая гипотеза Н1: M(X) -zкр.

    2. По таблице функции Лапласа найти “вспомогательную точку” zкр по равенству Ф(zкр)=(1-2a)/2, а затем положить z’кр = -zкр.

    3. Если Zнабл > -zкр, – нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

    источник

    При использовании регрессионного анализа акцент делается на выявлении веса каждого факторного признака, воздействующего на результат, на количественную оценку чистого воздействия данного фактора при элиминировании остальных.

    Существует и другой подход к исследованию структуры взаимодействия признаков, развивающийся в рамках факторного анализа. Этот подход основан на представлении о комплексном характере изучаемого явления, выражающемся, в частности, во взаимосвязях и взаимообусловленности отдельных признаков. Акцент в факторном анализе делается на исследовании внутренних причин, формирующих специфику изучаемого явления, на выявлении обобщенных факторов, которые стоят за соответствующими конкретными показателями.

    Факторный анализ не требует априорного разделения признаков на зависимые и независимые, так как все признаки в нем рассматриваются как равноправные. Здесь нет допущения о неизменности всех прочих условий, свойственного регрессионно-корреляционному анализу. Цель факторного анализа — сконцентрировать исходную информацию, выражая большое число рассматриваемых признаков через меньшее число более емких внутренних характеристик явления, которые, однако, не поддаются непосредственному измерению (например, уровень аграрного развития). При этом предполагается, что наиболее емкие характеристики окажутся одновременно и наиболее существенными, определяющими 40 . В дальнейшем будем их называть обобщенными факторами (или просто факторами).

    Так как описание методов факторного анализа приводится во многих работах 41 , рассмотрим только основные методические аспекты этого направления многомерного статистического анализа.

    Пусть имеется n объектов, каждый из которых характеризуется набором из т признаков. Обозначим через xij значение j-го признака для i -го объекта, тогда исходная информация может быть представлена в виде таблицы, которую называют матрицей данных. Эта таблица имеет п строк (по числу объектов) и m столбцов (по числу признаков). Таким образом, каждая строка таблицы соответствует одному из объектов, а каждый столбец — одному из признаков (таблица 1).

    Если все m признаков X 1 ,…Xm— количественные, то матрицу данных можно обрабатывать с помощью методов факторного анализа, когда выполнен ряд условий. Первый этап обработки связан с вычислением матрицы парных коэффициентов корреляции, которая служит отправной точкой всех методов факторного анализа.

    Основные результаты факторного анализа выражаются в наборах факторных нагрузок и факторных весов.

    Факторные нагрузки — это значения коэффициентов корреляции каждого из исходных признаков с каждым из выявленных факторов. Чем теснее связь данного признака с рассматриваемым фактором, тем выше значение факторной нагрузки. Положительный знак факторной нагрузки указывает на прямую (а отрицательный знак — на обратную) связь данного признака с фактором. Таблица факторных нагрузок содержит т строк (по числу признаков) и k столбцов (по числу факторов).

    Факторными весами называют количественные значения выделенных факторов для каждого из п. имеющихся объектов. Объекту с большим значением факторного веса присуща большая степень проявления свойств, определяемых данным фактором. Для большинства методов факторного анализа факторы определяют как стандартизованные показатели с нулевым средним и единичной дисперсией (см. формулу 2 ). Поэтому положительные факторные веса соответствуют тем объектам, которые обладают степенью проявления свойств больше средней, а отрицательные факторные веса соответствуют тем объектам, для которых степень проявления свойств меньше средней. Таблица факторных весов содержит n строк (по числу объектов) и k столбцов (по числу факторов).

    Таким образом, данные о факторных нагрузках позволяют сформулировать выводы о наборе исходных признаков, отражающих тот или иной фактор, и об относительном весе отдельного признака в структуре каждого фактора. В свою очередь, данные о факторных весах определяют ранжировку объектов по каждому фактору. Значения факторных весов можно рассматривать как значения индекса, характеризующего уровень развития объектов в рассматриваемом аспекте.

    В основе каждого метода факторного анализа лежит математическая модель, описывающая соотношения между исходными признаками и обобщенными факторами. Перейдем к краткой характеристике этих моделей для основных методов факторного анализа, получивших наибольшее распространение в исторических исследованиях,

    Центроидный метод. Этот метод основан на предположении о том, что каждый из исходных признаков может быть представлен как функция небольшого числа общих факторов F1,F2,…,fk и характерного фактора Uj. При этом считается, что каждый общий фактор имеет существенное значение для анализа всех исходных признаков, т.е. фактор Fj -общий для всех X1,X2. Xm. В то же время изменения в характерном факторе Uj воздействуют на значения только соответствующего признака Xj. Таким образом, характерный фактор Uj отражает ту специфику признака Xj, которая не может быть выражена через общие факторы.

    Основные предположения факторного анализа связаны с допущением о линейности связи исходных признаков с факторами

    Общие факторы F1,…,Fk в модели (3) предполагаются независимыми стандартизованными показателями, распределенными по нормальному закону; характерные факторы U1,…,Um рассматривают как некоррелированные стандартизованные показатели, независящие от общих факторов; числа aij— факторные нагрузки, а числа оценивают степень влияния характерного фактора Uj на Xj. Исходные признаки также считаются стандартизованными переменными с нормальным распределением. В литературе описаны методы определения факторных нагрузок aij 42

    Задачу факторного анализа можно сформулировать следующим образом: определить минимальное число k таких факторов F1,…,Fk после учета которых исходная корреляционная матрица “исчерпается”, внедиагональные элементы ее станут близкими к нулю. Другими словами, это значит, что после учета k факторов все остаточные корреляции между исходными признаками должны стать незначимыми.

    Метод главных компонент. В основе модели для выражения исходных признаков через факторы здесь лежит предположение о том, что число факторов равно числу исходных признаков (k=m), а характерные факторы вообще отсутствуют:

    где величина Xjи предполагаются обладающими теми же свойствами, что и в модели (3).

    Очевидно, уравнения (4) определяют здесь систему преобразования одних параметров в другие. Поскольку число факторов равно числу исходных параметров, задача искомого преобразования решается однозначно, т.е. факторные нагрузки определяются в этом методе однозначно.

    Каждая из переменных Fj называется здесь i-й главной компонентой. Метод главных компонент состоит в построении факторов — главных компонент, каждый из которых представляет линейную комбинацию исходных признаков. Первая главная компонента F1 определяет такое направление в пространстве исходных признаков, по которому совокупность объектов (точек) имеет наибольший разброс (дисперсию). Вторая главная компонента F2 строится с таким расчетом, чтобы ее направление было ортогонально направлению F1 и она объясняла как можно большую часть остаточной дисперсии, и т.д. вплоть до т-й главной компоненты Fm. Так как выделение главных компонент происходит в убывающем порядке с точки зрения доли объясняемой ими дисперсии, то признаки, входящие в первую главную компоненту с большими коэффициентами оказывают максимальное влияние на дифференциацию изучаемых объектов.

    Как и в центроидном методе, достаточное число компонент (факторов) определяется здесь обычно на основе некоторого заданного уровня объясненной дисперсии исходных признаков с помощью факторов (например, ).

    Метод экстремальной группировки параметров. Данный метод также основан на обработке матрицы коэффициентов корреляции между исходными признаками. В основе этого метода лежит гипотеза о том, что совокупность исходных признаков может быть разбита на группы, каждая из которых отражает действие определенного фактора — причины. Поскольку признаки внутри каждой из таких групп должны быть связаны между собой более тесно, чем признаки разных групп, то задача сводится к выявлению “сильно закоррелированных” групп признаков, что позволяет выделить соответствующие факторы.

    Формально задача об одновременной группировке параметров и выделении существенных факторов заключается в максимизации как по разбиению параметров на множества 1,…,Ak> так и по выбору факторов 1,…,Fk> одного из двух критериев.

    где коэффициент корреляции между признаком Xi р-й группы и соответствующей

    ей фактором Fp , где р =1. ,k. Taким образом, в первом случае максимируется сумма квадратов коэффициентов корреляции признаков каждой группы со ‘своим’ фактором, а во втором случае — сумма модулей этих коэффициентов.

    Следует отметить связь метода экстремальной группировки параметров с рассмотренными выше методами факторного анализа: метод, связанный с максимизацией функционала I1, представляет естественное развитие метода главных компонент, а метод, связанный с максимизацией I2 представляет развитие центроидного метода 43 . Так, если группы признаков зафиксированы, то в соответствии с выражением (5) в пределах каждой группы отыскивается первая главная компонента.

    Характеризуя особенности этого метода, укажем, что факторы F1,…,Fk, здесь не общие для всех признаков; каждый из них соответствует ‘своей’ группе признаков. В отличие от методов, рассмотренных выше, факторы здесь не являются, вообще говоря, независимыми, ортогональными. Специфика экстремальной группировки параметров состоит, в частности, и в том, что в рамках этого метода каждый признак включается в один из формируемых факторов, в то время как при использовании других методов факторного анализа признаки могут относиться к нескольким факторам сразу или не принадлежать ни к одному из них.

    Результаты факторного анализа будут успешными, если удается дать содержательную интерпретацию выявленных факторов, исходя из смысла показателей, характеризующих эти факторы. Данная стадия работы весьма ответственная; она требует от исследователя четкого представления о содержательном смысле показателей, которые привлечены для анализа и на основе которых выделены факторы. Поэтому при предварительном тщательном отборе показателей для факторного анализа следует руководствоваться их содержательным смыслом, а не стремлением к включению в анализ как можно большего их числа.

    Рассмотрим несколько методических вопросов, связанных с особенностями методов факторного анализа.

    а) Большинство методов факторного анализа не статистические в строгом смысле этого слова, так как для них не разработаны способы распространения выборочных результатов на генеральную совокупность. Исходную корреляционную матрицу рассматривают как заданную, а факторы выделяют без учета ошибки выборки, присущей корреляционной матрице. Исключениями являются метод максимального правдоподобия (Лоули) и канонический факторный анализ (Рао), для которых разработаны критерии проверки значимости выделенных факторов 44 . При использовании других (основных) методов факторного анализа вопрос о значимости факторных нагрузок обычно решается с помощью эмпирических порогов значимости (например, ). Содержательный смысл фактора выявляется на основе признаков, имеющих высокие (значимые) факторные нагрузки.

    б) Одной из проблем факторного анализа является проблема вращения. Любое ортогональное вращение факторов приводит к такой же факторизации с перераспределением нагрузок aij, что связано с их неоднозначностью. Необходимость вращения факторов возникает чаще всего, когда выявленным факторам не удается дать достаточно четкую содержательную интерпретацию. Например, факторные нагрузки для рассматриваемого фактора могут быть близкими по величине и одинаковыми по знаку у многих признаков, так что трудно однозначно определить, какой фактор ‘стоит’ за выделенной комбинацией признаков. Вращение позволяет сделать матрицу факторных нагрузок более ‘контрастной’ за счет увеличения нагрузок по одним признакам и уменьшения по другим, что способствует более отчетливому выявлению групп признаков, определяющих тот или иной фактор. Отметим в этой связи, что необходимость использования процедур вращения отсутствует в том случае, когда применяют метод экстремальной группировки параметров. Этот метод не связан ограничением ортогональности факторов, поэтому при его использовании получают факторы, максимально приближенные к ‘пучкам’ взаимосвязанных показателей. В методе экстремальной группировки параметров факторные нагрузки имеют, как правило, весьма высокие значения, так как в этом методе факторные нагрузки признаков, относящихся к одному фактору, зависят от коэффициентов корреляции только между признаками данной группы 45 .

    в) Не останавливаясь здесь на понятиях общности и характерности признаков 46 , обратим внимание на оценку полного вклада фактора Fp в суммарную дисперсию признаков:

    Полный вклад всех общих факторов будет равен:

    Тогда доля суммарной дисперсии, объясняемой k факторами, будет равна отношению ; обычно рассматривают как показатель полноты факторизации, т.е. того, насколько хорошо выявленные факторы объясняют вариации исходных признаков. Если, например, k полученных факторов объясняют 78% суммарной дисперсии m признаков, то доля необъясненной ими дисперсии равна 22%. Именно исходя из величины выбирают чаще всего число факторов k (с учетом, конечно, возможности интерпретации факторов).

    г) Мы здесь не останавливаемся на проблемах факторного анализа качественных признаков. В последние годы внимание к разработке методов факторизации качественных признаков возрастает, появились первые работы в этом направлении (в Четности, факторный анализ соответствий, аналог метода главных компонент 47 и др.).

    Подытоживая краткое рассмотрение факторного анализа, укажем два основных подхода к его использованию: с одной стороны, поисковый, изыскательский подход, ориентированный , на первую стадию исследования сложного явления, на поиск гипотез о его структуре; с другой стороны, направленный факторный анализ, имеющий целью проведение эксперимента для подтверждения уже выдвинутой теоретической гипотезы 48 .

    В соответствии с распространенным мнением «наиболее плодотворно использование факторного анализа на ранних стадиях исследования. однако при этом следует помнить, что факторный анализ, как и многие другие инструменты научного познания, есть прежде всего средство проверки, селекции гипотез, а отнюдь не волшебная палочка, извлекающая из груды сырых фактов «скрытые закономерности» 49 .

    Характеризуя направленный факторный эксперимент, отметим, что он применяется на более продвинутых стадиях исследования. Одна из задач этой стадии — определение размерности изучаемого сложного явления, т.е. нахождение минимального числа существенных факторов, с достаточной полнотой описывающих изучаемое явление. Другая задача, решаемая с помощью факторного анализа на этой стадии, — построение обобщенного индекса, значения которого определяются факторными весами объектов. Признаки в этом случае подбираются таким образом, чтобы отразить уже сложившееся представление об обобщенном индексе (например, задается набор признаков, характеризующих уровень технической оснащенности предприятий) Для данного набора признаков строится однофакторная модель, а затем можно ранжировать объекты по шкале измерения факторных весов.

    Факторный анализ активно используется в типологических задачах.

    источник

    Факторный анализ покажет, как повлияли на прибыль изменившиеся цена, себестоимость и объем продаж. С его помощью можно быстро выяснить количественную связь между закупкой нового оборудования и производительностью труда. И это только два примера. А в нашей статье их – семь. Да еще Excel-модель, готовая сама все рассчитать.

    Методика факторного анализа кратко – это способ измерить влияние причин на результат или следствие.

    Для иллюстрации возьмем самые простые зависимости:

    1. Цена товара, количество продаж и выручка. Где здесь следствие, а где причины? Очевидно, что цена и количество напрямую влияют на выручку. Значит, это факторы, а выручка – результирующий показатель;
    2. Себестоимость производства и затраты по элементам. Так как себестоимость складывается из материальных затрат, оплаты труда, отчислений с нее, амортизации и прочих составляющих, то это – причины. Сама же себестоимость – следствие;
    3. Производительность труда, обеспеченность рабочих основными средствами (фондовооруженность) и эффективность работы оборудования (фондоотдача). Этот пример – посложнее, ведь многое зависит от цели, стоящей перед аналитиком. Но один из наиболее расхожих вариантов такой: фондовооруженность и фондоотдача – факторы, а производительность труда – результат.

    Овладеть методикой факторного анализа означает научиться, во-первых, формировать модели (формулы), а во-вторых, количественно измерять влияние факторов на исследуемый показатель.

    Решение от «Финансового директора» позволит проанализировать расхождения факта с планом и выяснить, почему они возникли и какие факторы повлияли.

    1. Определитесь с тем, какой именно показатель нуждается в углубленном анализе. Он и будет тем самым следствием (результатом), для которого потребуется количественно измерить причины.
    2. Решите, какая факторная модель будет использоваться. Факторная модель – это формульная зависимость между причинами и результатом. Устанавливается она просто. Достаточно вспомнить порядок расчета результирующего показателя или поискать уже готовые варианты, если требуется подход посерьезнее. В приведенных в начале статьи примерах модели будут такими:
    • Выручка = Цена × Количество;
    • Себестоимость производства = Материальные затраты + Затраты на оплату труда + Социальные отчисления + Амортизация + Прочие затраты;
    • Производительность труда = Фондовооруженность × Фондоотдача.
    1. Оценитевлияние факторов на результат. В этом помогут сразу несколько способов. Наиболее популярные из них – методы цепных подстановок и абсолютных разниц.
    2. Проанализируйте полученные цифры. В ходе анализа постарайтесь найти ответы на вопросы: какие факторы оказали отрицательное воздействие на результирующий показатель? влияние каких практически незаметно? что нужно сделать, чтобы ослабить отрицательную роль первых и усилить положительный эффект от вторых? Заметим, что ответ на последний вопрос лежит в плоскости управленческих решений, так как может потребовать пересмотра ценовой политики, подходов к мотивации сотрудников, инвестиционных решений предприятия и т.п.

    Нужны готовые решения? Семь факторных моделей и расчет по ним уже ждут вас в нашей Excel-модели. Скачайте, чтобы углубленно проанализировать прибыль от продаж, себестоимость производства и производительность труда.

    Для того, чтобы грамотно проводить факторный анализ на практике, нужно еще немного теоретических знаний. Например, о том, какие в нем есть два принципиально разнящихся подхода и какими по виду бывают факторные модели.

    Первый момент – о подходах – поможет не ошибиться с подбором факторов в модель. Ведь, по сути, для каждого следствия есть множество причин. Допустим, на производительность труда метеозависимых людей влияют в том числе и геомагнитные бури. Но как формализовать это влияние, превратив его в строгую математическую формулу? Вообще можно, но сложно. А порой и не нужно.

    Второй – о типах моделей – это основа для правильного выбора способов оценки влияния факторов. Например, тот же метод абсолютных разниц применим не для каждой факторной модели.

    Все, что важно знать про методику факторного анализа, мы представили на схеме и описали ниже.

    Факторный анализ: сущность, этапы, формулы

    Есть несколько классификаций. В этой статье рассмотрим одну, но, пожалуй, самую важную для специалиста-практика.

    С позиции жесткости или однозначно выраженной определенности связи между следствием и причинами факторный анализ бывает:

    Детерминированный – это когда зависимость между результатом и факторами выражается строго заданной математической формулой, и она будет работать в любых условиях. Например, если поднять цену на товар в два раза и при этом добиться, чтобы количество продаж осталось прежним, то выручка вырастет также ровно в два раза.

    Стохастический – в этом случае связь между результатом и факторами, несомненно, есть, но вот выразить ее без проведения дополнительных вычислений – невозможно.

    Здесь снова обратимся к примеру зависимости между производительностью труда отдельных работников и геомагнитными возмущениями. Да, влияние определенно есть. Но какое оно? Как его измерить? Можно ли сказать, что если геомагнитная активность вырастет на 1 балл, то производительность труда снизится на 10%? Очевидно, что нет. Конечно, можно собрать сведения о самочувствии людей за некоторый промежуток времени и на этой основе построить корреляционно-регрессионную зависимость. Но формула, которую получат для жителей Владивостока, возможно, совсем не будет работать для москвичей и наоборот.

    Как провести факторный анализ ключевых финансовых показателей

    Смотрите, как узнать, почему выручка, себестоимость, EBITDA за полугодие отличаются от запланированных значений. Готовые Excel-модели для шести ключевых показателей и примеры расчетов – в этом решении.

    Вот их краткая характеристика с примерами.

    Связь между результатом и факторами: через алгебраическую сумму. Алгебраическая в данном случае означает, что факторы объединяются в формуле не только через сложение, но и через вычитание.

    • Совокупные затраты предприятия = Переменные затраты + Постоянные затраты;
    • Маржинальный доход на единицу товара = Цена продажи – Цена приобретения – Прочие переменные затраты на единицу;
    • Прибыль (убыток) от продаж = Выручка-нетто – Себестоимость продаж – Коммерческие расходы – Управленческие расходы;
    • Собственные оборотные средства = Собственный капитал – Внеоборотные активы.

    Связь между результатом и факторами: через произведение.

    • Объем производства продукции за год = Средняя численность работников × Среднегодовая выработка продукции одним работников;
    • Среднегодовая выработка продукции одним работником = Среднее количество дней, отработанных одним работником за год × Средняя продолжительность рабочей смены × Среднечасовая выработка продукции одним работником;
    • Рентабельность активов = Рентабельность продаж × Коэффициент оборачиваемости активов.

    Связь между результатом и факторами: через деление.

    • Рентабельность продаж = Чистая прибыль ÷ Выручка;
    • Рентабельность продаж = Рентабельность собственного капитала ÷ Коэффициент оборачиваемости активов ÷ Мультипликатор собственного капитала;
    • Финансовый леверидж = Заемный капитал ÷ Собственный капитал.

    Связь между результатом и факторами: одновременно используются алгебраическая сумма, произведение и деление.

    Некоторые обобщенные варианты формул:

    • Y = (Х1 + Х2) ÷ Х3;
    • Y = (Х1 – Х2) × Х3;
    • Y = Х1 × Х2 + Х3 × Х4;
    • Y = Х1 ÷ Х2 + Х3 ÷ Х4 и т.д.
    • Точка безубыточности = Постоянные затраты ÷ (Цена за единицу товара – Переменные затраты на единицу товара);
    • Маржа безопасности = (Плановый/фактический объем продаж – Объем продаж в точке безубыточности) ÷ Плановый/фактический объем продаж;
    • Коэффициент обеспеченности запасов собственными источниками = (Собственный капитал – Внеоборотные активы) ÷ Запасы.

    Таких способов – несколько, а именно:

    1. цепных подстановок;
    2. абсолютных разниц;
    3. относительных разниц;
    4. интегральный метод;
    5. логарифмический метод.

    Чтобы успешно решать задачи факторного анализа, достаточно знать, как реализуются первые два подхода и в чем их ограничения. Поэтому сосредоточимся именно на них.

    В чем суть: рассчитываются несколько условных значений результирующего признака и в строго определенном порядке сравниваются между собой, а также со значениями результата в базовом и отчетном периодах. Сразу оговорим терминологию:

    • базовый период – это любой предыдущий, например, за прошлый год, квартал, месяц или на предыдущую отчетную дату;
    • отчетный период – самый последний по времени из анализируемых. Базовый и отчетный периоды должны соответствовать друг другу по продолжительности. Допустим, все они – это только годы или только кварталы;
    • условное значение результирующего признака – величина, которая в реальности никогда не достигалась. Отсюда и название – «условное». Оно необходимо только для расчетных целей.
    1. Рассчитайте первое условное значение результата. Для этого в формуле факторной модели, где все значения взяты из базового периода, величину первого фактора замените на отчетную.
    2. Найдите разницу между первым условным значением результата и его же величиной в базовом периоде. Она покажет влияние первого исследуемого фактора.
    3. Вычислите второе условное значение результата. Чтобы это сделать, в формулу факторной модели введите отчетную величину для второго исследуемого фактора. Помните, что так как первый фактор уже однажды изменил значение с базового на отчетное, то для него откат назад не делается. Во всех следующих расчетах он будет браться с отчетной величиной. Это применимо и ко всем остальным факторам, значения которых изменялись с базового на отчетное;
    4. Найдите разницу между вторым и первым условными значениями результата. Это будет влияние второго фактора на результирующий показатель;
    5. Повторите процесс для всех факторов в модели. На последнем шаге расчета разница определяется между отчетным значением результата и последним условным значением.
    1. Количество условных значений всегда на единицу меньше количества факторов. То есть если модель двухфакторная, то условное значение будет одно, а из числа приведенных выше этапов надо сделать только I, II и V;
    2. Самое главное – не перепутать что из чего вычитать. Общее правило такое: из последнего звена цепочки расчета вычитается предыдущее. Из первого условного – базовое, из второго условного – первое условное, из отчетного – последнее условное;
    3. Величина влияния зависит от места фактора в модели. Если переставить факторы местами и провести расчет заново, то получатся немного другие значения. Причина – воздействие неразложимого остатка или взаимного влияния факторов друг на друга. Методы цепных подстановок, абсолютных и относительных разниц не решают данную проблему. Поэтому если требуются высокая точность вычисления и меньшее искажение из-за неразложимого остатка, то применяйте более сложные интегральный и логарифмический способы;
    4. Суммарное влияние всех факторов равняется разнице между отчетными и базовыми значениями результата. Это так вообще для всех способов оценки влияния факторов;
    5. Метод цепных подстановок – единственный универсальный в факторном анализе, который подойдет для моделей любого типа.

    Как реализовать на примере:

    1. Возьмем факторную модель [Точка безубыточности = Постоянные затраты ÷ (Цена за единицу товара – Переменные затраты на единицу товара)]. Для простоты запишем ее через условные обозначения, причем со значениями из базового периода. Получим: ТБ = ПостЗ ÷ (Цед. 0 – ПерЗед. 0);
    2. Первое условное значение для точки безубыточности рассчитаем по формуле: ТБусл. 1 = ПостЗ1 ÷ (Цед. 0 – ПерЗед. 0);
    3. Влияние первого фактора – постоянных затрат – вычислим так: ∆ТБ(ПостЗ) = ТБусл.1 – ТБ;
    4. Теперь рассчитаем второе условное значение для ТБ: ТБусл. 2 = ПостЗ1 ÷ (Цед. 1 – ПерЗед. 0). Обратите внимание, что величина постоянных затрат не меняется обратно на значение базового периода;
    5. Вычисляем влияние второго фактора – цены за единицу: ∆ТБ(Цед.) = ТБусл. 2 – ТБусл. 1;
    6. Если теперь в формуле взять переменные затраты со значением из отчетного периода, то на выходе получим не еще одно условное, а фактическое значение результата: ТБ1 = ПостЗ1 ÷ (Цед. 1 – ПерЗед. 1);
    7. На последнем шаге считаем влияние третьего фактора – переменных затрат на единицу товара: ∆ТБ(ПерЗед.) = ТБ1 – ТБусл. 2;
    8. Если расчеты сделаны верно, то должно выполняться равенство ∆ТБ = ∆ТБ(ПостЗ) + ∆ТБ(Цед.) + ∆ТБ(ПерЗед.).

    В чем суть: для расчета влияния фактора нужно найти его абсолютное отклонение (разницу) между данными отчетного и базового периода.

    1. Вычислите влияние первого фактора. Для этого подставьте в формулу его абсолютное отклонение. Все остальные факторы в модели берите со значениями из базового периода.
    2. Рассчитайте воздействие второго фактора. С этой целью в формулу опять подставляется его абсолютное отклонение. Как быть с прочими показателями? Все, которые находятся левее анализируемого фактора, берутся с отчетными значениями. Все, которые правее, – с базовыми.
    3. Повторите процесс для всех факторов в модели, используя схему: анализируемый фактор берется со значком ∆, стоящие от него слева в формуле – со значком 1, а справа – с 0.

    Что важно знать: простота реализации метода сочетается с ограниченностью применения. Он используется только для мультипликативных и смешанных моделей мультипликативно-аддитивного типа.

    Как реализовать на примере:

    1. Воспользуемся факторной моделью [Среднегодовая выработка продукции одним работником = Среднее количество дней, отработанных одним работником за год × Средняя продолжительность рабочей смены × Среднечасовая выработка продукции одним работником]. Через условные обозначения она будет такой: ГВ = Д × П × ЧВ.
    2. Влияние количества дней рассчитаем как произведение их абсолютной разницы и двух других факторов в модели со значениями из базового периода: ∆ГВ(Д) = ∆Д × П × ЧВ0.
    3. Влияние продолжительности рабочей смены вычисляем по аналогичной схеме. При этом помним, что величину Д следует брать уже из отчетного периода: ∆ГВ(П) = Д1 × ∆П × ЧВ0.
    4. Теперь остается вычислить влияние часовой выработки. Факторы слева от нее будут с индексом 1: ∆ГВ(ЧВ) = Д1 × П1 × ∆ЧВ.
    5. Проверяем выполнение равенства: ∆ГВ = ∆ГВ(Д) + ∆ГВ(П) + ∆ГВ(ЧВ).

    Давайте посмотрим, как на практике применяются три факторные модели для анализа прибыли от продаж, себестоимости производства и производительности труда. Все используемые формулы объединяет возможность выполнить расчет исключительно по данным финансовой отчетности и годового отчета. Воспользуемся информацией ПАО «Новолипецкий металлургический комбинат» (ПАО «НЛМК»).

    За основу возьмем аддитивную факторную модель: Прибыль (убыток) от продаж = Выручка – Себестоимость продаж – Коммерческие расходы – Управленческие расходы.

    Через условные обозначения запишем ее так: ПП = В – СП – КР – УР.

    В таблице приведены исходные данные, а также сделан расчет влияния факторов.

    Таблица 1 – Факторный анализ прибыли от продаж для ПАО «НЛМК»

    1.1 выручка (строка 2210 отчета о финансовых результатах – ОФР)

    1.2 себестоимость продаж (2120 ОФР)

    1.3 коммерческие расходы (2210 ОФР)

    1.4 управленческие расходы (2220 ОФР)

    1.5 прибыль от продаж (2200 ОФР)

    2 Расчет влияния факторов на прибыль от продаж, млн р.

    2.1 первое условное значение прибыли от продаж ППусл. 1
    1 – СП – КР – УР)

    2.2 влияние выручки ∆ПП(В) (ППусл. 1 – ПП)

    2.4 влияние себестоимости продаж ∆ПП(СП) (ППусл. 2 – ППусл. 1)

    2.6 влияние коммерческих расходов ∆ПП(КР) (ППусл. 3 – ППусл. 2)

    2.7 влияние управленческих расходов ∆ПП(УР) (ПП1 – ППусл. 3)

    3 Общее влияние факторов (2.2 + 2.4 + 2.6 + 2.7)

    Вывод: положительное влияние выручки более, чем в два раза перекрыло отрицательное воздействие расходов по обычным видам деятельности. С этой точки зрения деятельность ПАО «НЛМК» очень эффективна и характеризуется интенсивным подходом к развитию.

    Расчет будем вести по формуле: Себестоимость производства единицы продукции = Материалоемкость + Зарплатоемкость + Амортизациеемкость + Накладоемкость.

    Иначе: СПЕ = МЕ + ЗЕ + АЕ + НЕ.

    Примечание. Эту факторную модель легко получить, если знать соотношения:

    1. Себестоимость производства единицы продукции = Совокупные затраты ÷ Объем произведенной продукции;
    2. Совокупные затраты = Материальные затраты + Затраты на оплату труда и социальные отчисления + Амортизация + Прочие накладные затраты;
    3. Материалоемкость = Материальные затраты ÷ Объем произведенной продукции;
    4. Зарплатоемкость = Затраты на оплату труда и социальные отчисления ÷ Объем произведенной продукции;
    5. Амортизациеемкость = Амортизация ÷ Объем произведенной продукции;
    6. Накладоемкость = Прочие накладные затраты ÷ Объем произведенной продукции.

    Таблица 2 – Факторный анализ себестоимости производства единицы продукции для ПАО «НЛМК»

    1.1 материальные затраты, млн р. (строка 5610 пояснений к бухгалтерскому балансу и отчету о финансовых результатах – пояснения к ББ и ОФР)

    1.2 затраты на оплату труда и отчисления на социальные нужды, млн р. (5620 + 5630 пояснений к ББ и ОФР)

    1.3 амортизация, млн р. (5640 пояснений к ББ и ОФР)

    1.4 прочие затраты, млн р. (5650 пояснений к ББ и ОФР)

    1.5 объем производства, млн т (годовой отчет)

    2 Результирующий и факторные показатели модели, р./т:

    источник

    Читайте также:  Как построить гистограмму через анализ данных