Найти норму оператора функциональный анализ

Нужна помощь в решении контрольной. Важно само решение, можно даже пример решения идентичного задания. Если кому не сложно. 🙂

1) Является ли функция $%p(x,y)=\max(3|x_1|,4|x_2|)$% нормой на $%R^2$%?
Должно быть таки имелось ввиду x1,x2, вместо х, у.

2) Доказать, что функционал $%f:C[-1,1]→R, f(x)=x(-1)-2x(1)$% является линейным и непрерывным, найти его норму.

3) Доказать, что оператор $%A:l_1→l_1, Ax = (\fracx_1,\fracx_2. \fracx_n. )$%, где $%x=(x_1,x_2. ) \in l_1$%, есть линейным, непрерывным и найти его норму.

@DocentI Пункты 4 и 5 перенесла в другой вопрос, а то слишком длинный ответ. Если хотите, пересоздайте его под своим именем, тогда я свой удалю.

4) Исследовать на поточечную и равномерную сходимость последовательность операторов $%A_n:C[0,\pi]→C[0,\pi], A_nx(t)=\frac>x(t)$%

5) Проверить существует ли непрерывный обратный оператор к оператору $%A:l_2→l_2, Ax=(2x_1-x_2,x_2,x_3,x_4. )$%, где $%x=(x_1,x_2. ) \in l_2$%

задан 17 Апр ’12 4:01

Уважаемый участник, пишите, пожалуйста, вопросы текстом на русском языке с формулами в тексте, иначе вопросы будут удаляться.

Условие неясное. Написана функция или ее норма? Что такое x,y,x1,y1, и как они связаны между собой?

Раньше было фото вопросов (6 штук) на украинском языке. По-моему, это неправильный перевод! Сейчас дам свою редакцию. Вот это фото

Уважаемый @ХэшКод. Это Вы переводили вопрос с украинского? Совершенно неверно! На украинском было все понятно. Даже приятно заодно расширить свои лингвистические познания. Разрешите автору задать вопрос самому.

Перевел на русский и обновил вопрос, спасибо за решения! Вопрос открыт.

Первое задание задано неаккуратно. Что является аргументами p — (x, y) или $%(x_1, x_2)$%? Или $%(x_1, x_2)$% — компоненты вектора x? Это противоречит утверждению, что норма задана в $%R^2$%. Будем писать $%(x_1, x_2)$%.

Норма удовлетворяет двум свойствам а) однородность б) неравенство треугольника. Проверим первое. Если y = kx, то $%p(y_1,y_2)=\max(3|kx_1|,4|kx_2|=|k|\max(3|x_1|,4|x_2|)=|k|p(x_1,x_2)$%, свойство выполняется.

Неравенство треугольника: $%p(x_1+y_1,x_2+y_2)=\max(3|x_1+y_1|,4|x_2+y_2|)$% должно не превосходить суммы $%\max(3|x_1|,4|x_2|)+\max(3|y_1|,4|y_2|)$%.

Пусть, например, в первом максимуме большим является $%3|x_1+y_1|$%. Это выражение не превосходит $%3|x_1|+3|y_1|$% (неравенство треугольника для модуля). Здесь первое слагаемое не больше $%\max(3|x_1|,4|x_2|)$%, второе — $%\max(3|y_1|,4|y_2|)$%. Значит, неравенство треугольника в этом случае выполняется. Аналогично рассматривается второй случай.

2) Линейность, думаю, Вы и сами проверите. Надо подставить в f сумму функций x(t) + y(t). А также kx(t), где k — константа. Что касается нормы, тут сложнее. Не очень хорошо помню, как именно вводится норма для функционала (наверное, есть разные способы). Пусть, например, так: $%\|f\| = \sup \frac $%. Правда, тогда надо выбрать и норму x(t), котороя может быть разной. Например, с заданной интегралом, или sup. Уточните, какая норма функции здесь имеется в виду?

Скорее всего в $%C[-1;1]$% нормой будет супремум функции. Достаточно рассмотреть функции, норма которых равна 1, т.е. $%\max|x(t)|=1$%. Для таких функций $%f(x)\le 3$%, причем значение 3 достигается, например, для функции $%x(t)=t$%. Значит, норма f равна 3.

3) В $%l_1$% видимо, нормой будет сумма ряда $%\sum|x_i|$%? Как и в предыдущем случае, рассмотрим все x, для которых эта сумма равна 1. Посмотрим, во сколько раз может увеличить ее преобразование A. Ясно, что не более, чем в 3/2 раза. Это значение достигается для $%x=(1,0,0. 0. )$%. Непрерывность следует из других свойств. Имеем $%|Ax-Ay|=|A(x-y)|\le 3/2|x-y| ссылка

источник

Для печати

Пред. тема | След. тема

Автор

Сообщение

Swag

Начинающий

Зарегистрирован:
27 ноя 2010, 10:14
Сообщений: 8
Откуда: Екатеринбург
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Пара задач на норму линейного оператора. Был бы очень признателен

1) Найти норму линейного оператора [math]A \colon C[0,2] \to C[0,2][/math] и проверить достижимость нормы [math]Ax(t)=(t-1)^2x(t)[/math]

2) Линейный оператор [math]A \colon l_2\to l_2[/math] задан формулой [math]Ax=\left(0,\fracx_1,\ldots,\fracx_k,\ldots\right)[/math] , [math]x=(x_1,x_2,\ldots)[/math] . Показать, что [math]A[/math] ограничен и найти его норму. Будет ли она достижима?

Light & Truth

Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

1) Т.к. функция [math](t-1)^2[/math] не превосходит 1 на промежутке [0,2], то

Поэтому норма оператора не превосходит 1. С другой стороны, взяв в качестве функции x(t) функцию, равную тождественно единице [math]x(t)\equiv1[/math] , получим

Следовательно, норма оператора равна 1.

2) Отметим неравенство [math]\frac справедливое для всех натуральных чисел k. Отсюда следует неравенство

Поэтому норма оператора не превосходит 2. С другой стороны, взяв последовательность элементов [math]x_n \in l_2,[/math] у которых на всех местах стоят нули , кроме места с номером n, на котором стоит 1, получим

Следовательно, норма оператора равна 2. Эта норма недостижима.

источник

Лекция 4 Линейные ограниченные функционалы. Теорема Хана – Банаха о продолжении линейного функционала

4.1. Определение линейного функционала. Примеры линейных ограниченных функционалов. Теорема Рисса

4.2. Теорема Хана – Банаха о продолжении линейного функционала и ее следствия

Определение 4.1. Линейным функционалом на линейном пространстве X над полем K называется отображение f : X ® K, удовлетворяющее условиям

Сопоставляя определение 4.1 с определениями лекции 15 курса «Функциональный анализ. Часть 1», видим, что линейный функционал является частным случаем линейного оператора. В частности, для линейного функционала справедливы все понятия и теоремы лекции 1.

Приведем некоторые из этих понятий.

1. Линейный функционал на нормированном пространстве X называется ограниченным, если существует постоянная C > 0 такая, что справедливо неравенство | f (x) | £ C ||x||.

2. Нормой ограниченного линейного функционала f называется наименьшая из констант C, при которых справедливо неравенство ограниченности, т. е. || f || = inf C =.

Определение 4.2. Пространство L (X, K) линейных ограниченных функционалов на X называется сопряженным к пространству X и обозначается X ‘.

Согласно теореме 1.1, сопряженное пространства является полным нормированным пространством.

Пример 4.1. Пусть X – конечномерное нормированное пространство с базисом e₁, e₂,¼, e_n. Тогда любой элемент x представляется в виде , x_k Î R. Поскольку в X все нормы эквивалентны (см. раздел 16.1 курса «Функциональный анализ. Часть 1»), будем считать, что . Если f – линейный функционал на X, то , где x_k = f (e_k). Полагая , имеем f (x) = (x, x). Из неравенства Коши – Буняковского получаем оценку | f (x) | = | (x, x) | £ ||x|| ||x||, которая показывает, что в конечномерном нормированном пространстве любой линейный функционал f ограничен.

Пример 4.2. Пусть X = C [0, 1]. Функционал f на X определим формулой . Линейность функционала f следует из свойств интеграла:

Проверим ограниченность этого функционала:

Пример 4.3. Пусть a(t) – интегрируемая по Лебегу функция. На нормированном пространстве C [0, 1] определим функционал формулой , где интеграл понимается в смысле Лебега. Линейность этого функционала очевидна. Неравенство есть неравенство ограниченности для функционала f, причем .

На пространстве C [0, 1] могут быть функционалы и других видов.

Пример 4.4. На пространстве C [– 1, 1] определим линейный функционал d формулой d (x) = x(0). Так как |d (x) | = | x(0) | £, то функционал d ограничен и ||d || = 1. Однако не существует функции a(t) Î L₁ [– 1, 1] такой, что для всех x Î C [– 1, 1]. Действительно, предположим противное и выберем последовательность

Тогда x_n Î C [– 1, 1] и x_n(0) = 1 для всех n. Подставляя x_n в формулу, получаем

. (1)

Так как a(t) x_n(t) ® 0 почти всюду и | a(t) x_n(t) | £ | a(t) |, то, переходя в равенстве (1) к пределу по теореме Лебега, будем иметь . Получаем противоречие.

Пример 4.5. Пусть X = L_p(T, m) и пусть g Î L_q(T, m), где 1 / p + 1 / q = 1. На пространстве L_p(T, m) определим линейный функционал формулой

. (2)

Согласно неравенству Гёльдера (см. раздел 11.2 курса «Функциональный анализ. Часть 1»), интеграл (2) существует и справедливо неравенство

, (3)

которое является неравенством ограниченности для функционала f, и из (3) получаем, что .

Пример 4.6. Пусть H – гильбертово пространство и u Î H – произвольиый элемент H. Линейный функционал на H определим формулой f (x) = (x, u). Линейность этого функционала следует из аксиом скалярного произведения, а неравенство Коши – Буняковского | (x, u) | £ ||x|| ||u|| является неравенством ограниченности для функционала f и показывает, что || f || £ ||u||. Так как в случае x = u имеем равенство f (u) = (u, u) = ||u|| ||u||, то постоянная ||u|| есть наименьшая, при которой справедливо неравенство ограниченности, т. е. || f || = ||u||.

Следующая теорема утверждает, что справедливо и обратное.

Теорема 4.1 (Рисс). Для любого ограниченного функционала f на гильбертовом пространстве H существует, и притом единственный, элемент u Î H такой, что f (x) = (x, u), причем || f || = ||u||.

Существование. Пусть N = Ker f = x : x Î H, f (x) = 0>. Это линейное подпространство в H. Оно замкнуто в силу непрерывности f. (Если x_n ® x и x_n Î N, то , т. e. x Î N.) Если N = H, то f (x) = (x, 0). Пусть N ¹ H, тогда, согласно теореме о проекции (теорема 17.3 курса «Функциональный анализ. Часть 1»), существует элемент u ^ N, u ¹ 0. Возьмем произвольный элемент x Î H и построим элемент . Так , то x₁ Î N. Тогда (x₁, u) = 0, т. е. , откуда f (x) = (x, u), где .

Равенство || f || = ||u|| было доказано в примере 4.6.

Доказанная теорема утверждает, что между элементами гильбертова пространства H и его сопряженного H’ существует биективное соответствие H ‘ u ® f_u Î H’, где f_u (x) = (x, u). Очевидно, что это отображение обладает свойствами , (такие отображения называются антилинейными) и, так как ||u|| = || f_u ||, оно изометрично.

Значения линейных функционалов в R n являются координатами точки x в некоторой системе координат. С этой точки зрения можно рассматривать и линейные ограниченные функционалы в нормированном пространстве, т. е. значения линейных ограниченных функционалов в точке x считать координатами точки x и вместо x рассматривать ее «координаты» f (x). Поэтому можно считать, что введение сопряженного X’ к бесконечномерному нормированному пространству X аналогично введению координат в геометрическом пространстве. Для обоснования правомерности такой точки зрения нужно прежде всего показать, что линейных ограниченных функционалов на нормированном пространстве достаточно много в том смысле, что по значениям всех линейных ограниченных функционалов точка x Î X определяется однозначно.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9465 — | 7448 — или читать все.

источник

Здесь я постараюсь написать теоретический минимум по второй части курса функционального анализа.

Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru

Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.

Метрическое пространство [math]M[/math] есть множество точек с метрикой [math]d \colon M \times M \to \mathbb[/math] :

[math]d(x,\;y) \ge 0 ; d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y[/math] .
[math]d(x,\;y)=d(y,\;x)[/math] .
[math]d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)[/math] .

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

Банаховым пространством (B-пространством) называется нормированное линейное пространство, полное по метрике, порождённой нормой.

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [math][a,b][/math] функции (обычно обозначается [math][a,b][/math] ). Норма в этом пространстве определяется следующим образом: [math]||x||_[a,b]>=\max_|x(t)|[/math]

Теорема Рисса — Фреше: Для любого непрерывного линейного функционала [math]f[/math] на Гильбертовом пространстве [math] H[/math] существует единственный вектор [math]y \in H[/math] такой, что [math]f(x)= \langle x,y \rangle[/math] для любого [math]x \in H[/math] . При этом норма линейного функционала [math]f[/math] совпадает с нормой вектора [math]y[/math] : [math]\|f\|=\sup_ |f(x)|= \sqrt[/math] . Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над [math]H[/math] изоморофно пространству [math]H[/math] .

Теорема (Хан-Банах) о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал [math]f(x)[/math] , определённый на подпространстве [math]L[/math] линейного пространства [math]X[/math] и удовлетворяющий условию [math]|f(x)| \leq p(x), \forall x \in L[/math] , где [math]p(x)[/math] — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве [math]X[/math] ) то [math]f(x)[/math] может быть продолжен на все пространство [math]X[/math] с сохранением этого условия.

Теорема (Хан-Банах) о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал [math]f(x)[/math] , определённый на линейном многообразии [math]L[/math] линейного нормированного пространства [math]X[/math] , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.

Ядром линейного отображения [math]f\colon A\to B[/math] называются подмножество [math]A[/math] , которое отображается в нуль: [math]\mbox\,f = \. Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве [math]A[/math] .

Пусть [math]A[/math] — оператор, действующий в банаховом пространстве [math]E[/math] . Число λ называется регулярным для оператора [math]A[/math] , если оператор [math]R(\lambda)=(A — \lambda I)^[/math] , называемый резольвентой оператора [math]A[/math] , определён на всём [math]E[/math] и непрерывен. Множество регулярных значений оператора [math]A[/math] называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора.

Определение:

Замыкание [math]Cl \; A = F[/math] , если [math]F[/math] — замкнутое, [math]A \subseteq F[/math] и [math]\forall[/math] замкнутого [math]G: A \subseteq G \Rightarrow F \subseteq G[/math]

Определение:

[math]A[/math] всюду плотно в [math]X[/math] , если [math]Cl \; A = X[/math]

Определение:

[math]A[/math] нигде не плотно в [math]X[/math] , если [math]\forall V_r(x)\; \exists V_(y) \subset V_r(x): V_(y) \cap A = \O[/math]

Определение:

[math]A[/math] I категории по Бэру в [math]X[/math] , если [math]A = \cup A_i[/math] (счетное объединение), [math]A_i[/math] нигде не плотно в [math]X[/math] , иначе II категории

[math](x_1^n, x_2^n, \ldots, x_m^n, \ldots) \to (x_1, x_2, \ldots, x_m, \ldots) \Leftrightarrow \forall m : x_m^n \to x_m[/math]

Теорема:

Определение:

[math]S(E, \mu)[/math] — пространство измеримых функций на [math]E[/math] по [math]\mu[/math] . На этом пространстве определена метрика [math]\rho (f, g) = \int\limits_E \frac d\mu[/math]

Определение:

Норма [math]\| \cdot \| : X \to \mathbb[/math]

[math]\|x\| \geq 0, \; \|x\| = 0 \Leftrightarrow x=0[/math]
[math]\|\alpha x\| = |\alpha|\|x\|[/math]
[math]\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|[/math]

Определение:

[math]x_n[/math] сходится по норме к [math]x[/math] , если [math]\|x_n — x\| \to 0[/math]

Определение:

[math]\| \cdot \|_1 \sim \| \cdot \|_2[/math] , если [math]\exists a, b \; \forall x : a\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq b\|x\|_1[/math]

Теорема (Рисс):

Лемма (Рисс, о почти перпендикуляре):

[math]Y[/math] — собственное подпространство [math]X \Rightarrow \forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_ \in X : \|z_\| = 1,\; \rho(z_, Y) \geq 1 — \varepsilon[/math] (где [math]\rho(z, Y) = \inf\limits_ \|z-y\|[/math] )

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\forall z \notin Y \; \forall \varepsilon\; \exists y_ \in Y : \rho(z, Y) \leq \|z — y_\| \leq \frac \cdot \rho(z, Y)[/math] (по свойствам inf). Тогда положим [math]z_[/math] из условия леммы равным [math]\frac>\|>[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (пример применения леммы):

[math]X[/math] — бесконечномерное НП [math]\Rightarrow[/math] любой шар в нем — не компакт

Определение:

[math]C[0,1][/math] — пространство непрерывных функций на [math][0,1][/math] . На этом пространстве определена норма [math]\|f\| = \max\limits_|f(t)|[/math]

Определение:

[math]L_p(E)[/math] — пространство измеримых на [math]E[/math] функций [math]f : \int\limits_E|f|^p \lt +\infty[/math] . На этом пространстве определена норма [math]\|f\| = \sqrt[p][/math]

Определение:

Скалярное произведение [math]\langle x,y \rangle[/math]

[math]\langle\alpha x_1 + \beta x_2,y \rangle = \alpha\langle x_1, y \rangle + \beta \langle x_2, y \rangle [/math]
[math]\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle [/math]
[math]\langle x,x \rangle \geq 0, \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0[/math]

Равенство параллелограмма: [math]2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2[/math]

Неравенство Шварца: [math]|\langle x,y \rangle| \leq \sqrt \cdot \sqrt[/math] [math]\alpha_i(x) = \langle x,e_i \rangle, \; \sum \alpha_i(x)e_i[/math] — абстрактный ряд Фурье

[math]\delta_n(x) = \sum\limits_^n \alpha_i(x)e_i,\; E_n(x) = \|x-\delta_n(x)\|[/math]

Неравенство Бесселя: [math]\sum \alpha_i^2(x) \leq \|x\|^2[/math]

Определение:

Гильбертово пространство — полное унитарное пространство. То есть для него выполняется:

Введено скалярное произведение
Введена норма: [math]\|x\| = \sqrt[/math]
[math]\|x_n — x_m\| \to 0 \Rightarrow \exists x : \|x_n — x\| \to 0[/math]

Определение:

Пространство сепарабельно, если у него существует счетное абсолютно плотное подмножество

Лемма:

В гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис тогда и только тогда, когда оно сепарабельно

17.Наилучшее приближение в Н для случая выпуклого,замкнутого множества, [math]H=H_1 \oplus H_2[/math] [ править ]

Определение:

Линейный функционал [math]f[/math] непрерывен в [math]x[/math] , если [math]\forall \ : x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x)[/math]

Лемма:

[math]f[/math] непрерывен в [math]x[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]f[/math] непрерывен в [math]0[/math]

20. Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП. [ править ]

Теорема:

Лемма:

Пусть [math]X[/math] — НП, [math]Y[/math] всюду плотно в [math]X[/math] , [math]f[/math] — ограниченный линейный функционал из [math]Y[/math] . Тогда [math]\exists !g : X \to \mathbb : g(y) = f(y),\; \|g\| = \|f\|[/math] (существует единственное продолжение, сохраняющее норму)

Лемма:

Пусть [math]X[/math] — линейное множество с введенной на нем полунормой [math]p(x)[/math] , [math]Y \subset X[/math] , [math]f : Y \to \mathbb[/math] , [math]|f(y)| \leq p(y)[/math] (то есть функционал подчинен полунорме), [math]z \notin Y[/math] , [math]Z = L(Y, z)[/math] . Тогда [math]\exists g : Z \to \mathbb : g(y) = f(y),\; g(x) \leq p(x)[/math]

Теорема (Хан — Банах):

Следствие 1: [math]X[/math] — НП, [math]x_0 \in X[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists f : f(x_0) = \|x_0\|,\; \|f\| = 1[/math]

Следствие 2: [math]X[/math] — НП, [math]\[/math] — ЛНЗ [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists \ : f_i(e_j) = \delta_[/math] (биортогональная система)

Определение:

Линейный оператор [math]A[/math] непрерывен в [math]x[/math] , если [math]\forall \ : x_n \to x \Rightarrow Ax_n \to Ax[/math]

Теорема:

Определение:

[math]L(X,Y)[/math] — пространство непрерывных линейных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math]

Лемма:

[math]Y[/math] — Банахово [math]\Rightarrow L(X,Y)[/math] — Банахово

Определение:

Спектр линейного оператора [math]\sigma(A) = \mathbb \setminus \rho(A)[/math]

Теорема:

Определение:

Сопряженным к оператору [math]A : X \to Y[/math] называется такой оператор [math]A^* : Y^* \to X^*[/math] , что [math]A^* \varphi = \varphi \circ A[/math] , то есть [math]A^*\varphi = f : f(x) = \varphi(Ax)[/math]

Лемма:

[math]\|A\|=\|A^*\|[/math]

Определение:

Ортогональным дополнением линейного множества [math]M \subset E[/math] называется множество [math]M^ = \. [math]M^ = \. Заметим, что из непрерывности функционалов следует замкнутость ортогональных дополнений.

Лемма:

[math]E^ = \,\; E^ = \[/math]

Определение:

Оператор [math]A[/math] компактен, если [math]\forall G : G[/math] — ограниченное [math]\Rightarrow A(G)[/math] — относительно компактно

Лемма:

Компактные операторы обладают следующими свойствами:

[math]A[/math] — компактный, [math]B[/math] — ограниченный [math]\Rightarrow[/math] [math]AB[/math] и [math]BA[/math] — компактные
[math]A_n[/math] — компактные, [math]A_n \to A[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]A[/math] — компактный
[math]A : X \to Y[/math] — компактный, [math]X[/math] — бесконечномерно [math]\Rightarrow[/math] оператор [math]A[/math] не может быть непрерывно обратим

Определение:

Система точек [math]\ \subset X[/math] называется базисом Шаудера, если любой элемент пространства [math]X[/math] единственным образом представим в виде линейной комбинации этих точек

Лемма:

Пусть [math] A \in L(E, F) [/math] , и [math] \exists \alpha \; \forall y \in R(A)\; \exists x \in E : \|x\| \leq \alpha \|y\| , Ax=y[/math] . Тогда [math] R(A) [/math] — замкнуто.

Будем работать с [math]E[/math] , как с банаховым пространством.

Def: Пространство всех линейных функционалов на [math]E[/math] образует линейное пространство (прошлый семестр). Это пространство называется сопряжённым к [math]E[/math] , оно обычно обозначается [math]E^*[/math] .

Def: Пусть [math]A:E\to F[/math] — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства [math]E[/math] в банахово пространство [math]F[/math] . И пусть [math]E^*, F^*[/math] — сопряжённые пространства. Обозначим [math]\forall x\in E, f\in F^* \langle Ax,f\rangle =f(Ax)[/math] . Если [math]f[/math] — фиксировано, то [math]\langle Ax,f \rangle [/math] — линейный непрерывный функционал в [math]E, \langle Ax,f \rangle \in E^*[/math] . Таким образом, для [math]\forall f\in F^*[/math] определён линейный непрерывный функционал из [math]E^* [/math] , поэтому определён оператор [math]A^*:F^*\to E^*[/math] , такой что [math]\langle Ax,f \rangle=\langle x,A^*f \rangle[/math] . [math]A^*[/math] называется сопряжённым оператором.

Th: Пусть задан линейный оператор [math]A:E\to F[/math] . Тогда норма оператора [math]A^*:F^*\to E^*[/math] совпадает с нормой [math]A[/math] .

Def: Пусть [math]S[/math] некоторое линейное множество. Тогда его ортогональное дополнение [math]S^\perp = \[/math] .

Th: Имеют место соотношения: [math]E^\perp = \[/math] ; [math](E^*)^\perp = \[/math] .

(при доказательстве используем теорему Хана-Банаха)

(Здесь можно написать красивый текст из конспекта про важность теорем и все такое)

Th: Пусть задан линейный оператор [math]A:E\to F[/math] , где [math]E[/math] и [math]F[/math] банаховы. Тогда [math]\overline = (Ker(A^*))^\perp[/math] .

Th: Пусть множество значений оператора [math]A[/math] замкнуто: [math]R(A) = Cl(R(A))[/math] . Тогда верно [math]R(A^*) = Cl(R(A^*)) = (Ker(A))^\perp[/math] .

Def: Линейный оператор [math]A:E\to F[/math] называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество из [math]E[/math] в относительно компактное множество в [math]F[/math] .

Примером является оператор Фредгольма: [math]\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt[/math] .

Установим несколько свойств:

Th: Пусть операторы [math]A, B:E\to E[/math] такие, что [math]A[/math] компактен, а [math]B[/math] ограничен. Тогда операторы [math]AB[/math] и [math]BA[/math] компактны.

Def: Система векторов [math]\[/math] топологического векторного пространства [math]E[/math] называется базисом Шаудера, если каждый элемент [math]f \in E[/math] разлагается в единственный, сходящийся к [math]f[/math] ряд по [math]\[/math] : [math]f= \sum_^ f_i e_i[/math] , где [math]f_i[/math] — числа, называемые коэффициентами разложения вектора [math]f[/math] по базису [math]\[/math] .

Теперь походим вокруг альтернативы Фредгольма-Шаудера.

Утв. Пусть [math] A [/math] — компактный оператор, [math] H = I — A [/math] . Тогда, [math] dim (Ker H)\lt +\infty [/math]

Следствие Множество решений операторного уравнения [math] Ax = \lambda x, \lambda \in \mathbb [/math] конечномерно.

Утв. Пусть [math] A \in L(E, F) [/math] и [math] \exists \alpha = const : \forall y \in R(A), y = A(x), \exists x \in E : \|x\| \le \alpha \|y\| [/math] . Тогда, [math] R(A) [/math] — замкнуто.

Утв. Пусть оператор [math] A [/math] — компактный. Тогда, [math] R(I — A) [/math] — замкнуто.

Утв. Пусть оператор [math]A[/math] — компактный. Тогда [math] \exists k \in \mathbb[/math] : [math]Ker(I — A)^ = Ker(I — A)^k[/math]

Утв. Пусть [math] A [/math] — компактный оператор. Тогда, [math] R(I — A) = E \Leftrightarrow Ker(I — A) = \[/math]

Th. (Альтернатива Фредгольма-Шаудера)

Пусть [math] A : E \rightarrow E [/math] — компактный оператор, [math]E — B[/math] -пространство.

Тогда, [math] \forall \lambda \neq 0[/math] возможны только 2 случая:

[math] Ker(\lambda I — A) = \ \Rightarrow \lambda \in \rho(A) [/math]
[math] Ker(\lambda I — A) \neq \ \Rightarrow [/math] (уравнение [math](\lambda I — A)x = y[/math] разрешимо относительно [math]x) \Leftrightarrow y \in (Ker(\lambda I^ — A^))^[/math]

Теперь это называется Теорией Гильберта-Шмидта

Утв. Пусть [math] A [/math] — ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, [math]\sigma(A) \subset \mathbb[/math]

17. О характеризации спектра и резольвентного множества ограниченного самосопряженного оператора [ править ]

Th. Пусть [math] A [/math] — ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда,

[math] \lambda \in \rho(A) \Leftrightarrow \exists m \gt 0 : \|(\lambda I — A)x\| \ge m \|x\| [/math]
[math] \lambda \in \sigma(A) \Leftrightarrow \exists \[/math] , т.ч. [math] \lim_\|(\lambda I — A)x_n\| = 0 [/math]

Def. [math] m_ = \inf_\langle Ax, x \rangle[/math]

Def. [math] m_ = \sup_\langle Ax, x \rangle[/math]

Def. Если для некоторого оператора [math]L : \langle Ax, x \rangle \ge 0 [/math] , то [math]L[/math] называется неотрицательным.

Th. Пусть [math]A[/math] — ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, [math]\sigma(A) \subset [m_, m_][/math] , и [math]m_ \in \sigma(A), m_ \in \sigma(A)[/math]

Th. Пусть [math]A[/math] — ограниченный, самосопряженный оператор. Тогда, [math]\|A\| = r_ = \max\|, |m_|\>[/math]

Элементы нелинейного функционального анализа.

Def: Пусть на замкнутом шаре [math]\overline \subset X[/math] , где [math]X[/math] — метрическое пространство, определён оператор [math]A: \overline \subset X \to X[/math] . Он называется сжатием на [math]\overline[/math] , если [math]\exists\alpha\in(0; 1)[/math] такой, что для [math]x,y \in M[/math] выполняется [math]\rho(x,y)>[/math] .

Th.(Банаха о неподвижной точке) Пусть [math]T : \overline \to \overline[/math] и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора [math]T[/math] [math]\exists ![/math] неподвижная точка.

Рассмотрим [math]T : V_r(x_0) \to Y[/math] , где [math]V_r(x_0) \subset X[/math] и, кроме того, [math]X, Y[/math] — нормированные пространства.

Пусть [math]\|\delta x \| \lt r[/math] . Тогда, очевидно, [math]x + \delta x \in V_r(x_0)[/math] .

Обозначим [math]\delta T(x_0, \delta x) = T(x_0 + \delta x) — T(x_0)[/math] .

Def. Отображение [math]T[/math] называется дифференцируемым по Фреше в точке [math]x_0[/math] , если существует оператор [math]A_ \in L(X,Y)[/math] такой, что [math]\delta T(x_0, \delta x) = A_(\delta x) + o(\delta x)[/math] , где [math]o(\delta x)[/math] несёт следующий смысл: [math]\frac_Y > _X> \to 0[/math] .

Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: [math]T_‘ = A_[/math] . Подчеркнем, что [math]T_‘: X \to Y[/math] . Аргументом является «отклонение» некоторой точки [math]x'[/math] от [math]x_0[/math] : [math]x — x_0[/math] . А результат применения оператора: [math]T(x’) — T(x_0)[/math] с точностью до [math]o(\delta x = x’ — x)[/math] .

Lm. Рассмотрим оператор [math]T(x, t) =\int_0^1 K(t,s,x(s))ds[/math] , действующий на [math]x(t) \in C[0,1][/math] , и где [math]K = W(v, y, z); v, y \in [0, 1][/math] , [math] z \in \mathbb R[/math] , и существует непрерывная по [math]v, y, z[/math] производная [math]\frac[/math] . Тогда в любой точке пространства [math]C[0,1][/math] это отображение дифференцируемо и его производная Фреше задается интегральным линейным по [math]\delta x[/math] оператором: [math]T_‘(\delta x, t) = \int_0^1 \frac(t, s, x_0(s))\delta x(s) ds[/math] .

Lm. (Неравенство Лагранжа) Пусть [math]X, Y[/math] — нормированные пространства, [math]V[/math] — некоторый шар в [math]X[/math] и дан оператор [math]T : V \to Y[/math] и на всем этом шаре [math]\exists T'(x)[/math] . Тогда для любых [math]a, b \in V : \|T(b) — T(a)\| \le M _X[/math] , где [math]M = sup_\|T'(x)\|[/math] .

Пусть [math]V[/math] — шар в [math] X, V \subset X[/math] , а [math]W \subset Y[/math] — шар в [math]Y[/math] , и задан оператор [math]T : \times \rightarrow Y[/math] .

Пусть [math]x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y[/math] .

Пусть [math] \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^_y [/math] — дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных [math]x[/math] и [math]y[/math] .

Пусть также [math]T^_(x_0, y_0)[/math] — непрерывно обратим.

Тогда задача о неявном отображении для [math]T(x, y) = 0[/math] c начальным решением [math]T(x_0, y_0) = 0[/math] разрешима в некоторых окрестностях точек [math]x_0, y_0[/math] , а именно: для любого [math]x’ \in V_(x_0)[/math] существует единственное [math]y’ \in V_(y_0) : T(x’, y’) = 0[/math] .

Следствие локальной теоремы о неявном отображении

Дано отображение [math]T : V_r(x_0) \subset X \to V_r(y_0) \subset Y[/math] . [math]T(x_0) = y_0[/math] . Если существует непрерывно-обратимое отображение [math]T_x ‘(x_0)[/math] и отображение [math]T_x ‘(x)[/math] существует на всем шаре, то для любого [math]y \in V_(y_0)[/math] существует единственный [math]x \in V_(x_0) : T(x) = y[/math] .

Th.(о простой итерации) [math]T: V \subset X \to X[/math] и существует [math]\overline \in V : \overline = T(\overline)[/math] . Кроме того, пусть [math]\|T'(\overline)\| \lt 1[/math] . Тогда [math]\exists \delta : \forall x_0 \in V_\delta(\overline)[/math] и [math]x_ = T(x_n)[/math] выполнено [math]lim(x_n) = \overline[/math] .

Th.(о методе Ньютона-Канторовича) [math]F : V \to X, \exists \overline \in V : F(\overline) = 0[/math] . Кроме этого, пусть на [math] V[/math] [math] \exists F'(x)[/math] , непрерывная на нем. Тогда существует окрестность точки [math]\overline[/math] , в которой метод Ньютона-Канторовича осуществим. Т.е. [math]\exists \delta \gt 0 : x_0 \in V_\delta(\overline), x_ = x_n — (F_‘)^(F(x_n))[/math] и тогда: [math] lim(x_n) = \overline [/math] .

Lm.(о проекторах Шаудера) Пусть [math]T: D \subset X \to X[/math] , где [math]X[/math] — нормированное пространство. Тогда существует последовательность компактных операторов [math]T_n: T_n \rightrightarrows T[/math] на D, и при этом [math]\forall T_n[/math] лежит в конечномерном подпространстве [math]X[/math] .

Th.(Шаудера) Если [math]D[/math] — ограниченное выпуклое замкнутое множество в Банаховом пространстве [math]X[/math] и оператор [math]T : D \to D[/math] , то у этого оператора на [math]D[/math] существует неподвижная точка.

источник

1. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Примеры линейных ограниченных операторов.

Одним из важнейших и наиболее хорошо изученных классов отображений является класс линейных операторов, определенных в линейных пространствах. Среди них находятся многие операторы алгебры и анализа.

Определение 1. Пусть X и Y – линейные нормированные пространства. Отображение А, действующее из X в Y , называется линейным оператором, если выполняются условия:

2) оператор является однородным, т.е. Аlх = lAx, для любого вещественного (комплексного числа) l.

Определение 2. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, называется непрерывным в точке х, если из сходимости x_n ® x вытекает сходимость Ax_n ® Ax. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства Х.

Лемма 1. Если линейный оператор А, действующий из Х в Y, непрерывен в точке х, то он непрерывен.

Доказательство. Покажем, что оператор А непрерывен в любой точке y. Пусть у_n®y. Тогда y_n – y + x ® x. В силу непрерывности в точке х вытекает сходимость А(y_n – y + x) ® Ах или (в силу линейности оператора А) Аy_n – Ay + Ax ® Ax. Последнее эквивалентно сходимости Аy_n ® Ay.

Определение 3. Линейный оператор А, действующий из Х в Y называется ограниченным, если существует такое положительное число Р, что ||Аx|Y|| £ Р||x|X|| для всех хÎХ.

Заметим, что из контекста, как правило, видно в каком пространстве вычисляется норма, и часто мы будем опускать указание этого пространства.

Теорема 1. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.

Доказательство. Пусть оператор А непрерывен, а множество М Ì Х ограниченное. Покажем, что множество А(М) также ограниченное. Ограниченность множества М означает, что существует такое число d, для которого нормы всех точек из М не превосходят d. Пусть напротив множество А(М) не является ограниченным. Это означает, что для любого натурального n существует точка х_nÎМ такая, что ||А(х_n)|| > n. Рассмотрим точки y_n = х_n/n. Тогда ||y_n|| = ||х_n/n|| = ||х_n||/n £ d/n ® 0, т.е. y_n® 0. Но при этом ||А(y_n)|| = ||А(х_n/n)|| = ||А(х_n)||/n > 1, т.е. неверно, что А(y_n) ® 0, что противоречит непрерывности оператора А. Итак, множество А(М) ограничено.

В частности, оператор А переводит единичный шар ||x|| £ 1 пространства Х в ограниченное множество в Y. Пусть для точек из этого шара ||Аx|| £ Р. Рассмотрим произвольный вектор x ? 0 и построим элемент х/||x||. Тогда ||(x/||x||)|| = 1. Отсюда ||Аx||/||x|| = ||(Аx/||x||)|| = ||А(x/||x||)|| £ Р, т.е. ||Аx|| £ Р||x|| при x ? 0. Для нулевого вектора это неравенство очевидно.

Пусть оператор А ограниченный. При любых x, y выполняется неравенство ||Аx — Аy|| = ||А(x — y)|| £ Р||x — y||, откуда из условия x_n®x следует, что Аx_n ® Аx. Тем самым оператор непрерывный.

Пример 1. Оператор, который каждому вектору пространства X ставит в соответствие нулевой вектор этого пространства, очевидно, является линейным.

Пример 2. Оператор I, ставящий в соответствие каждому вектору х сам вектор х, очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.

Пример 3. Линейный оператор А, переводящий каждый вектор х в λх (λ – фиксированное число), называется оператором подобия.

Пример 4. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство и e₁, e₂,…, e_n, … – полная ортонормированная система в Н. Фиксируем ограниченную последовательность вещественных чисел λ ₁, λ ₂,…, λ_n , и для любого вектора

х =,

положим по определению (оператор нормального типа)

А х =.

Так как , то оператор Ах определен во всем пространстве Н. Легко проверить его аддитивность и однородность, а непрерывность легко следует из неравенства

Каждый базисный вектор e_n переводится оператором А в себя самого с коэффициентом λ_n: А e_n = λ_n e_n .

Пример 5. На отрезке [a, b] фиксируем непрерывную функцию α(x). В пространстве С[a,b] определен линейный оператор умножения на α(x): .

Пример 6. Пусть Х = R_n, Y = R_m. Каждому элементу х=1, ξ₂, . , ξ_n> R_n с помощью матрицы (а_ij), i=1, 2, . , m; j=1, 2, . , n ставим в соответствие элемент у=₁, ₂, . , _m> R_m , полагая

, i=1, 2, . , m.

Тем самым задан оператор А: у = Ах, определенный на R_n, со значениями в R_m. В этом случае также говорят, что оператор А задается матрицей (а_ij), i = 1, 2, . , m; j = 1, 2, . , n. Линейность оператора А устанавливалась в курсе линейной алгебры.

Если y_k=Ax_k, y=Ax, то → для всех j = 1, 2, . n и, следовательно,

, i = 1, 2, . , m

Но это означает, что, y_k = Ax_ky = Ax и оператор A непрерывен.

Пример 7. Пусть Х = Y = С[а, b]. Для произвольной функции , положим

(1)

где K(t, s)– непрерывная в квадрате функция. Равенство (1) определяет оператор у = Ах, действующий в С[а, b], который называют интегральным оператором . Аддитивность и однородность оператора практически очевидны. Например:

Непрерывность его вытекает из того, что сходимость в пространстве С[а, b] есть равномерная сходимость, при которой возможен переход к пределу под знаком интеграла. Поэтому если x_n(t)→x(t) , то

Пример 8. Пусть Х = Y = L₂[а, b]. Снова рассмотрим интегральный оператор

Но теперь будем предполагать, что функция K(t, s), называемая ядром оператора, интегрируема по Лебегу в квадрате по совокупности обеих переменных:

Покажем, что оператор А действует в пространстве L₂[а, b]. Из условий k 2 = и следует, что К(t, s)x(s), как функция от и t и s, интегрируема на . Но тогда в силу теоремы Фубини

есть измеримая и интегрируемая функция, и неравенство Гельдера дает

т. е. что . Предыдущее выражение после извлечения из него квадратного корня можно записать в виде

. (2)

Линейность оператора А очевидна, а ограниченность и непрерывность легко следует из неравенства (2).

Пример 9. Пусть Х = Y = l₂ и (а_ij), i, j = 1, 2, . – бесконечная матрица такая, что

. (3)

Рассмотрим оператор А, определяемый следующим формальным равенством: для х =i> положим

, i=1, 2, . , и Аx = y = >.

Прежде всего линейность оператора А очевидна. Далее, из неравенства Гельдера следует, что ряд абсолютно сходится, так как

т е. частичные суммы ряда ограничены. Далее,

и так как это верно для любого натурального n, то , т.е. .

Если извлечь из неравенства

квадратный корень, то получим . Следовательно, оператор А ограничен.

Лемма 2. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, является ограниченным, если он ограничен хотя бы на одном шаре пространства Х.

Доказательство. Так как ограниченность на открытом шаре влечет ограниченность на замкнутом шаре с тем же центром и половинным радиусом, будем сразу считать, что оператор ограничен на замкнутом шаре. Пусть S[y, r] – шар, на котором ограничен оператор А, т.е. ||Ax|| £ C для всех xÎ S[y, r]. Возьмем произвольный элемент z ÎX. Построим по этому элементу новый элемент z = y + rz/||z|| (или z = ||z||(z – y)/r). Непосредственным подсчетом убеждаемся, что z Î S[y, r]. Следовательно, ||Az|| £ C. С другой стороны, ||Az|| = ||z||/r(||A(z – y)||) £ ||z||/r(||Az|| + ||Ay||) £ (2C/r)||z||, что доказывает утверждение.

Важнейшим свойством линейного оператора является его ограниченность на S₁ – единичном шаре пространства X. Она влечет в силу леммы 2 ограниченность линейного оператора.

. (4)

Число К, определяемое равенством (4), называют нормой оператора и обозначают ||А||. В следующем пункте мы покажем, что это действительно норма. Итак, для любого

Очевидно, что К = ||A|| есть наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству из определения ограниченности, потому что если бы это было не так и нашлось число К’

источник